| [5777] すいません。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/22(Sat) 19:11 | |
- せっかく計算していただいたのに、たいへん申し訳ありません。
２次曲線の一般形をax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
焦点を(a,0)と、aが２箇所に入ってしまったのですが、これは誤りです。
焦点の座標を(p,0)に変えていただけると助かります。本当に申し訳ありませんでした。
よろしくお願いします。
| [5776] 放物線だった！ 投稿者：BossF 投稿日：2006/07/22(Sat) 18:15 | |
- 失礼 考え直して、あとでまた投稿します(^^;;
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5775] [5773] 一応考えてみましたが、全く自信なし．．． 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/22(Sat) 13:02 | |
- まず、原点を焦点とし、軸を x 軸とする放物線の方程式を求めておきましょう。
放物線の定義は、いろいろありますが、一番基本的なのは、
放物線上の点 (x,y) と、ある直線、準線といいます、との距離が、焦点との距離に等しい曲線です。
これを使うと、焦点を原点とし、準線を x = p として、
sqrt(x^2 + y^2) = |x - p|
x^2 + y^2 = (x - p)^2
y^2 = -2p * x + p^2
次に、軸を回転します。これは座標軸を -θ 回転して新しい座標系からみた座標を (X,Y) とすると、
X = cosθ * x - sinθ * y
Y = sinθ * x + cosθ * y
x = cosθ * X + sinθ * Y
y = - sinθ * X + cosθ * Y
なお、θの正負は、実は関係しないのですが、
一応、新しい座標軸から見て、放物線の軸がθだけ回転しているようにしました。
そこで、
(- sinθ * X + cosθ * Y)^2 = -2p * (cosθ * X + sinθ * Y) + p^2
(sinθ)^2 * X^2 - 2 * sinθ * cosθ * XY + (cosθ)^2 * Y^2 + 2p * cosθ * X + 2p * sinθ * Y - p^2 = 0
以下の比較のために、X, Y を新たに x, y としておけば、
(sinθ)^2 * x^2 - 2 * sinθ * cosθ * xy + (cosθ)^2 * y^2 + 2p * cosθ * x + 2p * sinθ * y - p^2 = 0
ここまでで、放物線の軸は傾きましたが、焦点は原点のままなので、これを (a,0) にします。
これは、x -> x - a, y -> y と平行移動すればOKです。そこで、
(sinθ)^2 * (x - a)^2 - 2 * sinθ * cosθ * (x - a)y + (cosθ)^2 * y^2
+ 2p * cosθ * (x - a) + 2p * sinθ * y - p^2 = 0
(sinθ)^2 * x^2 - 2 * sinθ * cosθ * xy + (cosθ)^2 * y^2
+ (- 2a * (sinθ)^2 + 2p * cosθ) * x + (2a * sinθ * cosθ + 2p * sinθ) * y
+ (a^2 * (sinθ)^2 - 2ap * cosθ - p^2) = 0
これで、求める一般式が得られました。これが、
a * x^2 + b * xy + c * y^2 + d * x + e * y + f = 0
に等しければいいので、a が同じだけどいいのですね？、k を 0 でないとして、
(sinθ)^2 = ka
- 2 * sinθ * cosθ = kb
(cosθ)^2 = kc
- 2a * (sinθ)^2 + 2p * cosθ = kd
2a * sinθ * cosθ + 2p * sinθ = ke
a^2 * (sinθ)^2 - 2ap * cosθ - p^2 = kf
ちなみに、k = 0 は意味がありません。
最初の三つの式から、
k = 1/(a + c)
b^2 = 4ac
になります。
後者は、BossFさんが触れられている話です。ちなみに、楕円は b^2 < 4ac、双曲線は b^2 > 4ac です。
さて、残りのスゴイ式ですが、最初の三つの式から、
(sinθ)^2 = ka
2 * sinθ * cosθ = - kb
を代入して、
- 2k * a^2 + 2p * cosθ = kd
- kab + 2p * sinθ = ke
k * a^3 - 2ap * cosθ - p^2 = kf
最初と最後の式より
- k * a^3 - p^2 = kf + kad
p^2 = - k * a^3 - kad - kf
sinθの式を変形して、
2p * sinθ = kab + ke
4 * p^2 * (sinθ)^2 = (kab + ke)^2
p^2 と (sinθ)^2 を消去して、
4 * (- k * a^3 - kf - kad) * (ka) = (kab + ke)^2
k は 0 ではないので、k^2 で割って、
- 4a * (a^3 + ad + f) = (ab + e)^2
4 * a^4 + 4 * a^2 * d + 4 * af + a^2 * b^2 + 2abe + e^2 = 0
...
と、ここまできたのですが、この後どうしたものか．．．
b^2 = 4ac を使ってもきれいにならないし．．．
絶対、何か間違っていますね (^^;
ご指摘をお願い致します。
| [5774] 懐かしい問題ですね 投稿者：BossF 投稿日：2006/07/22(Sat) 07:17 | |
- うろ覚えなので、間違ってるかもしれませんが確か…
F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 が楕円になるためには
b^2-4ac<0 が必要で
この時、中心(p,q)は
∂F/∂x=2ax+by+d=0 ∂F/∂y=bx+2cy+e=0
を解いて求められます。それが原点に来るように平行移動をすると
aX^2+bXY+cY^2=-F(p,q) になり
tan2θ=b/(a-c)となる角だけ回転させると新座標系(ξ,η）で標準形にできますから、その焦点が(a,o)の移った点となることが条件です
以上のような方針です、あとで実際に計算して見ますがとりあえずこれで(^^;;http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5773] 教えていただけないでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/21(Fri) 21:17 | |
- また、質問よろしいでしょうか？
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
が２次曲線を表すとき、これが(a,0)を焦点とする放物線になる条件を求めよ。
軸が斜めでもよい問題なので、どう扱っていいのか分かりません。分かる方いらっしゃいましたら、御教授ください。よろしくお願いします。
| [5772] 算チャレ3 Q223 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/19(Wed) 17:07 | |
- 先程算チャレ3 Q223が出題されました。
今回は「りんごとなしの売り上げ」の問題です。
夏を待ち焦がれながら解きましょう?! (^^;
また、今夜は算チャレQ510が出題されます。
算チャレは今晩も歴史を刻みます。 (^.^)
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5771] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/15(Sat) 13:12 | |
- ほげさん、ありがとうございます。書き込めました。
| [5770] 修正いたしました 投稿者：ほげ 投稿日：2006/07/15(Sat) 12:48 | |
- ごめんなさい 修正しました
| [5769] Re:[5768]同じく 投稿者：なにわ 投稿日：2006/07/15(Sat) 10:13 | |
- １番かと思いましたが…… そんなことなかった。
| [5768] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/15(Sat) 09:56 | |
- ほげさんへ、問題集の正解者一覧に名前を書き込めないのですが・・・。
| [5767] 算チャレ3 Q222 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/12(Wed) 17:03 | |
- 先程算チャレ3 Q222が出題されました。
今回は「222…2の割り算」の問題です。
Q222の記念問題(?)、心して解きましょう。 (^^;
また、今夜は算チャレQ509が出題されます。
「雨ニモ負ケズ算チャレニモ負ケズ」で解きましょう?! (^^;;
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5766] 算チャレ3 Q221 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/05(Wed) 17:08 | |
- 先程算チャレ3 Q221が出題されました。
今回は「方陣」の問題です。
防空体勢万全で解きましょう… (^^;
また、今夜は算チャレQ508が出題されます。
短冊に「算チャレで好成績」と書いてから解きましょう?! (^^;;
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5765] 問題UP終了 投稿者：ほげ 投稿日：2006/07/05(Wed) 08:04 | |
- 問題をUPしました。私はもう少し 自宅にいるので おかしいところがあれば教えてください。直します。それ以降は明日訂正します。
uchinyanさん ありがとうございます。問題集は不定期の予定でしたが
皆さん解答をしてくださるので それが楽しくて 今のところ毎週土曜に出題しています。
ZELDAさんの問題も面白い問題でした。私にはとけませんでしたが(^_^)
このHPの中の 数学や算数の話題が 私の活力になっています
| [5764] あまりご無理をなさらないように Re:[5763] 明日の問題UPについて 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/04(Tue) 17:35 | |
- > 申し訳ありませんが 今月も 夜は 多忙のため不在です。
> 明日の 朝８時にUPする予定です。
> 本年度は 夜の時間のUPをお約束できません。（UPできる時もあると思います）
> ご迷惑をおかけしますが この掲示板にカキコしますので よろしくお願いします。m(__)m
>
問題集の方も、不定期、とあるのに、律儀に毎週UPなさっているし、
最近はZELDAさんも難問を投げてくるし？ (^^;
のんびりやりましょうよぉ～
というわけで、私も明日の問題は、いろいろあって、ゆっくり参加しようかな、
と思っています。
| [5763] 明日の問題UPについて 投稿者：ほげ 投稿日：2006/07/04(Tue) 07:50 | |
- 申し訳ありませんが 今月も 夜は 多忙のため不在です。
明日の 朝８時にUPする予定です。
本年度は 夜の時間のUPをお約束できません。（UPできる時もあると思います）
ご迷惑をおかけしますが この掲示板にカキコしますので よろしくお願いします。m(__)m
| [5762] 掲示板について 投稿者：ほげ 投稿日：2006/07/04(Tue) 06:41 | |
- 現在14問なので 14で始まります。
数字の合計は11問目から14問目までの答えの合計を入力します。
私も入れました（あたりまえ？(~_~)
もう一度試していただけませんか
出来なかった時は 入力した数値をメールで送ってください
対処します
| [5761] Re:[5760] 問題集掲示板11-20 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/03(Mon) 20:23 | |
- 私は、入れましたが・・・
| [5760] 問題集掲示板11-20 投稿者：BossF 投稿日：2006/07/03(Mon) 17:26 | |
- 入れないんですが？私だけかな？
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5759] 少しコメント Re:[5758] 無題 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/01(Sat) 11:59 | |
- > uchinyanさんすいませんでした。ワイエルシュトラスの定理を用いて極限値の存在証明をして、
> さらに S(n)=S(n-1)=Sとして、Ｓに関する方程式を解けば確かに極限値もきちんと求まりますね。
>
ワイエルシュトラスの定理は、ＢｏｓｓＦさんが、その使い方をご教示くださっているので、
多分、使ってもいいのだろうと思いますが、
その証明自体は、直感的説明はともかく、厳密には、大学レベルの知識、
実数の連続性に関する何らかの事実を公理として認めないとできないと思うので、
個人的には、受験答案では、あまりお勧めできないと思います。
白紙よりまし、という窮余の一策とお考えください。
> (1+1/n)^n が増加することの証明に、相加相乗を使うとは思いもしませんでした。すごすぎる証明ですね。とくに最後につけた「１」は、面白いですね。
>
面白い方法なので、紹介しました。もちろん、私のオリジナルではありません (^^;
ただ、この証明にはひとつ落とし穴があります。それは、相加相乗平均の一般形をどう証明するかです。
log の凸性を使うのが簡単なのですが、これだと、ZELDAさんがご指摘のように、循環論法に陥る危険があります。
他にも、幾つか方法があるので、log に関係しない方法で証明しておく、ことが、前提になります。
その点、二項定理による方法は、単なる式の展開なので、あいまい性がなく、
実は、非常に優れた証明だと思っています。
| [5758] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/01(Sat) 11:08 | |
- uchinyanさんすいませんでした。ワイエルシュトラスの定理を用いて極限値の存在証明をして、さらに S(n)=S(n-1)=Sとして、Ｓに関する方程式を解けば確かに極限値もきちんと求まりますね。
(1+1/n)^n が増加することの証明に、相加相乗を使うとは思いもしませんでした。すごすぎる証明ですね。とくに最後につけた「１」は、面白いですね。
lim[n→∞]∑[k=1,n]{k^k/(n+1)^n} この問題ひとつにも、とても深い内容が詰まっているんですね。いろいろと教えていただきありがとうございました。単調で有界ならば、収束するという定理を最後の手段として使わせていただこうと思います。それでは、失礼します。