| [6272] ほげさんのところは 投稿者：banyanyan 投稿日：2007/04/28(Sat) 11:29 | |
- この前は雪だとおっしゃっていましたが、もう桜は届きましたか。
こちらはもうとっくに散ってしまっていますが、前線は北上している最中でしょう。http://banyanyan.seesaa.net/
| [6271] Re:[6270] [6268] 無題 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/04/28(Sat) 09:54 | |
- > １０＋１＝１１
> 自分の票を足すと
> １１＋１＝１２票
算数さん、banyanyan さん もちろん正解です。私は次のように考えました。
５位以下が最低得票（１票）のときに当確ラインが最もあがること。
残り４３票を４人で取り合ったときの平均（１０．５）より多く得票すれば、
上位４人のなかで下から１位にならない.
したがって、１１+１＝１２（票）で当確になる。
| [6270] Re:[6268] 無題 投稿者：banyanyan 投稿日：2007/04/28(Sat) 09:12 | |
- ３位までで４位に勝てばいいのだから、
４３÷４＝１０あまり３
１０＋１＝１１
自分の票を足すと
１１＋１＝１２票http://banyanyan.seesaa.net/
| [6269] Re:[6268] 無題 投稿者：算数 投稿日：2007/04/27(Fri) 21:46 | |
- > 算チャレver.3 で当選確実の問題が出たので、次のような問題を思いだしました。
>
> [問題]４８人のクラスで３人の委員を決めることになりました。すると５人が立候補し
> ました。当然立候補者は自分に投票します。
> このとき絶対当選するには最低何票あればいいでしょう。
>
> 現実に起こりそうな問題でしょ。物足らないかもしれませんが解いてみてください。
残りの４３票をｘ、ｘ、ｘ、ｘ－１，０などと配分したら当確のような気がします
（自分以外の票は３ｘ－１なので３人ともがｘ票は得られないので）
よってｘ＝１１、自分の票もいれると１２票 なんか間違ってるような…
| [6268] 無題 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/04/27(Fri) 21:03 | |
- 算チャレver.3 で当選確実の問題が出たので、次のような問題を思いだしました。
[問題]４８人のクラスで３人の委員を決めることになりました。すると５人が立候補し
ました。当然立候補者は自分に投票します。
このとき絶対当選するには最低何票あればいいでしょう。
現実に起こりそうな問題でしょ。物足らないかもしれませんが解いてみてください。
| [6267] Re:[6266] [6263] [6261] こんにちは 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/04/26(Thu) 22:12 | |
- > 『まず明らかに，a(n) > 0 です。そこで，漸化式より a(n) > 1 です。
> 今，x^2 - x - p = 0 の正の解を a とします。a = 1 + p/a です。そこで，
> a(n+1) - a = (1 + p/a(n)) - (1 + p/a) = - p/(a(n) * a) * (a(n) - a)・・（１）』
>
> これは、uchinyanさんの解答の１部ですが、この式で両辺の逆数をとり、
> さらに、b(n)=1/{a(n)-a} とおいても解けます。
なるほど。ほげさんのようにはきれいではないですが，これでもできますね。
ありがとうございます。
| [6266] Re:[6263] [6261] こんにちは 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/04/25(Wed) 23:58 | |
- 返事が遅くなってしまい、すいませんでした。BossFさん,ほげさん、uchinyanさん、ありがとうございます。私は、ほげさんの解答で解きました。一般項の導き方ですが、次のようにしても出来ると思います。
『まず明らかに，a(n) > 0 です。そこで，漸化式より a(n) > 1 です。
今，x^2 - x - p = 0 の正の解を a とします。a = 1 + p/a です。そこで，
a(n+1) - a = (1 + p/a(n)) - (1 + p/a) = - p/(a(n) * a) * (a(n) - a)・・（１）』
これは、uchinyanさんの解答の１部ですが、この式で両辺の逆数をとり、
さらに、b(n)=1/{a(n)-a} とおいても解けます。皆様、ありがとうございました。
| [6265] 算チャレ3 Q258 投稿者：tomh 投稿日：2007/04/25(Wed) 17:01 | |
- 先程算チャレ3 Q258が出題されました.
今回は「投票数」の問題です.
200000アクセスを祝いながら解きましょう. (^o^)
また、今夜は算チャレQ547が出題されます.
邪心があっても解きましょう. (^.^)http://www.geocities.jp/tomh/
| [6264] おくればせながら 投稿者：呑ちゃん 投稿日：2007/04/25(Wed) 08:50 | |
- コングラチュレーション！（スペル知らんもん）
２０００００アクセス。すげ～すげ～！http://www21.ocn.ne.jp/~hopes/hon.htm
| [6263] Re:[6261] こんにちは 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/04/24(Tue) 23:16 | |
- > 特性方程式の解をa,b（a<b)とするとき
> b(n)=(a(n)-b)/(a(n)-a)とすると b(n)は等比数列になります
> その公比をrとすると 0<r<1から b(n)は0に収束します
えと，a < 0, b > 0, -1 < r = a/b < 0 かな，という気もしますが
> よって a(n)はbに収束します。
> という流れ（オーソドックスですが）で十分だと思いますが。
この方法で，a(n) が求まってしまうんですね！ 気が付かなかった。
ならば，この方が早いなぁ．．．
| [6262] 200000アクセス 投稿者：banyanyan 投稿日：2007/04/24(Tue) 23:06 | |
- おめでとうございます。
私も狙っていたのですがだめでしたあ。http://banyanyan.seesaa.net/
| [6261] こんにちは 投稿者：ほげ 投稿日：2007/04/24(Tue) 21:44 | |
- 特性方程式の解をa,b（a<b)とするとき
b(n)=(a(n)-b)/(a(n)-a)とすると b(n)は等比数列になります
その公比をrとすると 0<r<1から b(n)は0に収束します
よって a(n)はbに収束します。
という流れ（オーソドックスですが）で十分だと思いますが。
| [6260] Re:[6259] [6254] こんにちは 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/04/24(Tue) 17:48 | |
- > > 問題：a(1)=k, a(n+1)=1 +(p/a(n)) (p>0,k>0)
> > で定められる数列は、x^2-x-p=0の正の解に収束することを証明せよ。
> >
．．．
> なお，
> > 数列の一般項を導き、その結果、極限値を導くことはできたのですが、
> 一般項が求まるならばそれで十分かと思いますが，どうやって求めたのですか？
ふと思ったのですが，この漸化式で与えられる数列の極限は，次の連分数になりますね。
1 + p/k, 1 + p/(1 + p/k), 1 + p/(1 + p/(1 + p/k)), ..., 1 + p/(1 + p/(1 + p/...)))
この連分数が確定した値をもつことがいえれば，それから，極限値 a は，
a = 1 + p/a の正の解 つまり a^2 - a - p = 0 の正の解
であることは明らかです。
連分数の収束性，というか，確定した値をもつかどうかの判断は，どうするのでしょうか？
もちろん，今の場合は，[6259]の議論からいえていますが，他の判定法があるか，ということです。
なお，より一般に，
q + p/(q + p/(q + p/(...)))
として，p, q > 0 の場合は，[6259]の議論と同様にして確定した値をもつようです。
しかし，p, q が負の値を許すと，怪しくなってくるようです。
グラフによる考察との関係も興味深い気がします。例えば，p < 0 では y = x と交点がない場合もあります。
| [6259] Re:[6254] こんにちは 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/04/24(Tue) 15:18 | |
- > こんにちは。ZELDAです。やっと大学に入学することができました。
まずは，おめでとうございます ^^
さて．．．
> 問題：a(1)=k, a(n+1)=1 +(p/a(n)) (p>0,k>0)
> で定められる数列は、x^2-x-p=0の正の解に収束することを証明せよ。
>
BossFさんが書かれているように，y = 1 + p/x，y = x のグラフを描いて
収束の様子を調べてみるのがヒントになると思います。
まず明らかに，a(n) > 0 です。そこで，漸化式より a(n) > 1 です。
今，x^2 - x - p = 0 の正の解を a とします。a = 1 + p/a です。そこで，
a(n+1) - a = (1 + p/a(n)) - (1 + p/a) = - p/(a(n) * a) * (a(n) - a)
a(n+2) - a = - p/(a(n+1) * a) * (a(n+1) - a) = p^2/(a(n+1) * a(n) * a^2) * (a(n) - a)
|a(n+2) - a| = p^2/(a(n+1) * a(n) * a^2) * |a(n) - a|
ここで，
a(n+1) * a(n) = a(n) + p, a^2 = a + p
なので
|a(n+2) - a| = p/(a(n) + p) * p/(a + p) * |a(n) - a|
a(n) > 1 なので
|a(n+2) - a| < p/(1 + p) * p/(a + p) * |a(n) - a|
さらに，a > 0 に注意して，
0 < p/(1 + p) < 1, 0 < p/(a + p) < 1
なので
0 < c = p/(1 + p) * p/(a + p) < 1
とおけて
|a(n+2) - a| < c * |a(n) - a|
これから
|a(2n-1) - a| < c^(n-1) * |a(1) - a|, |a(2n) - a| < c^(n-1) * |a(2) - a|
n -> ∞, c^(n-1) -> 0, a(2n-1) -> a, a(2n) -> a
つまり、
n -> ∞, a(n) -> a
がいえます。
ただし，k = a ならば，
a(n+1) - a = - p/(a(n) * a) * (a(n) - a)
なので，a(1) = a(2) = ... = a(n) = ... = a ですね。
また，
a(n) > a -> a(n+1) < a, a(n) < a -> a(n+1) > a
なので，k not= a ならば，a(n) は振動しながら a に収束します。
なお，
> 数列の一般項を導き、その結果、極限値を導くことはできたのですが、
一般項が求まるならばそれで十分かと思いますが，どうやって求めたのですか？
| [6258] 秘密が 投稿者：0123210 投稿日：2007/04/24(Tue) 11:43 | |
- √３へぇ。
http://www.geocities.jp/math_0123210/
| [6257] Re:[6254] こんにちは 投稿者：BossF 投稿日：2007/04/24(Tue) 05:22 | |
- まずはおめでとうございます
> 問題：a(1)=k, a(n+1)=1 +(p/a(n)) (p>0,k>0)
> で定められる数列は、x^2-x-p=0の正の解に収束することを証明せよ。
f(x)=x と g(x)=1+1/x のgraghを描いて、「graghより明らかに、その交点に収束する」ではまずいかな？(=^・^=)http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [6256] �蝉璢� ! 投稿者：alekseipay 投稿日：2007/04/24(Tue) 04:08 | |
- �蝉璢�
ﾟ 癪 籥聽 驫瑯琺 辣 鴈譛褌 裨瑜逶� 騾蜥, 邇 � 髓蓚鸙詹. 托ｸ 轢 驍鉞� 跂髓瑪. �蝉璢� 珞跏逑 !
http://www.d0sug.pp.ru/
| [6255] おめでとうございます。 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/04/23(Mon) 23:50 | |
- おめでとうござます。ついに、２０００００突破しましたね。
うーん、誰が２０００００番にあたったのでしょうか？とても気になります。私も狙っていましたが、気が付いたら、パソコンの前で居眠りをしていました。気が付いたときには時既に遅しでした。
| [6254] こんにちは 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/04/23(Mon) 20:17 | |
- こんにちは。ZELDAです。やっと大学に入学することができました。皆様に感謝申し上げます。大学生は比較的時間に余裕がある生活をおくれるのかと思っていましたが、最近は意外といそがしく、ほとんどコンピュータの前に座る時間もなく、なかなか数学のサイトに書き込みをする時間も少なく、寂しい日々をおくっています。
話は大きく変わりますが、極限の問題で解けない問題がありましたので、もしよろしければ、ご教授下さい。数列の一般項を導き、その結果、極限値を導くことはできたのですが、一般項を出さずに極限値を求めることが出来ません。
問題：a(1)=k, a(n+1)=1 +(p/a(n)) (p>0,k>0)
で定められる数列は、x^2-x-p=0の正の解に収束することを証明せよ。
よろしくお願いします。
| [6253] Re:[6251] [6249] [6246] [6245] [6241] 算チャレ3 Q257 投稿者：スモークマン 投稿日：2007/04/22(Sun) 08:46 | |
- > 「ひたむきに生きる。これ以上何が必要なんだ！」と「開き直る」べし。
> しんどいときに理屈をあれこれ考え出すと、堂々巡りをしたり自分をいじめたりして
> 「どつぼ」にはまってしみやすいものだ・・・と思うからなのです。
同感です♪考える前に動け！あるいは、動きたくなければ動くな！ってことですよね。人も動物なんだから、動物のように、いま、ここでが生きてること。それ以外は、人の脳の特性に伴う幻影に過ぎないことかもしれませんものね。simple is best. ^^