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[5933] 算チャレ3 Q241 投稿者：tomh 投稿日：2006/11/29(Wed) 17:10

先程算チャレ3 Q241が出題されました.
今回は「分数」の問題です.
冬型気圧配置に備えながら解きましょう?! (^^;

また、今夜は算チャレQ527が出題されます.
放射性物質に気をつけながら解きましょう… ヾ(‥; ォィォィ

P.S.
恒例企画の募集開始は来週の予定…

P.S.2
「万有引力」の計算は専門だけど、
乗り遅れたのでノーコメント… (^^;;

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5932] ありがとうございます。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/11/26(Sun) 10:28

返事が遅くなりまして、すいませんでした。uchinyanさん、ありがとうございます。なるほど、極座標では面積素は、rdrdですか。イメージがつかめました。それから先の証明も読ませていただきました。普段当たり前のように使っていることも証明するとなるとこんなに大変なんですね。体積素などいろいろ細かいところまで、説明してくださりありがとうございました。

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[5931] 問題ミスでした 投稿者：ほげ 投稿日：2006/11/25(Sat) 23:58

ごめんなさい問題30の条件が不備でした
　さきほど直しました

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[5930] 遅くなりました 投稿者：ほげ 投稿日：2006/11/25(Sat) 18:17

所用でUPで着ませんでしたが　ただ今UPいたしました
朝UPの予定でしたが　寝坊して　あわただしくお出かけしてました(~_~)
ただ今帰りました
おそくなってごめんなさい

掲示板にいろいろカキコしていただいてますね
これから読ませていただきます

あたふた　あたふた

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[5929] 第４問 投稿者：0123210 投稿日：2006/11/25(Sat) 17:18

第４問更新しました。

http://www.geocities.jp/math_0123210/

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[5928] Re:[5926] 無題 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/11/25(Sat) 14:46

> 『球内の点 P(r,θ,φ) における体積素 dV は、
> r 方向が dr、θ方向が r * dθ、φ方向が r * sinθ * dφ の積なので、dV = r^2 * sinθ * drdθdφ になります。』
> 体積素という考え方はいまいち良く分かりませんが、このように微小体積dVを表せることは理解できました。うーん、大学へいくと便利な道具がたくさん有るんですね。

おっと、行き違ってしまいましたね (^^; [5927]もご覧ください。

なお、大学では、数学、物理、化学などの授業は特に連携もなく勝手に進みます。
したがって、物理などでは、最初から、数学では１年生の後期に習うような積分をガンガン使います。
ZELDAさんならば大丈夫と思いますが、自分で頑張って勉強しないと、あっさりと落ちこぼれます。
そしてそれが当たり前、という雰囲気すら、少なくとも私のころには、ありました。
大学は、まぁ、擬似的とはいえ、大人の世界の入り口なので、高校＆予備校までとは違って厳しいです (^^;

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[5927] Re:[5925] [5924] [5923] こんな感じかな　Re:[5921] お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/11/25(Sat) 14:34

> お返事ありがとうございます。３次元の座標はxyz座標と円柱座標しか知りませんでした。
> 円柱座標も問題を１問解いたことがあるだけで、ほとんど使えません。
>
やはり、空間の極座標表示は高校レベルを超えているのですね。
済みませんでした。

> 座標のことは理解しましたが、体積素というものは分かりません。
> 変数の微小変化に対する体積の増分のことでしょうか？
>
はいそうです。

二次元の場合で考えると、直交座標系では dxdy が微小面積ですよね。
これを面積素ということがあります。要するに面積の微小単位のことです。
極座標表示で考えると、面積の微小単位は、rdrdθ と考えるのが自然です。
これは、dr * rdθ と考えれば、
r 方向の微小な長さとこれに直角な方向、θ 方向、の微小な長さ rdθ との積が、
二次元極座標における微小面積単位、つまり面積素、になることが理解できると思います。
同様に三次元で考えると、直交座標系では、体積の微小単位、つまり体積素、は dxdydz で、
極座標表示、
＞点 P(r,θ,φ)
＞．．．
＞r は OP、θ は OP が z 軸の正の方向となす角度、φ は OP のxy平面への正射影が x 軸となす角度です。
で考えると、
r 方向の微小な長さが dr、これに垂直な θ 方向の微小な長さが r * dθ、
r 方向及び θ 方向に垂直な φ 方向の微小な長さが r * sinθ * dφ
なので、これらの積、dV = r^2 * sinθ * drdθdφ が微小体積、つまり体積素、になります。
もちろんこれは直感的な説明で、物理ならばこれで十分！、厳密には、直交座標 <-> 極座標の変換式、
x = r * sinθ * cosφ
y = r * sinθ * sinφ
z = r * cosθ
を使って、dxdydz を drdθdφ に変換することによって、r^2 * sinθ * drdθdφ が得られます。
ちなみに、ここで現れる変換の行列をヤコビ行列、その行列式をヤコビ行列式又はヤコビアンといい、
ヤコビアンが r^2 * sinθ になります。
ただこれには、偏微分など大学数学を使い、また証明も厳密にやろうとすると結構面倒です。
詳しくは大学レベルの教科書をご覧になるのがいいですが、Webで探してもある程度は見つかると思います。

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[5926] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/11/25(Sat) 14:31

『球内の点 P(r,θ,φ) における体積素 dV は、
r 方向が dr、θ方向が r * dθ、φ方向が r * sinθ * dφ の積なので、dV = r^2 * sinθ * drdθdφ になります。』
体積素という考え方はいまいち良く分かりませんが、このように微小体積dVを表せることは理解できました。うーん、大学へいくと便利な道具がたくさん有るんですね。

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[5925] Re:[5924] [5923] こんな感じかな　Re:[5921] お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/11/25(Sat) 13:56

> > > 　お久しぶりです。数学と言うよりも物理の問題なのですが、積分の問題なので、もしよろしければご教授下さい。
> > > 　『大きさのある一様な球体A（半径R,質量M）が、Aの中心からr離れた位置にある質点B（質量m)に及ぼす力が G(Mm/r^2)であることを万有引力の法則を用いて証明する。』という問題です。よろしくお願いします。
> >
> > 大学時代を懐かしく思い出します。この手の問題はいろいろやりました。
> >
> ふと懐かしさのあまり、思いっきり積分を使ってしまいましたが、もう少し直感的に、という話だったのでしょうか？
> まぁ、積分は、一応、高校の範囲ですので、いいと思いますが。
>
> なお、球体ではなく球面、要するに中は空洞、として、
> B が球の外にある場合、中にある場合、などを考えてみるのも面白いと思います。
> また、あまり意味はないですが、ポテンシャル(位置エネルギー)を計算して、それから力を計算する別解もあります。
> それと、明らかとは思いますが、静電場におけるクーロン力でも似たようなことがいえます。


お返事ありがとうございます。３次元の座標はxyz座標と円柱座標しか知りませんでした。円柱座標も問題を１問解いたことがあるだけで、ほとんど使えません。座標のことは理解しましたが、体積素というものは分かりません。自分で調べてみたのですが、直感的には次のような理解で良いのでしょうか？
線素 dL^2=dx^2+dy^2+dz^2
(xyz空間における十分に近い２点間の距離）

面積素　dS=dxdy
(xy座標における微小長方形の面積）

体積素　dV=dxdydz
(xyz空間における微小直方体の体積）

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[5924] Re:[5923] こんな感じかな　Re:[5921] お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/11/25(Sat) 12:32

> > 　お久しぶりです。数学と言うよりも物理の問題なのですが、積分の問題なので、もしよろしければご教授下さい。
> > 　『大きさのある一様な球体A（半径R,質量M）が、Aの中心からr離れた位置にある質点B（質量m)に及ぼす力が G(Mm/r^2)であることを万有引力の法則を用いて証明する。』という問題です。よろしくお願いします。
>
> 大学時代を懐かしく思い出します。この手の問題はいろいろやりました。
>
ふと懐かしさのあまり、思いっきり積分を使ってしまいましたが、もう少し直感的に、という話だったのでしょうか？
まぁ、積分は、一応、高校の範囲ですので、いいと思いますが。

なお、球体ではなく球面、要するに中は空洞、として、
B が球の外にある場合、中にある場合、などを考えてみるのも面白いと思います。
また、あまり意味はないですが、ポテンシャル(位置エネルギー)を計算して、それから力を計算する別解もあります。
それと、明らかとは思いますが、静電場におけるクーロン力でも似たようなことがいえます。

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[5923] こんな感じかな　Re:[5921] お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/11/25(Sat) 12:16

> 　お久しぶりです。数学と言うよりも物理の問題なのですが、積分の問題なので、もしよろしければご教授下さい。
> 　『大きさのある一様な球体A（半径R,質量M）が、Aの中心からr離れた位置にある質点B（質量m)に及ぼす力が G(Mm/r^2)であることを万有引力の法則を用いて証明する。』という問題です。よろしくお願いします。

大学時代を懐かしく思い出します。この手の問題はいろいろやりました。

まず、球の密度ρを ρ = M/(4πR^3/3) とおきます。
次に、空間座標を考え、球の中心を原点Oとし、OB を z 軸として、極座標表示 を考えます。
また、個人的な気持ちの問題ですが、r は極座標表示で使いたいので、OB = a と改めておきます。
さて、力はベクトルなので、一般には三次元ベクトルを考えることになりますが、
今の場合には対称性より、z 軸に平行な方向以外の力は相殺されてしまうので、z 軸に平行な方向の成分だけを考えれば十分です。
球内の点 P(r,θ,φ) における体積素 dV は、
r 方向が dr、θ方向が r * dθ、φ方向が r * sinθ * dφ の積なので、dV = r^2 * sinθ * drdθdφ になります。
(補足)
えと、補足しておくと、ここでは、
r は OP、θ は OP が z 軸の正の方向となす角度、φ は OP のxy平面への正射影が x 軸となす角度です。
θ と φ を反対にする流儀もある、その方が多い？、ような気がしてきたので一応。
最近の高校ではどうなのかな？　というよりも、ひょっとして、高校では空間の極座標表示ってやらない？
体積素はやらないのかもしれないな、とか思ってきました。
直感的には分かると思いますが、厳密には、座標変換によるヤコビアン、積分のmeasureの変換行列式、だから．．．
(補足終)
これと、B との間に働く万有引力は、f = G * (ρ * r^2 * sinθ * drdθdφ) * m * 1/PB^2 です。
ただし、PB は、余弦定理より PB^2 = r^2 + a^2 - 2ar * cosθ です。
そこで、この力の z 軸に平行な方向の大きさは、f * cos(∠PBO) です。
cos(∠PBO) は、やはり余弦定理より、cos(∠PBO) = (PB^2 + a^2 - r^2)/(2 * a * PB) です。
以上より、求める力 F は、次の積分になります。
F = ∫[r=0,R]∫[θ=0,π]∫[φ=0,2π]{f * cos(∠PBO)}
= ∫[r=0,R]∫[θ=0,π]∫[φ=0,2π]{G * (ρ * r^2 * sinθ * drdθdφ) * m * 1/PB^2 * (PB^2 + a^2 - r^2)/(2 * a * PB)}
= G * ρ * m * 1/2a * ∫dr[r=0,R]∫dθ[θ=0,π]∫dφ[φ=0,2π]{r^2 * sinθ * (1/PB + (a^2 - r^2)/PB^3)}
= Gρm/2a * ∫dr[r=0,R]{r^2 * ∫dθ[θ=0,π]{sinθ * (1/sqrt(r^2 + a^2 - 2ar * cosθ) + (a^2 - r^2)/(sqrt(r^2 + a^2 - 2ar * cosθ))^3)}} * ∫dφ[φ=0,2π]{1}
ここで、
∫dφ[φ=0,2π]{1} = 2π
また、cosθ = t とおくと、sinθdθ = -dt より
∫dθ[θ=0,π]{sinθ * (1/sqrt(r^2 + a^2 - 2ar * cosφ) + (a^2 - r^2)/(sqrt(r^2 + a^2 - 2ar * cosφ))^3)}
= ∫dt[t=-1,1]{(r^2 + a^2 - 2ar * t)^(-1/2) + (a^2 - r^2) * (r^2 + a^2 - 2ar * t)^(-3/2)}
= {(2 * (-1/2ar) * (r^2 + a^2 - 2ar * t)^(1/2)}[t=-1,1] + (a^2 - r^2) * (-2) * (-1/2ar) * (r^2 + a^2 - 2ar * t)^(-1/2)}[t=-1,1]
r, a > 0 なので
= 1/ar * {(r+a) - |a-r|} + (a^2 - r^2) * 1/ar * {1/|a-r| - 1/(r+a)}
ここで、B が球内にあるのか球外にあるのかで場合分けが発生しますが、
球内にある場合には、球内が空洞でない限り、抗力など、別途考慮することもあるし、r = a で微妙になるし、
一様な球体、という仮定にも反しそうなので、ナイーブに、球外にあると仮定すると、
0 < r < a がいえて、
= 1/ar * {(r+a) - (a-r)} + (a^2 - r^2) * 1/ar * {1/(a-r) - 1/(r+a)}
= 1/ar * 2r + (a^2 - r^2) * 1/ar * 2r/(a^2 - r^2)
= 2/a + 2/a
= 4/a
そこで、
F = Gρm/2a * ∫dr[r=0,R]{r^2 * 4/a * 2π}
= Gm * 4πρ* 1/a^2 * ∫dr[r=0,R]{r^2}
= Gm * 4πρ* 1/a^2 * {r^3/3}[r=0,R]
= Gm * 4πR^3/3 * ρ * 1/a^2
= Gm * 4πR^3/3 * M/(4πR^3/3) * 1/a^2
= GmM/a^2
a を r に戻して、GmM/r^2 になります。

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[5922] Re:[5921] お願いします。 投稿者：teki 投稿日：2006/11/24(Fri) 23:52

> 　お久しぶりです。数学と言うよりも物理の問題なのですが、積分の問題なので、もしよろしければご教授下さい。
> 　『大きさのある一様な球体A（半径R,質量M）が、Aの中心からr離れた位置にある質点B（質量m)に及ぼす力が G(Mm/r^2)であることを万有引力の法則を用いて証明する。』という問題です。よろしくお願いします。

これって、確か、球体Aが質量Mの質点O（Oは球体の中心）に置き換えられることを証明するんでしたっけ？

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[5921] お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/11/24(Fri) 17:35

　お久しぶりです。数学と言うよりも物理の問題なのですが、積分の問題なので、もしよろしければご教授下さい。
　『大きさのある一様な球体A（半径R,質量M）が、Aの中心からr離れた位置にある質点B（質量m)に及ぼす力が G(Mm/r^2)であることを万有引力の法則を用いて証明する。』という問題です。よろしくお願いします。

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[5920] 是非解いてみて下さい。 投稿者：0123210 投稿日：2006/11/22(Wed) 19:15

数学の自作問題を更新していきます。
是非解いて見てください。

http://www.geocities.jp/math_0123210/

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[5919] 算チャレ3 Q240 投稿者：tomh 投稿日：2006/11/22(Wed) 17:03

先程算チャレ3 Q240が出題されました.
今回は「数の積」の問題です.
小雪を感じながら解きましょう?! (^^;

また、今夜は算チャレQ526が出題されます.
再開1問目を元気に解きましょう! (^.^)

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5918] メールが 投稿者：ほげ 投稿日：2006/11/22(Wed) 11:21

不調です
届くメールと届かないメールがあります。
返事時を書いてないものがあったら　教えてください
こちらから代理のメアドを連絡します
ただ今対処中です

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[5917] パズルは 投稿者：ほげ 投稿日：2006/11/18(Sat) 21:02

賛否両論のようですね。
う〜む...

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[5916] こんにちは 投稿者：ほげ 投稿日：2006/11/16(Thu) 15:18

私の住んでいる地域では　地震の影響はありませんでした。
無事ですよ。
わざわざ　ありがとうございます。

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[5915] 竜巻の次は地震 投稿者：teki 投稿日：2006/11/15(Wed) 21:00

北海道は災難が続くようです。
ほげさんは、ご無事でしょうか？
ご無事なら、この掲示板でお知らせください。

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[5914] 算チャレ3 Q239 続報 投稿者：tomh 投稿日：2006/11/15(Wed) 18:26

先程算チャレ3 Q239が見られるようになりました.
「円すい」の問題です. さぁ、チャレンジ!!

http://www.geocities.jp/tomh/

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