| [6276] 算チャレ3 Q259 投稿者：tomh 投稿日：2007/05/02(Wed) 17:00 | |
- 先程算チャレ3 Q259が出題されました.
今回は「直方体」の問題です.
連休中でもそうでなくても解きましょう. (^o^)
今夜の算チャレはお休みです. (^.^)
http://www.geocities.jp/tomh/
| [6275] Re:[6274] 改名しました 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/04/29(Sun) 22:36 | |
- かっこいい名前ですね。これからもよろしくお願いします。
| [6274] 改名しました 投稿者：鞍馬の天狗 投稿日：2007/04/29(Sun) 13:11 | |
- 名前か改名しました
中1の堤真人から鞍馬の天狗
に変えました
これからも宜しくお願いします
| [6273] 桜は... 投稿者：ほげ 投稿日：2007/04/29(Sun) 05:55 | |
- まだですね 家の近くに桜並木がありますが まだ咲いてないようです。
昨日は 家でのんびり一日を過ごしてしまいました。
せっかくの連休なので 明日スキーにいくことにしました。
そう 北海道はゴールデンウィークまで スキーができるのです。
ところで 昨日 問題集の問題UPをしてませんでした
これからUPいたします）ただいま準備中です
| [6272] ほげさんのところは 投稿者：banyanyan 投稿日：2007/04/28(Sat) 11:29 | |
- この前は雪だとおっしゃっていましたが、もう桜は届きましたか。
こちらはもうとっくに散ってしまっていますが、前線は北上している最中でしょう。http://banyanyan.seesaa.net/
| [6271] Re:[6270] [6268] 無題 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/04/28(Sat) 09:54 | |
- > １０＋１＝１１
> 自分の票を足すと
> １１＋１＝１２票
算数さん、banyanyan さん もちろん正解です。私は次のように考えました。
５位以下が最低得票（１票）のときに当確ラインが最もあがること。
残り４３票を４人で取り合ったときの平均（１０．５）より多く得票すれば、
上位４人のなかで下から１位にならない.
したがって、１１+１＝１２（票）で当確になる。
| [6270] Re:[6268] 無題 投稿者：banyanyan 投稿日：2007/04/28(Sat) 09:12 | |
- ３位までで４位に勝てばいいのだから、
４３÷４＝１０あまり３
１０＋１＝１１
自分の票を足すと
１１＋１＝１２票http://banyanyan.seesaa.net/
| [6269] Re:[6268] 無題 投稿者：算数 投稿日：2007/04/27(Fri) 21:46 | |
- > 算チャレver.3 で当選確実の問題が出たので、次のような問題を思いだしました。
>
> [問題]４８人のクラスで３人の委員を決めることになりました。すると５人が立候補し
> ました。当然立候補者は自分に投票します。
> このとき絶対当選するには最低何票あればいいでしょう。
>
> 現実に起こりそうな問題でしょ。物足らないかもしれませんが解いてみてください。
残りの４３票をｘ、ｘ、ｘ、ｘ−１，０などと配分したら当確のような気がします
（自分以外の票は３ｘ−１なので３人ともがｘ票は得られないので）
よってｘ＝１１、自分の票もいれると１２票 なんか間違ってるような…
| [6268] 無題 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/04/27(Fri) 21:03 | |
- 算チャレver.3 で当選確実の問題が出たので、次のような問題を思いだしました。
[問題]４８人のクラスで３人の委員を決めることになりました。すると５人が立候補し
ました。当然立候補者は自分に投票します。
このとき絶対当選するには最低何票あればいいでしょう。
現実に起こりそうな問題でしょ。物足らないかもしれませんが解いてみてください。
| [6267] Re:[6266] [6263] [6261] こんにちは 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/04/26(Thu) 22:12 | |
- > 『まず明らかに，a(n) > 0 です。そこで，漸化式より a(n) > 1 です。
> 今，x^2 - x - p = 0 の正の解を a とします。a = 1 + p/a です。そこで，
> a(n+1) - a = (1 + p/a(n)) - (1 + p/a) = - p/(a(n) * a) * (a(n) - a)・・（１）』
>
> これは、uchinyanさんの解答の１部ですが、この式で両辺の逆数をとり、
> さらに、b(n)=1/{a(n)-a} とおいても解けます。
なるほど。ほげさんのようにはきれいではないですが，これでもできますね。
ありがとうございます。
| [6266] Re:[6263] [6261] こんにちは 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/04/25(Wed) 23:58 | |
- 返事が遅くなってしまい、すいませんでした。BossFさん,ほげさん、uchinyanさん、ありがとうございます。私は、ほげさんの解答で解きました。一般項の導き方ですが、次のようにしても出来ると思います。
『まず明らかに，a(n) > 0 です。そこで，漸化式より a(n) > 1 です。
今，x^2 - x - p = 0 の正の解を a とします。a = 1 + p/a です。そこで，
a(n+1) - a = (1 + p/a(n)) - (1 + p/a) = - p/(a(n) * a) * (a(n) - a)・・（１）』
これは、uchinyanさんの解答の１部ですが、この式で両辺の逆数をとり、
さらに、b(n)=1/{a(n)-a} とおいても解けます。皆様、ありがとうございました。
| [6265] 算チャレ3 Q258 投稿者：tomh 投稿日：2007/04/25(Wed) 17:01 | |
- 先程算チャレ3 Q258が出題されました.
今回は「投票数」の問題です.
200000アクセスを祝いながら解きましょう. (^o^)
また、今夜は算チャレQ547が出題されます.
邪心があっても解きましょう. (^.^)http://www.geocities.jp/tomh/
| [6264] おくればせながら 投稿者：呑ちゃん 投稿日：2007/04/25(Wed) 08:50 | |
- コングラチュレーション！（スペル知らんもん）
２０００００アクセス。すげ〜すげ〜！http://www21.ocn.ne.jp/~hopes/hon.htm
| [6263] Re:[6261] こんにちは 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/04/24(Tue) 23:16 | |
- > 特性方程式の解をa,b（a<b)とするとき
> b(n)=(a(n)-b)/(a(n)-a)とすると b(n)は等比数列になります
> その公比をrとすると 0<r<1から b(n)は0に収束します
えと，a < 0, b > 0, -1 < r = a/b < 0 かな，という気もしますが
> よって a(n)はbに収束します。
> という流れ（オーソドックスですが）で十分だと思いますが。
この方法で，a(n) が求まってしまうんですね！ 気が付かなかった。
ならば，この方が早いなぁ．．．
| [6262] 200000アクセス 投稿者：banyanyan 投稿日：2007/04/24(Tue) 23:06 | |
- おめでとうございます。
私も狙っていたのですがだめでしたあ。http://banyanyan.seesaa.net/
| [6261] こんにちは 投稿者：ほげ 投稿日：2007/04/24(Tue) 21:44 | |
- 特性方程式の解をa,b（a<b)とするとき
b(n)=(a(n)-b)/(a(n)-a)とすると b(n)は等比数列になります
その公比をrとすると 0<r<1から b(n)は0に収束します
よって a(n)はbに収束します。
という流れ（オーソドックスですが）で十分だと思いますが。
| [6260] Re:[6259] [6254] こんにちは 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/04/24(Tue) 17:48 | |
- > > 問題：a(1)=k, a(n+1)=1 +(p/a(n)) (p>0,k>0)
> > で定められる数列は、x^2-x-p=0の正の解に収束することを証明せよ。
> >
．．．
> なお，
> > 数列の一般項を導き、その結果、極限値を導くことはできたのですが、
> 一般項が求まるならばそれで十分かと思いますが，どうやって求めたのですか？
ふと思ったのですが，この漸化式で与えられる数列の極限は，次の連分数になりますね。
1 + p/k, 1 + p/(1 + p/k), 1 + p/(1 + p/(1 + p/k)), ..., 1 + p/(1 + p/(1 + p/...)))
この連分数が確定した値をもつことがいえれば，それから，極限値 a は，
a = 1 + p/a の正の解 つまり a^2 - a - p = 0 の正の解
であることは明らかです。
連分数の収束性，というか，確定した値をもつかどうかの判断は，どうするのでしょうか？
もちろん，今の場合は，[6259]の議論からいえていますが，他の判定法があるか，ということです。
なお，より一般に，
q + p/(q + p/(q + p/(...)))
として，p, q > 0 の場合は，[6259]の議論と同様にして確定した値をもつようです。
しかし，p, q が負の値を許すと，怪しくなってくるようです。
グラフによる考察との関係も興味深い気がします。例えば，p < 0 では y = x と交点がない場合もあります。
| [6259] Re:[6254] こんにちは 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/04/24(Tue) 15:18 | |
- > こんにちは。ZELDAです。やっと大学に入学することができました。
まずは，おめでとうございます ^^
さて．．．
> 問題：a(1)=k, a(n+1)=1 +(p/a(n)) (p>0,k>0)
> で定められる数列は、x^2-x-p=0の正の解に収束することを証明せよ。
>
BossFさんが書かれているように，y = 1 + p/x，y = x のグラフを描いて
収束の様子を調べてみるのがヒントになると思います。
まず明らかに，a(n) > 0 です。そこで，漸化式より a(n) > 1 です。
今，x^2 - x - p = 0 の正の解を a とします。a = 1 + p/a です。そこで，
a(n+1) - a = (1 + p/a(n)) - (1 + p/a) = - p/(a(n) * a) * (a(n) - a)
a(n+2) - a = - p/(a(n+1) * a) * (a(n+1) - a) = p^2/(a(n+1) * a(n) * a^2) * (a(n) - a)
|a(n+2) - a| = p^2/(a(n+1) * a(n) * a^2) * |a(n) - a|
ここで，
a(n+1) * a(n) = a(n) + p, a^2 = a + p
なので
|a(n+2) - a| = p/(a(n) + p) * p/(a + p) * |a(n) - a|
a(n) > 1 なので
|a(n+2) - a| < p/(1 + p) * p/(a + p) * |a(n) - a|
さらに，a > 0 に注意して，
0 < p/(1 + p) < 1, 0 < p/(a + p) < 1
なので
0 < c = p/(1 + p) * p/(a + p) < 1
とおけて
|a(n+2) - a| < c * |a(n) - a|
これから
|a(2n-1) - a| < c^(n-1) * |a(1) - a|, |a(2n) - a| < c^(n-1) * |a(2) - a|
n -> ∞, c^(n-1) -> 0, a(2n-1) -> a, a(2n) -> a
つまり、
n -> ∞, a(n) -> a
がいえます。
ただし，k = a ならば，
a(n+1) - a = - p/(a(n) * a) * (a(n) - a)
なので，a(1) = a(2) = ... = a(n) = ... = a ですね。
また，
a(n) > a -> a(n+1) < a, a(n) < a -> a(n+1) > a
なので，k not= a ならば，a(n) は振動しながら a に収束します。
なお，
> 数列の一般項を導き、その結果、極限値を導くことはできたのですが、
一般項が求まるならばそれで十分かと思いますが，どうやって求めたのですか？
| [6258] 秘密が 投稿者：0123210 投稿日：2007/04/24(Tue) 11:43 | |
- √３へぇ。
http://www.geocities.jp/math_0123210/
| [6257] Re:[6254] こんにちは 投稿者：BossF 投稿日：2007/04/24(Tue) 05:22 | |
- まずはおめでとうございます
> 問題：a(1)=k, a(n+1)=1 +(p/a(n)) (p>0,k>0)
> で定められる数列は、x^2-x-p=0の正の解に収束することを証明せよ。
f(x)=x と g(x)=1+1/x のgraghを描いて、「graghより明らかに、その交点に収束する」ではまずいかな？(=^・^=)http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/