---

[5753] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/30(Fri) 20:22

　　いやー今日はさんざんな１日でした。電車で寝過ごし、お茶の水で降り損ねてしまいました。しかも、シャーペンが壊れて、もうイヤー。でも、たいへんうれしいことに家に帰ってみたらお二方からのお返事が来ていました。ありがとうございます。
　
　１つ目の質問にまで答えて頂きありがとうございます。教科書などで説明がないのに、問題集や予備校の授業で書かれてしまってとても困っていました。これで安心して使えます。
　
　２つ目の質問に関してですが、ワイエルシュトラスの定理を用いた場合には収束することは分かりますが、極限値は分からないような気がするのですが、分かるのでしょうか？
　それと、(1+1/n)^n < {1+1/(n+1)}^(n+1) （ｎ:自然数）は、２項定理を用いて何とか証明できました。正直いってかなり苦労しました。

最初に f(x)=log(1+1/x)^x　とおいて、f(x)の増減を調べようとしました。しかし、logを微分することができないことに気づきました。(もし、微分したら証明すべきことを仮定として使うことになってしまうから）

次に差分法を用いて　f(n+1)-f(n) や f(n+1)/f(n)を考えましたが、これまたダメでした。
その次に　数学的帰納法を試しましたが、これもダメー。 まあ、そんなんで３時間ぐらいかかってしまいました。見かけ簡単そうに見えたのですが、意外と難しいのですね。
　

---

[5752] uchinyanにちょっと補足 投稿者：BossF 投稿日：2006/06/30(Fri) 17:58

>・複号異順というのはあまり聞きませんが

わたしは初見です。聞いたことも見たこともありません

>したがって、使わない方がいいと思います

賛成

あと、「複号任意」は「複号不同順」ともいいます

最後に二つ目について

だいぶ前のことですが某Yゼミで採点基準を話し合った時の記憶では、収束を示す時

×ワイエルシュトラスの定理より
○単調で有界だから
○単調で有界だからワイエルシュトラスの定理より

だったと思います。つまり、「単調」「有界」を断ればOKでした

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

---

[5751] Re:[5750] 無題 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/30(Fri) 12:32

> すいません。２つお聞きしたいことがあるのですが。教えていただけないでしょうか？
>
取り敢えず、分かる範囲で．．．

> １つ目は、「複合同順」「複合異順」「複合任意」をどう使うの分かりません。
用語使いのことなのであまり自信はないですが、多分、ということで (^^;
まず、「複合」−＞「複号」ですね、きっと。
複号とは、±とか、これの上下ひっくり返ったの、何故か、かな漢変換で出て来ない．．．、とかのことですよね。
以下では、仕方がないので、±を (+/-)、上下ひっくり返ったのを (-/+) と書くことにします。
例えば、(+/-)a(-/+)b、(+/-)x(-/+)y(+/-)z、を例として考えます。
・複号同順は、(+/-), (-/+)の上下の同じ符号を取ることを言います。
　この例では、+a-b 又は -a+b、+x-y+z 又は -x+y-z ですね。
・複号異順というのはあまり聞きませんが、(+/-), (-/+)の上下の異なる符号を取ることを言うのだろうと思います。
　この例では、+a+b 又は -a-b ですね。ただし、項が三つ以上になると、上下は二つしかないので三つでは異なりようがなく、あいまいです。
　したがって、使わない方がいいと思います。+a+b 又は -a-b ならば、(+/-)a(+/-)b で複号同順、で十分ですから。
　三項以上の場合は、一つずつ言うしかないのではないのかなぁ．．．？
・複号任意というのは、(+/-), (-/+)の上下の符号のすべての組合せをいいます。
　+a+b, +a-b, -a+b, -a-b とか、+x+y+z, +x+y-z, +x-y+z, +x-y-z, -x+y+z, -x+y-z, -x-y+z, -x-y-z ですね。

> ２つ目は、次の極限が計算できません。
> 　　　　　lim[n→∞]�納k=1,n]{k^k/(n+1)^n}
うーん、これは難しそうだなぁ．．．取り敢えずの思いつきですが、
S(n) = �納k=1,n]{k^k/(n+1)^n} とおくと、
S(n) = n^n/(n+1)^n * �納k=1,n]{k^k/n^n}
= 1/(1 + 1/n)^n * (1/n * �納k=1,n-1]{k^k/n^(n-1)} + 1)
= 1/(1 + 1/n)^n * (1 + 1/n * S(n-1))
なので、ここで、
もし、lim[n→∞]S(n) = S と極限値が存在すれば、
lim[n→∞](1 + 1/n)^n = e にも注意すると、n→∞ で、
S = 1/e * (1 + 0 * S)
となって、1/e になると思います。
問題は、極限の存在ですね。

少なくとも、S(n) > 0 は明らかだから、S(n) > 1/(1 + 1/n)^n がいえます。
少し難しいですが、(1 + 1/n)^n は n について単調増加なのが証明できるので、トライしてみてください ^^、
(1 + 1/n)^n < e で、S(n) > 1/e はすぐに分かります。

さて、この後、まだ考えていませんが、
S(n) = 1/(1 + 1/n)^n + 1/(1 + 1/n)^n * 1/n * S(n-1)
などをうまく使って、
lim[n→∞]|S(n) - 1/e| = 0
がいえればベストですね。高校の範囲で解けるならば、この手かなぁ。

大学レベルでもいいならば、S(n) の単調減少性を証明して、実数の性質を表す次の定理
定理(ワイエルシュトラスの定理) 単調に増加(又は減少する)数列が上に(又は下に)有界であるとき、その数列は必ずある実数に収束する。
を使って、S の存在を示す手もありますが．．．

どちらにしても、手を動かして少し考えてみないと．．．暗算ではきつそう．．．

---

[5750] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/29(Thu) 21:35

すいません。２つお聞きしたいことがあるのですが。教えていただけないでしょうか？

１つ目は、「複合同順」「複合異順」「複合任意」をどう使うの分かりません。
２つ目は、次の極限が計算できません。
　　　　　lim[n→∞]�納k=1,n]{k^k/(n+1)^n}

最近質問ばっかりしてすいません。よろしくお願いします。

---

[5749] 算チャレ3 Q220 投稿者：tomh 投稿日：2006/06/28(Wed) 17:04

先程算チャレ3 Q220が出題されました。
今回は「正方形の中を動く線分」の問題です。
蒸し暑さでバテバテでも解きましょう… (^^;


また、今夜は算チャレQ507が出題されます。
今週は大変なことになりませんように… (^人^)

＃問題13が解けん… 皆さん、解けました? (^^?

http://www.geocities.jp/tomh/

---

[5748] 遅くなりました 投稿者：ほげ 投稿日：2006/06/24(Sat) 21:29

問題UPしました
算数サイトではおなじみの解き方ですね(~_~)

---

[5747] いってきまーすっ 投稿者：ほげ 投稿日：2006/06/24(Sat) 06:00

今日はようやく雨も上がりました。これからお出かけします。
今日の問題集のUPは　...夕方にできるとは思いますが...
んではっ

---

[5746] Re:[5745] あっという間に 投稿者：teki 投稿日：2006/06/23(Fri) 23:15

> さて　今週の土曜日は出張がはいっております。午後に戻ってきたら　問題集をUP
> 出来るかもしれません。とりあえず朝はUPできないという連絡をしておきます(^.^)

土曜日だというのに、お休みなしですか。
お疲れ様です。

---

[5745] あっという間に 投稿者：ほげ 投稿日：2006/06/22(Thu) 23:00

問題を解いてくれましたね。
ありがとうございます。
議論を興味深く読ませていただきました。

さて　今週の土曜日は出張がはいっております。午後に戻ってきたら　問題集をUP
出来るかもしれません。とりあえず朝はUPできないという連絡をしておきます(^.^)

---

[5744] Re:[5742] [5741] [5740] [5739] [5738] ．．． [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/21(Wed) 23:49

> > 放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し上で接点が頂点のちょっと左上です。

なるほど、そういうことだったのですね。ずいぶんと長い時間をかけて教えていただきありがとうございました。たった１問でも、これだけいろいろ考えると,とても意味がありますね。非常に内容の深い勉強ができたように思います。これからも、受験勉強で分からないことがあったら、また質問させてください。よろしくお願いします。

そういえば、私もワールドカップを見たいのですが、ついつい見てしまったら、予備校の授業中黒板ではなく、夢ばかり見てしまいましたので、我慢しています。でも、日本戦は見ました。
川口がPKをとめたのは、すごかったですね。それでは、失礼します。

---

[5743] 算チャレ3 Q219 投稿者：tomh 投稿日：2006/06/21(Wed) 17:14

先程算チャレ3 Q219が出題されました。
今回は「行列待ち」の問題です。
王者を倒すつもりで解きましょう! (^^;


また、今夜は算チャレQ506が出題されます。
夏至の余韻を楽しみながら解きましょう?! (^^;;

http://www.geocities.jp/tomh/

---

[5742] Re:[5741] [5740] [5739] [5738] ．．． [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/21(Wed) 08:54

あ、ごめんなさい。
> さてご質問の件
>
> >> γ -> ∞ で、放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し下かな？、
>
> これは、uchinyanさんのmistypeでしょう。[5737]で、
> >1 < γ では、曲線Ｃが y = 1/x の上の方から接し、もう一つの交点βは 1 より小さい
> と指摘なさってますから　上と下を打ち間違え
> 放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し上で接点が頂点のちょっと左上です。
> これなら納得行くと思います。
おっしゃるとおりです。済みません m(__)m

> （じつはｐは接点のx座標だったんですね〜)
最初の
(p - a)^2 + b = 1/p, 2(a - p) = - 1/p^2
の時点で、p は、接点の x 座標にしているから、ここらの議論は明らかですよね。
ZELDAさんが、[5735]でもう少し要領よく計算なさっています。
なお、[5737]で私が述べたように、これらの式は、解と係数の関係でもつながっています。

---

[5741] Re:[5740] [5739] [5738] ．．． [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ＢｏｓｓＦ 投稿日：2006/06/21(Wed) 05:06

まずおわびを、(^^;;[5730]は質問の内容をよく読まずに書いたのでちょっとピントはずれでしたね
それにもかかわらず、以後の考察は、お見事です

さてご質問の件

>> γ -> ∞ で、放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し下かな？、

これは、uchinyanさんのmistypeでしょう。[5737]で、
>1 < γ では、曲線Ｃが y = 1/x の上の方から接し、もう一つの交点βは 1 より小さい
と指摘なさってますから　上と下を打ち間違え
放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し上で接点が頂点のちょっと左上です。
これなら納得行くと思います。

さて、折角ですから模範解答っぽく書いてみますと、

「x^3-2ax^2+(a^2+b)x-1=0 (x>0)…(A)
に
a=p+1/(2p^2) b=1/p-1/(4p^4) を代入すると

x^3-2{p+1/(2p^2)}x^2+[{p+1/(2p^2)}^2+{1/p-1/(4p^4)}]x-1
=x^3-(2p+1/p^2)x^2+(p^2+2/p)x-1=0 …(A)’となります

これを(定数項が-１だから、簡単な因数があるとしたら、x±p,x±1/pあたりだろうと見当をつけて)因数分解しに行くと

(A)’は （x-1/p^2)(x-p)^2=0 となり (超lucky!!)
（じつはｐは接点のx座標だったんですね〜)

接点以外の交点を持たないのは p=/p^2　i.e. p=1のとき」

となるのかな・・・(^^;;

PS朝早いというより寝る前なんですよ←W杯見てる(=^・^=)

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

---

[5740] Re:[5739] [5738] ．．． [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/20(Tue) 23:53

> > > そうです。さらに付け加えると、
> > > 0 < γ < 1 では、曲線Ｃが y = 1/x の下の方から接し、もう一つの交点βは 1 より大きい
> > > 1 < γ では、曲線Ｃが y = 1/x の上の方から接し、もう一つの交点βは 1 より小さい
> > > というようになっており、
> > > γ = 1 で、βがγに一致して、それらが切り替わります。
> > > γ -> ∞ で、放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し下かな？、
> > > 辺りを通りそうなことも、イメージできると思います。
> >
> > このことについて、少しわからないことありますが、よく考えてみました。
> 何かあれば、遠慮なくどうぞ。
> 分かる範囲でなら、お答えできると思います (^^;

すいません、それでは、最後にもう一つ教えてください。
> > 0 < γ < 1 では、曲線Ｃが y = 1/x の下の方から接し、もう一つの交点βは 1 より大きい
> > 1 < γ では、曲線Ｃが y = 1/x の上の方から接し、もう一つの交点βは 1 より小さい
> > というようになっており、
> > γ = 1 で、βがγに一致して、それらが切り替わります。
という部分は、x^3-2ax^2+(a^2+b)x-1=0 (x>0)・・・・(A)という以前にでてきた式を用いて、βγ^2=1という関係から、簡単に分かります。

しかし、次の部分はグラフを書いてもぜんぜん想像できないのですが、
> > γ -> ∞ で、放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し下かな？、
> > > 辺りを通りそうなことも、イメージできると思います。
これを想像することが、まったくできないのですが、上の場合と同じように、簡単に納得いく方法はないでしょうか？ほんとうに、たびたびすいません。よろしくお願いします。

---

[5739] Re:[5738] ．．． [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/20(Tue) 18:51

> > そうです。さらに付け加えると、
> > 0 < γ < 1 では、曲線Ｃが y = 1/x の下の方から接し、もう一つの交点βは 1 より大きい
> > 1 < γ では、曲線Ｃが y = 1/x の上の方から接し、もう一つの交点βは 1 より小さい
> > というようになっており、
> > γ = 1 で、βがγに一致して、それらが切り替わります。
> > γ -> ∞ で、放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し下かな？、
> > 辺りを通りそうなことも、イメージできると思います。
>
> このことについて、少しわからないことありますが、よく考えてみました。
何かあれば、遠慮なくどうぞ。
分かる範囲でなら、お答えできると思います (^^;

---

[5738] Re:[5737] [5735] [5734] [5733] [5731] [5730] [5729] [5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/20(Tue) 17:39

> そうです。さらに付け加えると、
> 0 < γ < 1 では、曲線Ｃが y = 1/x の下の方から接し、もう一つの交点βは 1 より大きい
> 1 < γ では、曲線Ｃが y = 1/x の上の方から接し、もう一つの交点βは 1 より小さい
> というようになっており、
> γ = 1 で、βがγに一致して、それらが切り替わります。
> γ -> ∞ で、放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し下かな？、
> 辺りを通りそうなことも、イメージできると思います。

このことについて、少しわからないことありますが、よく考えてみました。この問題では、ただ式をいじるだけでは、とても通用しないようですね。わたしの解き方まで見ていただいてとても助かりました。ありがとうございした。

---

[5737] Re:[5735] [5734] [5733] [5731] [5730] [5729] [5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/20(Tue) 00:04

お見事です！
> uchinyanさん、ヒントありがとうございます。ab平面上に表したグラフを無視して考えてみました。
> y=(x-a)^2+b ,y=1/x (x>0)
> これら２式よりyを消去した方程式
> 　(x-a)^2+b=1/x (x>0)を考える。
> ⇔x^3-2ax^2+(a^2+b)x-1=0 (x>0)・・・・(A)　
> ２曲線が接していることから、この方程式は次のように変形できる。
> (x-β)(x-γ)^2=0 (γは接点の座標）
> 図の考察からβ>0は明らか。
> ゆえに、２曲線が接する条件は　β=γ
> つまり、式(A)が３重解をもつことである。
> さらに、このことは式(A)が、(x-1)^3=0と因数分解されることと同値である。
> あとは、展開して、係数比較するとa=3/2,b=3/4をえる。
>
はい、そういうことです。
ちなみに、βとγが必ずしも等しくない場合の解と係数の関係から、a, b のパラメタ表示の式が再現できます。
個人的には、この解法の方が、図形的意味を捉えやすいのでは、と思っています。

>
> それと、「私が書いた「興味深い状況」」というのを、考えてみました。接するというと、
> y=x^2がx軸と接して、x軸を貫通しないような状況を思い浮かべてしまうことが多いのですが、
> 「興味深い状況」というのは、y=x^3がx軸と接して、x軸を貫通してしまうのと似ているような状況になりますね。うーん、固定観念にとらわれてはダメですね。
>
そうです。さらに付け加えると、
0 < γ < 1 では、曲線Ｃが y = 1/x の下の方から接し、もう一つの交点βは 1 より大きい
1 < γ では、曲線Ｃが y = 1/x の上の方から接し、もう一つの交点βは 1 より小さい
というようになっており、
γ = 1 で、βがγに一致して、それらが切り替わります。
γ -> ∞ で、放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し下かな？、
辺りを通りそうなことも、イメージできると思います。

---

[5736] Re:[5735] [5734] [5733] [5731] [5730] [5729] [5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/19(Mon) 23:52

uchinyanさん、BossFさん、教えていただきありがとうございました。
あまりにも古い問題で、ネットで見つからなくて困っていたのですが、答えだけではなく、細かい説明までつけて、教えていただき本当に助かりました。なかなか、ありふれた手段では解けないんですねー。なんかいろいろとポイントがある問題でとても勉強になりました。これからも、時々質問させてください。お願いします。

---

[5735] Re:[5734] [5733] [5731] [5730] [5729] [5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/19(Mon) 23:10

uchinyanさん、ヒントありがとうございます。ab平面上に表したグラフを無視して考えてみました。
y=(x-a)^2+b ,y=1/x (x>0)
これら２式よりyを消去した方程式
　(x-a)^2+b=1/x (x>0)を考える。
⇔x^3-2ax^2+(a^2+b)x-1=0 (x>0)・・・・(A)　
２曲線が接していることから、この方程式は次のように変形できる。
(x-β)(x-γ)^2=0 (γは接点の座標）
図の考察からβ>0は明らか。
ゆえに、２曲線が接する条件は　β=γ
つまり、式(A)が３重解をもつことである。
さらに、このことは式(A)が、(x-1)^3=0と因数分解されることと同値である。
あとは、展開して、係数比較するとa=3/2,b=3/4をえる。


それと、「私が書いた「興味深い状況」」というのを、考えてみました。接するというと、
y=x^2がx軸と接して、x軸を貫通しないような状況を思い浮かべてしまうことが多いのですが、
「興味深い状況」というのは、y=x^3がx軸と接して、x軸を貫通してしまうのと似ているような状況になりますね。うーん、固定観念にとらわれてはダメですね。

---

[5734] Re:[5733] [5731] [5730] [5729] [5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/19(Mon) 21:45

> お返事ありがとうございした。どうやら、自分の書いたグラフが正しそうなのでほっとしました。
>
> ですが、
> この2曲線が接する点以外に共有点を持たないようなa,bの値を求めよ。
> という問題の部分の答えが、なぜ、a=3/2,b=3/4なのかいまいち納得できないのですが。
> なんとなく、ab平面上にあらわしたグラフを見るとそんな感じがするのですが。うーん・・・
> もう少し考えてみます。
イメージ＋α．．．私が書いた「興味深い状況」がヒントになるかも。
微分係数だけでなく、共有点の個数、その意味、そのときの方程式の形、なども、合わせて考えてみてください。

---

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]