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[5661] Re:[5660] う～ん5 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/04/13(Thu) 15:17  

詳しい計算ありがとうございます。さすが、数式処理ですね。
> これのsqrtが答えで
> sqrt(7/12-sqrt(7)*cos(arctan(3*sqrt(3))/3)/6)・・・・・・(答え)
しかし、これが答えとなると、中学数学はもちろん、高校数学でも厳しそうですね。

最初の
＞とある中学生向けの本で見つけたのですが、解答がないんです。
＞どなたか御教授ください。お願いします。
＞解答は近似値ではないようです。
は、本当なのだろうか．．．？

それとも、とんでもない勘違いをしてるのかな？

[5660] う～ん5 投稿者：ゴンとも 投稿日：2006/04/13(Thu) 13:24  

先の自分書き込みの方法でも方程式の根はでてきますが長くなるので別方で
maxima(FREE)でのコマンドで
sol:solve(expr)$
trigsimp(rectform(sol)); を使い一発ででるようにしました。

[5654]
>sinπ＝sin(7・(π/7))
ここでπ/7=xとおくとsin(PI)=0なことも考えて上の式は
sin(7*x)=0
これを7倍角の公式で展開して
trigexpand(sin(7*x));
-SIN(x)^7+21*COS(x)^2*SIN(x)^5-35*COS(x)^4*SIN(x)^3+7*COS(x)^6*SIN(x)=0
この式の両辺をSIN(x)で割ると
-SIN(x)^6+21*COS(x)^2*SIN(x)^4-35*COS(x)^4*SIN(x)^2+7*COS(x)^6=0
この式でSIN(x)^2=a,COS(x)^2=1-SIN(x)^2=1-a
-a^3+21*(1-a)*a^2-35*(1-a)^2*a+7*(1-a)^3
これを展開して
expand(-a^3+21*(1-a)*a^2-35*(1-a)^2*a+7*(1-a)^3);
-64*a^3+112*a^2-56*a+7
これを以下のように解くと
sol:solve(-64*a^3+112*a^2-56*a+7=0)$
trigsimp(rectform(sol));
で3解でて
第3解:7*(2*COS(-(ATAN(9/SQRT(3))-%PI)/3)+SQRT(7))/(12*SQRT(7))
float(7*(2*cos(-(arctan(9/sqrt(3))-PI)/3)+sqrt(7))/(12*sqrt(7)));0.950484434これのsqrtで
float(sqrt(0.950484434));0.9749279122・・・・・・①
第2解:-7*(SQRT(3)*SIN(-(ATAN(9/SQRT(3))-%PI)/3)+COS(-(ATAN(9/SQRT(3))-%PI)/3)-SQRT(7))/(12*SQRT(7))
float(-7*(sqrt(3)*sin(-(arctan(9/sqrt(3))-PI)/3)+cos(-(arctan(9/sqrt(3))-PI)/3)-sqrt(7))/(12*sqrt(7)));0.1882550991
これのsqrtで float(sqrt(0.1882550991));0.4338837392・・・・・・②
第1解: 7*(SQRT(3)*SIN(-(ATAN(9/SQRT(3))-%PI)/3)-COS(-(ATAN(9/SQRT(3))-%PI)/3)+SQRT(7))/(12*SQRT(7))
float(7*(sqrt(3)*sin(-(arctan(9/sqrt(3))-PI)/3)-cos(-(arctan(9/sqrt(3))-PI)/3)+sqrt(7))/(12*sqrt(7)));0.611260467
これのsqrtで float(sqrt(0.611260467));0.7818314825・・・・・・③
一方でsin(PI/7)の近似値はfloat(sin(PI/7));0.4338837391 で②なので
-7*(SQRT(3)*SIN(-(ATAN(9/SQRT(3))-%PI)/3)+COS(-(ATAN(9/SQRT(3))-%PI)/3)-SQRT(7))/(12*SQRT(7))
が答えの2乗だがさらに簡約化すると
expand(sin(-(arctan(9/sqrt(3))-PI)/3)):
expand(cos(-(arctan(9/sqrt(3))-PI)/3)):
expand(-7*(%2*sqrt(3)+%-sqrt(7))/(12*sqrt(7)));
7/12-sqrt(7)*cos(arctan(3*sqrt(3))/3)/6 で簡約できて
これのsqrtが答えで
sqrt(7/12-sqrt(7)*cos(arctan(3*sqrt(3))/3)/6)・・・・・・(答え)

複雑な答えですがsinπ＝sin(7・(π/7))は解くのは
数式処理ではちゃんとやればできるみたいです。

[5659] う～ん4 投稿者：ゴンとも 投稿日：2006/04/12(Wed) 23:13  

[5657]で
>3次方程式の一般的な解法であるカルダノの方法を使えば、
>原理的には解けますが、複素数の複雑な式を簡単にできず、うまくいきませんでした。

数式処理で解いてその解ひとつずつをimagpartというコマンドでiの係数を
抜き出してfactorというコマンドで0になりそうすると実数だけになり
その解はATAN(逆三角関数)や%PI(円周率)のいりくんだ解になりました。

まだその解が答えであるかFLOATでだいたいの数値をたしかめてないので
なんともいえないですが数式処理を使うと複雑な式を簡単するのは楽と思います。

[5658] う～ん３ 投稿者：teki 投稿日：2006/04/12(Wed) 22:24  

これって、正十四角形の面積を求めるのと同じですよね。
でも、正十四角形の面積はどう考えても無理数になっちゃいます。
半径１の円に内接する正十二角形なら面積は３なのですが・・・・。

[5657] う～ん２ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/04/12(Wed) 18:41  

[5654]
私も少し考えてみましたが、中学数学でできるのかなぁ．．．
teki さんのご指摘の通り、S = 1/2 * sin(180/7) なので、S を求めることと、
sin(180/7) を求めることは等価のように思います。
そこで、取り敢えず、sin(180/7) を求めることを、高校数学＋αで考えてみましたが．．．

α = π/7 = 180/7 とすると、7α = π なので、2倍角の公式、3倍角の公式などを使って、
sin(3α) = sin(7α-4α) = sin(π-4α) = sin(4α)
3 * sin(α) - 4 * (sin(α))^3 = 2 * sin(2α) * cos(2α)
sin(α) * (3 - 4 * (sin(α))^2) = 4 * sin(α) * cos(α) * (1 - 2 * (sin(α))^2)
sin(α) * (3 - 4 * (sin(α))^2) = 4 * sin(α) * sqrt(1 - (sin(α)^2) * (1 - 2 * (sin(α))^2)
sin(α) not= 0 なのと、sqrt は気持ち悪いので、取り敢えず二乗すると、
(3 - 4 * (sin(α))^2)^2 = 4^2 * (1 - (sin(α)^2) * (1 - 2 * (sin(α))^2)^2
(3 - 4 * (sin(α))^2)^2 = (4 - 4 * (sin(α)^2) * (2 - 4 * (sin(α))^2)^2
ここで、x = 4 * (sin(α))^2 とおくと、
(3 - x)^2 = (4 - x) * (2 - x)^2
展開して整理すると、
9 - 6 * x + x^2 = (4 - x) * (4 - 4 * x + x^2) = 16 - 20 * x + 8 * x^2 - x^3
x^3 - 7 * x^2 + 14 * x - 7 = 0
これは、ちょっとやってみると分かりますが、有理数の解をもちません。
f(x) = x^3 - 7 * x^2 + 14 * x - 7 とおいて、グラフの様子を調べると、
f(0) = -7, f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = -1, f(4) = 1
及び極値の様子などから、
0 < x < 1, 2 < x < 3, 3 < x < 4
に一つずつ、実数解をもちます。これは、sin(3α) = sin(4α) とも考え合わせると、
0 < sin(α) < 1/2, 1/sqrt(2) < sin(2α) < sqrt(3)/2, sqrt(3)/2 < sin(3α) < 1
に対応しているようです。
なお、この x の3次方程式は、3次方程式の一般的な解法であるカルダノの方法を使えば、
原理的には解けますが、複素数の複雑な式を簡単にできず、うまくいきませんでした。

中学数学でできるとすると、せいぜいが2次方程式なので、
図形的性質から、無理数係数の2次方程式を導き出すしか手はなさそうです。
α = π/7 は、これを頂角とする二等辺三角形の中に三つの二等辺三角形をもつという、
興味深い特徴があるので、その方向でできるのかもしれません。
分かるかどうか微妙ですが、もう少し検討してみます。

なお、(1) が分かれば (2) は、BC = 2a として、S(2) = 1/2 * 1 * a = a/2 となり、
S(1) = 1/2 * sin(α) は、S(1) = 1/2 * 2a * sqrt(1 - a^2) でもあるので、
a * sqrt(1 - a^2) = 1/2 * sin(α)
から、a^2 に関する二次方程式を解いて、二重根号などの問題はありますが、
一応、求まりますね。

[5656] 算チャレ3 Q210 投稿者：tomh 投稿日：2006/04/12(Wed) 17:04  

みなさま、雨は大丈夫でしたか?

先程算チャレ3 Q210が出題されました。
今回は「正方形内部の塗り分け」の問題です。
春到来を祝いながら解きましょう?! (^^;


また、今夜は算チャレQ497が出題されます。
今回は難問でしょうか? 易問でしょうか?

http://www.geocities.jp/tomh/

[5655] う～ん 投稿者：teki 投稿日：2006/04/12(Wed) 14:26  

どう考えても、答えは有理数にならないんじゃないでしょうか？
有理数だけではなく、すっきりした無理数（変な表現ですが）にもなりそうにありません。

面積　Ｓ＝1/2sin(180/7)　としか表しようがないと思います。

[5654] どなたか教えて！ 投稿者：ＢｏｓｓＦ 投稿日：2006/04/12(Wed) 04:03  

「高校数学の窓」
というHPで次のような質問を見かけました

同HPの未解決問題No3037

「とある中学生向けの本で見つけたのですが、解答がないんです。
どなたか御教授ください。お願いします。
解答は近似値ではないようです。

(1)三角形ABCは　　　　AB=AC=1　　∠BAC=180/7°
をみたす二等辺三角形である。この三角形の面積を求めよ

(2) (1)において、∠BAC=90/7°の場合、この三角形の面積を求めよ」

これってsin(π/7）が問題ですよね。
私高校のころ正7角形の面積求めようとして、
sinπ＝sin(7・(π/7))を計算しに行って
あたって砕け散った問題と本質的に同じだと思うんですが
初等的に解けるんですか？？？？

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

[5653] ほげさん、ぼちぼちと・・・ 投稿者：経友会の進作 投稿日：2006/04/07(Fri) 08:35  

　新しい勤務先では慣れるまで時間も掛かることでしょう。
何よりも同僚の人となりが分かるまでが大変ですね。
それでも自宅からの通勤が変わらないならまぁよしとしましょう。
　僕は福岡を振り出しに東京、仙台、名古屋、大阪、また名古屋、
松山、札幌と全国をまたにかけて転勤し、最後に大阪で定年を迎え
ました。これに較べればあなたの転勤なんてかわいいものですわ。(*^_^*)

[5652] 昨日の 投稿者：ほげ 投稿日：2006/04/07(Fri) 06:19  

帰宅は11時30分
本日の出勤は7時です
時間が取れません。
正解者up等はあとで行います。
ごめんなさい


[5651] 少々手間取りました 投稿者：ほげ 投稿日：2006/04/05(Wed) 21:04  

K1を録画予約しておいたのですが　UP使用としたら　録画準備が始まって　キー入力が
出来なくなったのです。
算数問題より　数学問題のほうが簡単かもしれません(^_^;)


[5650] 算チャレ3 Q209 投稿者：tomh 投稿日：2006/04/05(Wed) 17:38  

算チャレ3の新年度の登録はお済ですか?

先程算チャレ3 Q209が出題されました(30分ほど遅れたようです)。
今回は「整数の割り算」の問題です。
新年度最初の問題です。張り切って解きましょう!


また、今夜は算チャレQ496が出題されます。
果たして今回はどんなミスが?! ヾ(‥; ォィォィ

http://www.geocities.jp/tomh/

[5649] とりあえず 投稿者：ほげ 投稿日：2006/04/04(Tue) 09:11  

明日の夜9時に問題UPの予定です。

もし9時5分までに　UPできなかったら　10時にUPすることにします。
10時にUPできないときは　次の日にUPします。
そのときは掲示板に出題時間を書きますね。

夜　何時に帰ってこれるかわからないので　このようにとりきめておきます。
今のところ　予定通り　UPできるとは思いますが...(^_^)


[5648] あれま 投稿者：teki 投稿日：2006/04/02(Sun) 21:50  

長年いた職場を変わるってのは、大変ですよね。
私も昨年、１０年ぶりの転勤で、新しい職場の勝手がわからず、困りました。
ほげさん、頑張ってくださいね。

[5647] 転勤大変ですね。 投稿者：nobu 投稿日：2006/04/02(Sun) 00:06  

私も昨年４月に職場が変わり、いまだに慣れません。
気を使うことが増えますが、ほげさんのペースでのんびりやってください。

[5646] おしらせ 投稿者：ほげ 投稿日：2006/04/01(Sat) 21:00  

私は本日をもって転勤となりました。
職場が変わったので　自宅からの通勤は変わりませんが
通勤時間や勤務時間が変わり　いままで出題していた時間には自宅には
いません。

タイマーで問題が出現するCGIを考えていますが　まだできていません。
今のところ　時間によって出てくるgifファイルを変化させるということを
考えています。

それまで　出題時間が大きく変わる予定です。ひょっとしたら　朝早く
とか　夜遅くとか　別な日　とか...
どうかご了承くださいm(__)m

4月5日には問題をUPする予定ですが　出題時間はもう少しお待ちください。(~_~;)


[5645] 問題集に 投稿者：ほげ 投稿日：2006/04/01(Sat) 20:51  

第４問を出題いたしました。
高校レベルなので難しいかな。
出題や解答にミスがあったら教えてください。
オリジナル問題なので　ちょっと心配...(^_^;)

[5644] 算チャレ3 今週はお休みだけど… 投稿者：tomh 投稿日：2006/03/29(Wed) 16:29  

今週の算チャレ3はお休みです。

今は新年度の新規登録をしています。
忘れないうちに登録しましょう。 d(^-^)ネ!

また、今夜は算チャレQ495が出題されます。
今回、マサルさんはミスなしでいけるかなぁ…?

http://www.geocities.jp/tomh/

[5643] は～いっ 投稿者：ほげ 投稿日：2006/03/25(Sat) 15:24  

訂正しておきますね
もしほかにも直してほしい方がいらしたらカキコしてください
ただ　答えの本質にかかわる時はメールでお願いしますね
判断はおまかせします"^_^"


[5642] わ～～～～～～ 投稿者：ＢｏｓｓＦ 投稿日：2006/03/25(Sat) 14:46  

訂正できない掲示板で書き間違えた…（ＴＴ）どうしましょ
n-1→(n-1)-1です、（謎
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