| [6262] 200000アクセス 投稿者：banyanyan 投稿日：2007/04/24(Tue) 23:06 | |
- おめでとうございます。
私も狙っていたのですがだめでしたあ。http://banyanyan.seesaa.net/
| [6261] こんにちは 投稿者：ほげ 投稿日：2007/04/24(Tue) 21:44 | |
- 特性方程式の解をa,b（a<b)とするとき
b(n)=(a(n)-b)/(a(n)-a)とすると b(n)は等比数列になります
その公比をrとすると 0<r<1から b(n)は0に収束します
よって a(n)はbに収束します。
という流れ（オーソドックスですが）で十分だと思いますが。
| [6260] Re:[6259] [6254] こんにちは 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/04/24(Tue) 17:48 | |
- > > 問題：a(1)=k, a(n+1)=1 +(p/a(n)) (p>0,k>0)
> > で定められる数列は、x^2-x-p=0の正の解に収束することを証明せよ。
> >
．．．
> なお，
> > 数列の一般項を導き、その結果、極限値を導くことはできたのですが、
> 一般項が求まるならばそれで十分かと思いますが，どうやって求めたのですか？
ふと思ったのですが，この漸化式で与えられる数列の極限は，次の連分数になりますね。
1 + p/k, 1 + p/(1 + p/k), 1 + p/(1 + p/(1 + p/k)), ..., 1 + p/(1 + p/(1 + p/...)))
この連分数が確定した値をもつことがいえれば，それから，極限値 a は，
a = 1 + p/a の正の解 つまり a^2 - a - p = 0 の正の解
であることは明らかです。
連分数の収束性，というか，確定した値をもつかどうかの判断は，どうするのでしょうか？
もちろん，今の場合は，[6259]の議論からいえていますが，他の判定法があるか，ということです。
なお，より一般に，
q + p/(q + p/(q + p/(...)))
として，p, q > 0 の場合は，[6259]の議論と同様にして確定した値をもつようです。
しかし，p, q が負の値を許すと，怪しくなってくるようです。
グラフによる考察との関係も興味深い気がします。例えば，p < 0 では y = x と交点がない場合もあります。
| [6259] Re:[6254] こんにちは 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/04/24(Tue) 15:18 | |
- > こんにちは。ZELDAです。やっと大学に入学することができました。
まずは，おめでとうございます ^^
さて．．．
> 問題：a(1)=k, a(n+1)=1 +(p/a(n)) (p>0,k>0)
> で定められる数列は、x^2-x-p=0の正の解に収束することを証明せよ。
>
BossFさんが書かれているように，y = 1 + p/x，y = x のグラフを描いて
収束の様子を調べてみるのがヒントになると思います。
まず明らかに，a(n) > 0 です。そこで，漸化式より a(n) > 1 です。
今，x^2 - x - p = 0 の正の解を a とします。a = 1 + p/a です。そこで，
a(n+1) - a = (1 + p/a(n)) - (1 + p/a) = - p/(a(n) * a) * (a(n) - a)
a(n+2) - a = - p/(a(n+1) * a) * (a(n+1) - a) = p^2/(a(n+1) * a(n) * a^2) * (a(n) - a)
|a(n+2) - a| = p^2/(a(n+1) * a(n) * a^2) * |a(n) - a|
ここで，
a(n+1) * a(n) = a(n) + p, a^2 = a + p
なので
|a(n+2) - a| = p/(a(n) + p) * p/(a + p) * |a(n) - a|
a(n) > 1 なので
|a(n+2) - a| < p/(1 + p) * p/(a + p) * |a(n) - a|
さらに，a > 0 に注意して，
0 < p/(1 + p) < 1, 0 < p/(a + p) < 1
なので
0 < c = p/(1 + p) * p/(a + p) < 1
とおけて
|a(n+2) - a| < c * |a(n) - a|
これから
|a(2n-1) - a| < c^(n-1) * |a(1) - a|, |a(2n) - a| < c^(n-1) * |a(2) - a|
n -> ∞, c^(n-1) -> 0, a(2n-1) -> a, a(2n) -> a
つまり、
n -> ∞, a(n) -> a
がいえます。
ただし，k = a ならば，
a(n+1) - a = - p/(a(n) * a) * (a(n) - a)
なので，a(1) = a(2) = ... = a(n) = ... = a ですね。
また，
a(n) > a -> a(n+1) < a, a(n) < a -> a(n+1) > a
なので，k not= a ならば，a(n) は振動しながら a に収束します。
なお，
> 数列の一般項を導き、その結果、極限値を導くことはできたのですが、
一般項が求まるならばそれで十分かと思いますが，どうやって求めたのですか？
| [6258] 秘密が 投稿者：0123210 投稿日：2007/04/24(Tue) 11:43 | |
- √３へぇ。
http://www.geocities.jp/math_0123210/
| [6257] Re:[6254] こんにちは 投稿者：BossF 投稿日：2007/04/24(Tue) 05:22 | |
- まずはおめでとうございます
> 問題：a(1)=k, a(n+1)=1 +(p/a(n)) (p>0,k>0)
> で定められる数列は、x^2-x-p=0の正の解に収束することを証明せよ。
f(x)=x と g(x)=1+1/x のgraghを描いて、「graghより明らかに、その交点に収束する」ではまずいかな？(=^・^=)http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [6256] �蝉璢� ! 投稿者：alekseipay 投稿日：2007/04/24(Tue) 04:08 | |
- �蝉璢�
ﾟ 癪 籥聽 驫瑯琺 辣 鴈譛褌 裨瑜逶� 騾蜥, 邇 � 髓蓚鸙詹. 托ｸ 轢 驍鉞� 跂髓瑪. �蝉璢� 珞跏逑 !
http://www.d0sug.pp.ru/
| [6255] おめでとうございます。 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/04/23(Mon) 23:50 | |
- おめでとうござます。ついに、２０００００突破しましたね。
うーん、誰が２０００００番にあたったのでしょうか？とても気になります。私も狙っていましたが、気が付いたら、パソコンの前で居眠りをしていました。気が付いたときには時既に遅しでした。
| [6254] こんにちは 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/04/23(Mon) 20:17 | |
- こんにちは。ZELDAです。やっと大学に入学することができました。皆様に感謝申し上げます。大学生は比較的時間に余裕がある生活をおくれるのかと思っていましたが、最近は意外といそがしく、ほとんどコンピュータの前に座る時間もなく、なかなか数学のサイトに書き込みをする時間も少なく、寂しい日々をおくっています。
話は大きく変わりますが、極限の問題で解けない問題がありましたので、もしよろしければ、ご教授下さい。数列の一般項を導き、その結果、極限値を導くことはできたのですが、一般項を出さずに極限値を求めることが出来ません。
問題：a(1)=k, a(n+1)=1 +(p/a(n)) (p>0,k>0)
で定められる数列は、x^2-x-p=0の正の解に収束することを証明せよ。
よろしくお願いします。
| [6253] Re:[6251] [6249] [6246] [6245] [6241] 算チャレ3 Q257 投稿者：スモークマン 投稿日：2007/04/22(Sun) 08:46 | |
- > 「ひたむきに生きる。これ以上何が必要なんだ！」と「開き直る」べし。
> しんどいときに理屈をあれこれ考え出すと、堂々巡りをしたり自分をいじめたりして
> 「どつぼ」にはまってしみやすいものだ・・・と思うからなのです。
同感です♪考える前に動け！あるいは、動きたくなければ動くな！ってことですよね。人も動物なんだから、動物のように、いま、ここでが生きてること。それ以外は、人の脳の特性に伴う幻影に過ぎないことかもしれませんものね。simple is best. ^^
| [6251] Re:[6249] [6246] [6245] [6241] 算チャレ3 Q257 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/04/21(Sat) 21:58 | |
- > 前半は、So do I. 進化って結果論ですから。自分で編み出したものじゃおそらくなくって、自然淘汰されただけでしょ？
> 後半は、本能を欠如、忘れ、言葉でバーチャルな世界に生きるようになった人間は「尊厳」（自分の存在、生きてる意味）が重んじられないと生きにくくなってしまってると思うので、、、そこまで達観できません。。。^^;
私はちっぽけな単なる凡人で悟りきっているわけでも達観しているわけでもありませ
ん。ただ自分が精神的に疲れたときなどに自分に言い聞かせてことをかいみたのです。
「ひたむきに生きる。これ以上何が必要なんだ！」と「開き直る」べし。
しんどいときに理屈をあれこれ考え出すと、堂々巡りをしたり自分をいじめたりして
「どつぼ」にはまってしみやすいものだ・・・と思うからなのです。
| [6250] 不惑とはいうけれど… 投稿者：banyanyan 投稿日：2007/04/21(Sat) 21:34 | |
- ダンディさんみたいに考えられればいいのですが、私はまだまだ惑い中。
そういえば私を担当して下さっている先生が、何か結果を出そうとか何かを達成しよう
とか考えない方がいいとおっしゃっていましたね。
でもそれが許されるような会社でもないし、社会でもないというのが現実ではないので
しょうか。
不惑というのは惑うからわざわざ不惑っていうのでしょうね。http://banyanyan.seesaa.net/
| [6249] Re:[6246] [6245] [6241] 算チャレ3 Q257 投稿者：スモークマン 投稿日：2007/04/21(Sat) 12:32 | |
- > 「進歩」なんて考えなかったらよい！！
> そもそも生物たるもの「進歩せねば」なんて考えながら生き続けてなんかいやしない。 ただ、厳しい自然との闘いや生存競争に明け暮れているだけ。（結果として進化があるだけ）
> 「進歩」とか「意義」とか「生き甲斐」なんて考えずに、ただひたむきに生きているという生物の原点に返ればいい。
> 「人間らしく」なんて人間のたんなる「おごり」。自然に学び、自然に帰ることの方が大事。
前半は、So do I. 進化って結果論ですから。自分で編み出したものじゃおそらくなくって、自然淘汰されただけでしょ？
後半は、本能を欠如、忘れ、言葉でバーチャルな世界に生きるようになった人間は「尊厳」（自分の存在、生きてる意味）が重んじられないと生きにくくなってしまってると思うので、、、そこまで達観できません。。。^^;
| [6248] 問題45UPしました 投稿者：ほげ 投稿日：2007/04/21(Sat) 11:22 | |
- 前回は手頃であるという意見が少々 やや多数の方が簡単というご意見でした。
今回はどうでしょうか
| [6247] Re:[6246] [6245] [6241] 算チャレ3 Q257 投稿者：banyanyan 投稿日：2007/04/20(Fri) 20:01 | |
- > 「進歩」なんて考えなかったらよい！！
それはそうなんですけど、会社の中ではそれでは取り残されてしまい、用済み扱いされてしまいます。
マイナス思考だっていいと思うんですけど、プラス思考じゃない人間は人間として認めてもらえないです。
私はいろんな価値観を持っていることが会社にとってもハイブリッドという意味で大事だと思うんですけど、会社にとってはそうじゃないみたいで…
ちょっと苦しんでます。^_^;
http://banyanyan.seesaa.net/
| [6246] Re:[6245] [6241] 算チャレ3 Q257 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/04/20(Fri) 01:40 | |
- > > 初心を忘れずに解きましょう. (^.^)
> 初心を忘れるどころか一歩も進歩しない私はどうしたらよいのでしょうか。
「進歩」なんて考えなかったらよい！！
そもそも生物たるもの「進歩せねば」なんて考えながら生き続けてなんかいやしない。
ただ、厳しい自然との闘いや生存競争に明け暮れているだけ。（結果として進化があるだけ）
「進歩」とか「意義」とか「生き甲斐」なんて考えずに、ただひたむきに生きていると
いう生物の原点に返ればいい。
「人間らしく」なんて人間のたんなる「おごり」。自然に学び、自然に返ることの方が
大事。
・・・・・・と思う今日この頃。
| [6245] Re:[6241] 算チャレ3 Q257 投稿者：banyanyan 投稿日：2007/04/19(Thu) 23:45 | |
- > Dやんに負けないように～ (^o^)
いつまでたっても勝てません(>_<)
> また、今夜は算チャレQ546が出題されます.
> 初心を忘れずに解きましょう. (^.^)
初心を忘れるどころか一歩も進歩しない私はどうしたらよいのでしょうか。http://banyanyan.seesaa.net/
| [6244] Re:[6243] 疑問 投稿者：中1の堤真人 投稿日：2007/04/18(Wed) 17:57 | |
- > みっちを探せ！に
> 入りたいんですが・・
> どうすれば・・・？
↑分かりました!
tomhさんのメアド分かりません(T0T)
| [6243] 疑問 投稿者：中1の堤真人 投稿日：2007/04/18(Wed) 17:47 | |
- みっちを探せ！に
入りたいんですが・・
どうすれば・・・？
| [6242] Re:[6241] 算チャレ3 Q257 投稿者：中1の堤真人 投稿日：2007/04/18(Wed) 17:37 | |
- 算チャレ3 Q257が出題されました.
> 今回は「六角形」の問題です.
> Dやんに負けないように～ (^o^)
>
tomhさんなんで算チャレの掲示板は閉鎖されたんですか
しってたら教えてくださいｍ(＿)ｍ