井　戸　端　掲示板

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[5672] しかし 投稿者：teki 投稿日：2006/04/15(Sat) 00:55: ここまでレベルが上がっちゃうと、とてもついていけません＞＜
[5671] Re:[5670]Re:[5669] お、よくみたら・・・ 投稿者：ゴンとも 投稿日：2006/04/15(Sat) 00:10: >あ、ただし、三角関数やら逆三角関数やらを使ってますから

方程式の解かどうかは方程式に代入して成り立つかで決まり
先のsqrt(7/12-sqrt(7)*cos(arctan(3*sqrt(3))/3)/6)を代入しても
普通に展開しただけでは成り立たないのでそれに対応する複素数のものなら
展開しただけで成り立ち、方程式の解であることがわかると思います。

あとその大きさが同じでないとその解であるといえないので
大きさを決めるときに変換して三角関数やら逆三角関数が混じり
三角関数やら逆三角関数無しならもとの複素数を答えとすればいいと思ったんですが
的がはずれていたらすみません。
[5670] Re:[5669] お、よくみたら・・・ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/04/14(Fri) 21:29: > [5667]で、uchinyanさんが、カルダノでといちゃってますな、(^^;;
あ、ただし、三角関数やら逆三角関数やらを使ってますから、
本当の意味で解けたのかは、疑問だと思っています。
[5669] お、よくみたら・・・ 投稿者：ＢｏｓｓＦ 投稿日：2006/04/14(Fri) 19:19: [5667]で、uchinyanさんが、カルダノでといちゃってますな、(^^;;
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
[5668] ありがとう皆さん 投稿者：ＢｏｓｓＦ 投稿日：2006/04/14(Fri) 18:16: 私は、昔
sinπ＝sin(7・(π/7))を解きにいって
x^3-7x^2+14x-7=0 (但しx=4{sin(π/7)}^2)を得て
カルダノの方法を使ったら
所謂還元不能の問題に陥っちゃったんですよ

それが簡単に解けるのかと思って・・・・(=^・^=)

17でしたか～(=^・^=)

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
[5667] Re:[5665] ちょっと調べてみました。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/04/13(Thu) 23:02: > Ｎが４ｎ＋１型の素数の場合に限って、定規とコンパスだけで正Ｎ角形の作図が可能なことと関係があるようですね。
> １７は、上記の条件を満たすので、正１７角形は定規とコンパスだけで作図可能です。
> 詳しい証明は下記をご覧ください。
>
> HTTP://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/drawing/heptadecagon.html
ありがとうございます。
ちょっと見てみましたが、う～ん、大変そう．．．
どちらにしても、最初の中学云々に戻ると、よほどできる中学生でないと、厳しそうだなぁ。
[5666] ちょ投稿者：teki 投稿日：2006/04/13(Thu) 22:32: ４ｎ＋１　→　２＾ｎ＋１　　です。
[5665] ちょっと調べてみました。 投稿者：teki 投稿日：2006/04/13(Thu) 22:31: Ｎが４ｎ＋１型の素数の場合に限って、定規とコンパスだけで正Ｎ角形の作図が可能なことと関係があるようですね。
１７は、上記の条件を満たすので、正１７角形は定規とコンパスだけで作図可能です。
詳しい証明は下記をご覧ください。

HTTP://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/drawing/heptadecagon.html
[5664] Re:[5662] 反省してます。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/04/13(Thu) 22:21: > BossFさんが高校数学の窓でご覧になった問題をだしたのは、私なんです。
> 大変申し訳ありませんが、その問題に誤りがありました。
> uchinyanさんの仰るとおり、重大な誤りがありました。
お、そうでしたか。
> 角度が間違っていました。
> 正しくは
> (1)では、∠BAC=180/17°
> (2)では、∠BAC=90/17°
> でした。これは、高校数学の窓の質問<3081>に載っているcos(2π/17)の値を用いれば答えが出そうですが、
> あまりにも恐ろしい値になりそうです。お騒がせして、誠に申し訳ありませんでした。
なるほど。
これは、詳しくは知りませんが、ガウスが証明したという、定規とコンパスだけで作図できる、
正ｎ角形の話とつながりますね。
定規とコンパスだけで作図できるというのは、直線と円の世界なので、有理数かルートまでの無理数です。
したがって、cos(2π/17) と sin(2π/17) がこの範囲で書けるはずで、ということは、
うまく変形できて、z^17 = 1 が、幾つかの二次方程式に帰着できるものと思われます。

なお、元の sin(π/7) ですが、三角関数や逆三角関数を使ってよければ、カルダノの方法でも解けました。
x^3 - 7 * x^2 + 14 * x - 7 = 0
で、x = 1/3 * (t + 7) とおくと、
t^3 - 21 * t + 7 = 0
になり、これは、
u^3 + v^3 = 7, uv = 7
の解を使って、ω = 1/2 * (-1 + i * sqrt(3)) として、
t = - u - v, - u * ω - v * ω^2, - u * ω^2 - v * ω
になります。u, v は、
θ = arctan(3 * sqrt(3))
u = sqrt(7) * (cos(θ/3) + i * sin(θ/3))
v = sqrt(7) * (cos(θ/3) - i * sin(θ/3))
となり、sin(π/7) は、
t = - u - v, x = 1/3 * (t + 7), x = 4 * (sin(π/7))^2 から求められて、
sin(π/7) = sqrt(7/12 - sqrt(7)/6 * cos(θ/3))
になりました。
これは、ゴンともさんの数式処理の結果と一致しています。
[5663] Re:[5662]反省してます。 投稿者：ゴンとも 投稿日：2006/04/13(Thu) 21:07: そーでしたかそのサイト読ませていただきました。2^k+1という条件でk=4で2^4+1=17で
特殊な角度だったんですか。cos(2π/17)の値が有名ならそれほど難しくは
ないですね。

でも17が7に変わることで有名角でなくそれを求めるのが大変になって
楽しかったです。
[5662] 反省してます。 投稿者：SWORD 投稿日：2006/04/13(Thu) 20:27: BossFさんが高校数学の窓でご覧になった問題をだしたのは、私なんです。大変申し訳ありませんが、その問題に誤りがありました。uchinyanさんの仰るとおり、重大な誤りがありました。
角度が間違っていました。
正しくは
(1)では、∠BAC=180/17°
(2)では、∠BAC=90/17°
でした。これは、高校数学の窓の質問<3081>に載っているcos(2π/17)の値を用いれば答えが出そうですが、あまりにも恐ろしい値になりそうです。お騒がせして、誠に申し訳ありませんでした。
[5661] Re:[5660] う～ん5 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/04/13(Thu) 15:17: 詳しい計算ありがとうございます。さすが、数式処理ですね。
> これのsqrtが答えで
> sqrt(7/12-sqrt(7)*cos(arctan(3*sqrt(3))/3)/6)・・・・・・(答え)
しかし、これが答えとなると、中学数学はもちろん、高校数学でも厳しそうですね。

最初の
＞とある中学生向けの本で見つけたのですが、解答がないんです。
＞どなたか御教授ください。お願いします。
＞解答は近似値ではないようです。
は、本当なのだろうか．．．？

それとも、とんでもない勘違いをしてるのかな？
[5660] う～ん5 投稿者：ゴンとも 投稿日：2006/04/13(Thu) 13:24: 先の自分書き込みの方法でも方程式の根はでてきますが長くなるので別方で
maxima(FREE)でのコマンドで
sol:solve(expr)$
trigsimp(rectform(sol)); を使い一発ででるようにしました。

[5654]
>sinπ＝sin(7・(π/7))
ここでπ/7=xとおくとsin(PI)=0なことも考えて上の式は
sin(7*x)=0
これを7倍角の公式で展開して
trigexpand(sin(7*x));
-SIN(x)^7+21*COS(x)^2*SIN(x)^5-35*COS(x)^4*SIN(x)^3+7*COS(x)^6*SIN(x)=0
この式の両辺をSIN(x)で割ると
-SIN(x)^6+21*COS(x)^2*SIN(x)^4-35*COS(x)^4*SIN(x)^2+7*COS(x)^6=0
この式でSIN(x)^2=a,COS(x)^2=1-SIN(x)^2=1-a
-a^3+21*(1-a)*a^2-35*(1-a)^2*a+7*(1-a)^3
これを展開して
expand(-a^3+21*(1-a)*a^2-35*(1-a)^2*a+7*(1-a)^3);
-64*a^3+112*a^2-56*a+7
これを以下のように解くと
sol:solve(-64*a^3+112*a^2-56*a+7=0)$
trigsimp(rectform(sol));
で3解でて
第3解:7*(2*COS(-(ATAN(9/SQRT(3))-%PI)/3)+SQRT(7))/(12*SQRT(7))
float(7*(2*cos(-(arctan(9/sqrt(3))-PI)/3)+sqrt(7))/(12*sqrt(7)));0.950484434これのsqrtで
float(sqrt(0.950484434));0.9749279122・・・・・・①
第2解:-7*(SQRT(3)*SIN(-(ATAN(9/SQRT(3))-%PI)/3)+COS(-(ATAN(9/SQRT(3))-%PI)/3)-SQRT(7))/(12*SQRT(7))
float(-7*(sqrt(3)*sin(-(arctan(9/sqrt(3))-PI)/3)+cos(-(arctan(9/sqrt(3))-PI)/3)-sqrt(7))/(12*sqrt(7)));0.1882550991
これのsqrtで float(sqrt(0.1882550991));0.4338837392・・・・・・②
第1解: 7*(SQRT(3)*SIN(-(ATAN(9/SQRT(3))-%PI)/3)-COS(-(ATAN(9/SQRT(3))-%PI)/3)+SQRT(7))/(12*SQRT(7))
float(7*(sqrt(3)*sin(-(arctan(9/sqrt(3))-PI)/3)-cos(-(arctan(9/sqrt(3))-PI)/3)+sqrt(7))/(12*sqrt(7)));0.611260467
これのsqrtで float(sqrt(0.611260467));0.7818314825・・・・・・③
一方でsin(PI/7)の近似値はfloat(sin(PI/7));0.4338837391 で②なので
-7*(SQRT(3)*SIN(-(ATAN(9/SQRT(3))-%PI)/3)+COS(-(ATAN(9/SQRT(3))-%PI)/3)-SQRT(7))/(12*SQRT(7))
が答えの2乗だがさらに簡約化すると
expand(sin(-(arctan(9/sqrt(3))-PI)/3)):
expand(cos(-(arctan(9/sqrt(3))-PI)/3)):
expand(-7*(%2*sqrt(3)+%-sqrt(7))/(12*sqrt(7)));
7/12-sqrt(7)*cos(arctan(3*sqrt(3))/3)/6 で簡約できて
これのsqrtが答えで
sqrt(7/12-sqrt(7)*cos(arctan(3*sqrt(3))/3)/6)・・・・・・(答え)

複雑な答えですがsinπ＝sin(7・(π/7))は解くのは
数式処理ではちゃんとやればできるみたいです。
[5659] う～ん4 投稿者：ゴンとも 投稿日：2006/04/12(Wed) 23:13: [5657]で
>3次方程式の一般的な解法であるカルダノの方法を使えば、
>原理的には解けますが、複素数の複雑な式を簡単にできず、うまくいきませんでした。

数式処理で解いてその解ひとつずつをimagpartというコマンドでiの係数を
抜き出してfactorというコマンドで0になりそうすると実数だけになり
その解はATAN(逆三角関数)や%PI(円周率)のいりくんだ解になりました。

まだその解が答えであるかFLOATでだいたいの数値をたしかめてないので
なんともいえないですが数式処理を使うと複雑な式を簡単するのは楽と思います。
[5658] う～ん３ 投稿者：teki 投稿日：2006/04/12(Wed) 22:24: これって、正十四角形の面積を求めるのと同じですよね。
でも、正十四角形の面積はどう考えても無理数になっちゃいます。
半径１の円に内接する正十二角形なら面積は３なのですが・・・・。
[5657] う～ん２ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/04/12(Wed) 18:41: [5654]
私も少し考えてみましたが、中学数学でできるのかなぁ．．．
teki さんのご指摘の通り、S = 1/2 * sin(180/7) なので、S を求めることと、
sin(180/7) を求めることは等価のように思います。
そこで、取り敢えず、sin(180/7) を求めることを、高校数学＋αで考えてみましたが．．．

α = π/7 = 180/7 とすると、7α = π なので、2倍角の公式、3倍角の公式などを使って、
sin(3α) = sin(7α-4α) = sin(π-4α) = sin(4α)
3 * sin(α) - 4 * (sin(α))^3 = 2 * sin(2α) * cos(2α)
sin(α) * (3 - 4 * (sin(α))^2) = 4 * sin(α) * cos(α) * (1 - 2 * (sin(α))^2)
sin(α) * (3 - 4 * (sin(α))^2) = 4 * sin(α) * sqrt(1 - (sin(α)^2) * (1 - 2 * (sin(α))^2)
sin(α) not= 0 なのと、sqrt は気持ち悪いので、取り敢えず二乗すると、
(3 - 4 * (sin(α))^2)^2 = 4^2 * (1 - (sin(α)^2) * (1 - 2 * (sin(α))^2)^2
(3 - 4 * (sin(α))^2)^2 = (4 - 4 * (sin(α)^2) * (2 - 4 * (sin(α))^2)^2
ここで、x = 4 * (sin(α))^2 とおくと、
(3 - x)^2 = (4 - x) * (2 - x)^2
展開して整理すると、
9 - 6 * x + x^2 = (4 - x) * (4 - 4 * x + x^2) = 16 - 20 * x + 8 * x^2 - x^3
x^3 - 7 * x^2 + 14 * x - 7 = 0
これは、ちょっとやってみると分かりますが、有理数の解をもちません。
f(x) = x^3 - 7 * x^2 + 14 * x - 7 とおいて、グラフの様子を調べると、
f(0) = -7, f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = -1, f(4) = 1
及び極値の様子などから、
0 < x < 1, 2 < x < 3, 3 < x < 4
に一つずつ、実数解をもちます。これは、sin(3α) = sin(4α) とも考え合わせると、
0 < sin(α) < 1/2, 1/sqrt(2) < sin(2α) < sqrt(3)/2, sqrt(3)/2 < sin(3α) < 1
に対応しているようです。
なお、この x の3次方程式は、3次方程式の一般的な解法であるカルダノの方法を使えば、
原理的には解けますが、複素数の複雑な式を簡単にできず、うまくいきませんでした。

中学数学でできるとすると、せいぜいが2次方程式なので、
図形的性質から、無理数係数の2次方程式を導き出すしか手はなさそうです。
α = π/7 は、これを頂角とする二等辺三角形の中に三つの二等辺三角形をもつという、
興味深い特徴があるので、その方向でできるのかもしれません。
分かるかどうか微妙ですが、もう少し検討してみます。

なお、(1) が分かれば (2) は、BC = 2a として、S(2) = 1/2 * 1 * a = a/2 となり、
S(1) = 1/2 * sin(α) は、S(1) = 1/2 * 2a * sqrt(1 - a^2) でもあるので、
a * sqrt(1 - a^2) = 1/2 * sin(α)
から、a^2 に関する二次方程式を解いて、二重根号などの問題はありますが、
一応、求まりますね。
[5656] 算チャレ3 Q210 投稿者：tomh 投稿日：2006/04/12(Wed) 17:04: みなさま、雨は大丈夫でしたか?

先程算チャレ3 Q210が出題されました。
今回は「正方形内部の塗り分け」の問題です。
春到来を祝いながら解きましょう?! (^^;

また、今夜は算チャレQ497が出題されます。
今回は難問でしょうか? 易問でしょうか?
http://www.geocities.jp/tomh/
[5655] う～ん 投稿者：teki 投稿日：2006/04/12(Wed) 14:26: どう考えても、答えは有理数にならないんじゃないでしょうか？
有理数だけではなく、すっきりした無理数（変な表現ですが）にもなりそうにありません。

面積　Ｓ＝1/2sin(180/7)　としか表しようがないと思います。
[5654] どなたか教えて！ 投稿者：ＢｏｓｓＦ 投稿日：2006/04/12(Wed) 04:03: 「高校数学の窓」
というHPで次のような質問を見かけました

同HPの未解決問題No3037

「とある中学生向けの本で見つけたのですが、解答がないんです。
どなたか御教授ください。お願いします。
解答は近似値ではないようです。

(1)三角形ABCは　　　　AB=AC=1　　∠BAC=180/7°
をみたす二等辺三角形である。この三角形の面積を求めよ

(2) (1)において、∠BAC=90/7°の場合、この三角形の面積を求めよ」

これってsin(π/7）が問題ですよね。
私高校のころ正7角形の面積求めようとして、
sinπ＝sin(7・(π/7))を計算しに行って
あたって砕け散った問題と本質的に同じだと思うんですが
初等的に解けるんですか？？？？

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
[5653] ほげさん、ぼちぼちと・・・ 投稿者：経友会の進作 投稿日：2006/04/07(Fri) 08:35: 　新しい勤務先では慣れるまで時間も掛かることでしょう。
何よりも同僚の人となりが分かるまでが大変ですね。
それでも自宅からの通勤が変わらないならまぁよしとしましょう。
　僕は福岡を振り出しに東京、仙台、名古屋、大阪、また名古屋、
松山、札幌と全国をまたにかけて転勤し、最後に大阪で定年を迎え
ました。これに較べればあなたの転勤なんてかわいいものですわ。(*^_^*)

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