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[5742] Re:[5741] [5740] [5739] [5738] ．．． [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/21(Wed) 08:54

あ、ごめんなさい。
> さてご質問の件
>
> >> γ -> ∞ で、放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し下かな？、
>
> これは、uchinyanさんのmistypeでしょう。[5737]で、
> >1 < γ では、曲線Ｃが y = 1/x の上の方から接し、もう一つの交点βは 1 より小さい
> と指摘なさってますから　上と下を打ち間違え
> 放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し上で接点が頂点のちょっと左上です。
> これなら納得行くと思います。
おっしゃるとおりです。済みません m(__)m

> （じつはｐは接点のx座標だったんですね〜)
最初の
(p - a)^2 + b = 1/p, 2(a - p) = - 1/p^2
の時点で、p は、接点の x 座標にしているから、ここらの議論は明らかですよね。
ZELDAさんが、[5735]でもう少し要領よく計算なさっています。
なお、[5737]で私が述べたように、これらの式は、解と係数の関係でもつながっています。

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[5741] Re:[5740] [5739] [5738] ．．． [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ＢｏｓｓＦ 投稿日：2006/06/21(Wed) 05:06

まずおわびを、(^^;;[5730]は質問の内容をよく読まずに書いたのでちょっとピントはずれでしたね
それにもかかわらず、以後の考察は、お見事です

さてご質問の件

>> γ -> ∞ で、放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し下かな？、

これは、uchinyanさんのmistypeでしょう。[5737]で、
>1 < γ では、曲線Ｃが y = 1/x の上の方から接し、もう一つの交点βは 1 より小さい
と指摘なさってますから　上と下を打ち間違え
放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し上で接点が頂点のちょっと左上です。
これなら納得行くと思います。

さて、折角ですから模範解答っぽく書いてみますと、

「x^3-2ax^2+(a^2+b)x-1=0 (x>0)…(A)
に
a=p+1/(2p^2) b=1/p-1/(4p^4) を代入すると

x^3-2{p+1/(2p^2)}x^2+[{p+1/(2p^2)}^2+{1/p-1/(4p^4)}]x-1
=x^3-(2p+1/p^2)x^2+(p^2+2/p)x-1=0 …(A)’となります

これを(定数項が-１だから、簡単な因数があるとしたら、x±p,x±1/pあたりだろうと見当をつけて)因数分解しに行くと

(A)’は （x-1/p^2)(x-p)^2=0 となり (超lucky!!)
（じつはｐは接点のx座標だったんですね〜)

接点以外の交点を持たないのは p=/p^2　i.e. p=1のとき」

となるのかな・・・(^^;;

PS朝早いというより寝る前なんですよ←W杯見てる(=^・^=)

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

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[5740] Re:[5739] [5738] ．．． [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/20(Tue) 23:53

> > > そうです。さらに付け加えると、
> > > 0 < γ < 1 では、曲線Ｃが y = 1/x の下の方から接し、もう一つの交点βは 1 より大きい
> > > 1 < γ では、曲線Ｃが y = 1/x の上の方から接し、もう一つの交点βは 1 より小さい
> > > というようになっており、
> > > γ = 1 で、βがγに一致して、それらが切り替わります。
> > > γ -> ∞ で、放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し下かな？、
> > > 辺りを通りそうなことも、イメージできると思います。
> >
> > このことについて、少しわからないことありますが、よく考えてみました。
> 何かあれば、遠慮なくどうぞ。
> 分かる範囲でなら、お答えできると思います (^^;

すいません、それでは、最後にもう一つ教えてください。
> > 0 < γ < 1 では、曲線Ｃが y = 1/x の下の方から接し、もう一つの交点βは 1 より大きい
> > 1 < γ では、曲線Ｃが y = 1/x の上の方から接し、もう一つの交点βは 1 より小さい
> > というようになっており、
> > γ = 1 で、βがγに一致して、それらが切り替わります。
という部分は、x^3-2ax^2+(a^2+b)x-1=0 (x>0)・・・・(A)という以前にでてきた式を用いて、βγ^2=1という関係から、簡単に分かります。

しかし、次の部分はグラフを書いてもぜんぜん想像できないのですが、
> > γ -> ∞ で、放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し下かな？、
> > > 辺りを通りそうなことも、イメージできると思います。
これを想像することが、まったくできないのですが、上の場合と同じように、簡単に納得いく方法はないでしょうか？ほんとうに、たびたびすいません。よろしくお願いします。

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[5739] Re:[5738] ．．． [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/20(Tue) 18:51

> > そうです。さらに付け加えると、
> > 0 < γ < 1 では、曲線Ｃが y = 1/x の下の方から接し、もう一つの交点βは 1 より大きい
> > 1 < γ では、曲線Ｃが y = 1/x の上の方から接し、もう一つの交点βは 1 より小さい
> > というようになっており、
> > γ = 1 で、βがγに一致して、それらが切り替わります。
> > γ -> ∞ で、放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し下かな？、
> > 辺りを通りそうなことも、イメージできると思います。
>
> このことについて、少しわからないことありますが、よく考えてみました。
何かあれば、遠慮なくどうぞ。
分かる範囲でなら、お答えできると思います (^^;

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[5738] Re:[5737] [5735] [5734] [5733] [5731] [5730] [5729] [5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/20(Tue) 17:39

> そうです。さらに付け加えると、
> 0 < γ < 1 では、曲線Ｃが y = 1/x の下の方から接し、もう一つの交点βは 1 より大きい
> 1 < γ では、曲線Ｃが y = 1/x の上の方から接し、もう一つの交点βは 1 より小さい
> というようになっており、
> γ = 1 で、βがγに一致して、それらが切り替わります。
> γ -> ∞ で、放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し下かな？、
> 辺りを通りそうなことも、イメージできると思います。

このことについて、少しわからないことありますが、よく考えてみました。この問題では、ただ式をいじるだけでは、とても通用しないようですね。わたしの解き方まで見ていただいてとても助かりました。ありがとうございした。

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[5737] Re:[5735] [5734] [5733] [5731] [5730] [5729] [5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/20(Tue) 00:04

お見事です！
> uchinyanさん、ヒントありがとうございます。ab平面上に表したグラフを無視して考えてみました。
> y=(x-a)^2+b ,y=1/x (x>0)
> これら２式よりyを消去した方程式
> 　(x-a)^2+b=1/x (x>0)を考える。
> ⇔x^3-2ax^2+(a^2+b)x-1=0 (x>0)・・・・(A)　
> ２曲線が接していることから、この方程式は次のように変形できる。
> (x-β)(x-γ)^2=0 (γは接点の座標）
> 図の考察からβ>0は明らか。
> ゆえに、２曲線が接する条件は　β=γ
> つまり、式(A)が３重解をもつことである。
> さらに、このことは式(A)が、(x-1)^3=0と因数分解されることと同値である。
> あとは、展開して、係数比較するとa=3/2,b=3/4をえる。
>
はい、そういうことです。
ちなみに、βとγが必ずしも等しくない場合の解と係数の関係から、a, b のパラメタ表示の式が再現できます。
個人的には、この解法の方が、図形的意味を捉えやすいのでは、と思っています。

>
> それと、「私が書いた「興味深い状況」」というのを、考えてみました。接するというと、
> y=x^2がx軸と接して、x軸を貫通しないような状況を思い浮かべてしまうことが多いのですが、
> 「興味深い状況」というのは、y=x^3がx軸と接して、x軸を貫通してしまうのと似ているような状況になりますね。うーん、固定観念にとらわれてはダメですね。
>
そうです。さらに付け加えると、
0 < γ < 1 では、曲線Ｃが y = 1/x の下の方から接し、もう一つの交点βは 1 より大きい
1 < γ では、曲線Ｃが y = 1/x の上の方から接し、もう一つの交点βは 1 より小さい
というようになっており、
γ = 1 で、βがγに一致して、それらが切り替わります。
γ -> ∞ で、放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し下かな？、
辺りを通りそうなことも、イメージできると思います。

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[5736] Re:[5735] [5734] [5733] [5731] [5730] [5729] [5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/19(Mon) 23:52

uchinyanさん、BossFさん、教えていただきありがとうございました。
あまりにも古い問題で、ネットで見つからなくて困っていたのですが、答えだけではなく、細かい説明までつけて、教えていただき本当に助かりました。なかなか、ありふれた手段では解けないんですねー。なんかいろいろとポイントがある問題でとても勉強になりました。これからも、時々質問させてください。お願いします。

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[5735] Re:[5734] [5733] [5731] [5730] [5729] [5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/19(Mon) 23:10

uchinyanさん、ヒントありがとうございます。ab平面上に表したグラフを無視して考えてみました。
y=(x-a)^2+b ,y=1/x (x>0)
これら２式よりyを消去した方程式
　(x-a)^2+b=1/x (x>0)を考える。
⇔x^3-2ax^2+(a^2+b)x-1=0 (x>0)・・・・(A)　
２曲線が接していることから、この方程式は次のように変形できる。
(x-β)(x-γ)^2=0 (γは接点の座標）
図の考察からβ>0は明らか。
ゆえに、２曲線が接する条件は　β=γ
つまり、式(A)が３重解をもつことである。
さらに、このことは式(A)が、(x-1)^3=0と因数分解されることと同値である。
あとは、展開して、係数比較するとa=3/2,b=3/4をえる。


それと、「私が書いた「興味深い状況」」というのを、考えてみました。接するというと、
y=x^2がx軸と接して、x軸を貫通しないような状況を思い浮かべてしまうことが多いのですが、
「興味深い状況」というのは、y=x^3がx軸と接して、x軸を貫通してしまうのと似ているような状況になりますね。うーん、固定観念にとらわれてはダメですね。

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[5734] Re:[5733] [5731] [5730] [5729] [5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/19(Mon) 21:45

> お返事ありがとうございした。どうやら、自分の書いたグラフが正しそうなのでほっとしました。
>
> ですが、
> この2曲線が接する点以外に共有点を持たないようなa,bの値を求めよ。
> という問題の部分の答えが、なぜ、a=3/2,b=3/4なのかいまいち納得できないのですが。
> なんとなく、ab平面上にあらわしたグラフを見るとそんな感じがするのですが。うーん・・・
> もう少し考えてみます。
イメージ＋α．．．私が書いた「興味深い状況」がヒントになるかも。
微分係数だけでなく、共有点の個数、その意味、そのときの方程式の形、なども、合わせて考えてみてください。

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[5733] Re:[5731] [5730] [5729] [5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/19(Mon) 21:34

お返事ありがとうございした。どうやら、自分の書いたグラフが正しそうなのでほっとしました。

ですが、
この2曲線が接する点以外に共有点を持たないようなa,bの値を求めよ。
という問題の部分の答えが、なぜ、a=3/2,b=3/4なのかいまいち納得できないのですが。
なんとなく、ab平面上にあらわしたグラフを見るとそんな感じがするのですが。うーん・・・
もう少し考えてみます。
　それと、ときどき BossFさんのサイトを見させていただいているのですが、今回見ていて、はじめて気づきました。BossFさんは私が目指している大学の出身の方だったんですね。

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[5732] Re:[5730] [5729] [5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/19(Mon) 21:30

> すいません返事が遅くなりました。
いえいえ。
> やっと、予備校から帰ってきまして、解答を見ながら、考えてみました。ちなみに、私は一浪です。
もう30年以上も前の話ですが、私も一年浪人しました。
いろいろ大変・不安でしょうが、頑張って。
>
> BossFさん、朝早くお返事ありがとうございます。朝家を出る前に解答をみさせていただいたのですが、時間が無くて返事できませんでした。すいませんでした。
>
> uchinyanさん、私の唐突な質問に、答えてくださり、ありがとうございました。
>
>
> それで、質問なんですが、微分して増減を調べたのですが、
既に、ＢｏｓｓＦさんがお応えになっていますが、少し追加すると．．．

> 0<t≦1のときには、(+∞,-∞)から、aが減少し、bが増加して、ついには、(3/2,3/4)にいたる曲線A　　(+∞,-∞)というのは、定点という意味ではないのですが、うまく表現できないのでこんな書き方をしてしまいました。
>
> t≧1のときには、(3/2,3/4)から、aが増加し、bが減少し、a軸に近づいていく曲線B
>
> としたときに、この２曲線をあわせたものが求める(a,b)の動く範囲だと思うのですが、それでいいのでしょうか？　
はい、いいと思います。
> また、これら２曲線は、交わるのでしょうか？あるいは、交わらないのでしょうか？
a = p + 1/2 * 1/p^2 = q + 1/2 * 1/q^2
b = 1/p - 1/4 * 1/p^4 = 1/q - 1/4 * 1/q^4
として調べてみると、p = q しか解はないようなので、交わる、自分自身と接する、などは、ない、と思います。
> また、質問してしまって、申し訳ないのですが、よろしくお願いします。
なお、(3/2,3/4) では、接線 b = - a + 9/4 をもつようです。
それと、これは解答には書かない話ですが、
y= (x - a)^2 + b と y = 1/x が接している状況をイメージしてみることをお勧めします。
これができるようになれば、計算をしなくとも、求める範囲の概要がつかめるようになります。
特に、a = 3/2, b = 3/4 で何が起こっているのか．．．かなり興味深い状況のようです。

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[5731] Re:[5730] [5729] [5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ＢｏｓｓＦ 投稿日：2006/06/19(Mon) 20:59

> > なお、後半の答えは、ＢｏｓｓＦさんので正しいと思います。
　　　　　良かった(=^・^=)

> > いずれにせよ、実際の試験では、完投は非常に困難だろうなぁ．．．
　　　　　↑賛成　現役の時なら、多分自爆していました
　　　　　　　(実は、実際似たような感じで自爆して、浪人した)


> それで、質問なんですが、微分して増減を調べたのですが、
> 0<t≦1のときには、(+∞,-∞)から、aが減少し、bが増加して、ついには、(3/2,3/4)にいたる曲線A　　(+∞,-∞)というのは、定点という意味ではないのですが、うまく表現できないのでこんな書き方をしてしまいました。
>
> t≧1のときには、(3/2,3/4)から、aが増加し、bが減少し、a軸に近づいていく曲線B
>
> としたときに、この２曲線をあわせたものが求める(a,b)の動く範囲だと思うのですが、それでいいのでしょうか？　また、これら２曲線は、交わるのでしょうか？あるいは、交わらないのでしょうか？
> また、質問してしまって、申し訳ないのですが、よろしくお願いします。


ここでは増減表は書きにくいので、分かりにくいかもしれませんが、我慢して読んでください

p 　0　→　1　→　∞　の時
　　 a ∞　→ 3/2 →　∞
　　 b -∞ → 3/4 →　0

なので、db/da=-1/p^2＜0に注意すれば　
　0＜ｐ＜1の時　(ａ,ｂ）は第�W象限の下の方から(3/2,3/4)に向け左上向きに上がってきて
　1＜ｐ　の時　 (ａ,ｂ）は(3/2,3/4)から、x軸を漸近線として右下がりに進む　ことがわかります

あとはd^2b/da^2=2/(p^3-1)で上に凸か下に凸か決めていくのです。

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

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[5730] Re:[5729] [5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/19(Mon) 19:22

> 私も考えてみました。
> ＢｏｓｓＦさんの方針がいいと思います。確かに、真面目にやると玉砕しますね ^^;
> ただ、グラフはかなり慎重に書かないと大変そう。
> なお、後半の答えは、ＢｏｓｓＦさんので正しいと思います。
> なかなか微妙な状況のようですが．．．
> いずれにせよ、実際の試験では、完投は非常に困難だろうなぁ．．．
>
> > C:y=(x-a)^2 と y=1/x(x＞0 の接点の x座標を p とすると
> >
> > p は
> >
> > (p-a)^2+b=1/p , 2(p-a)=-1/p^2 を満たさねばならない
> >
> > （これから、ｐを消去すればa,bの関係式が出ますが、
> > やってみると、出てくるのは手に負えそうもない式で←多分ここでハマってる
> > パラメータのまま考えることに方針を変更）
> >
> > 上の式より
> >
> > a=p+1/(2p^2) b=1/p-1/(4p^4)
> >
> > ここで、a,b のpに関する増減を調べると
> >
> >
> > 以下略　
> > （増減表をかいてみると、a,bともにp=1で極値（a→Min3/2、b→Max3/4)をとる(ラッキ！)ことから
> > さらにdb/da=-1/p^2 d^2b/da^2=2/(p^3-1)　を考慮に入れると
> > グラフが見えてきます)
> >
> > 後半の答は　a=3/2 b=3/4 です(多分)
> >
> > PS　ZELDAさんなので、あえて方針のみ書きました
> > 再質問、いつでもOKです
> >

すいません返事が遅くなりました。
やっと、予備校から帰ってきまして、解答を見ながら、考えてみました。ちなみに、私は一浪です。

BossFさん、朝早くお返事ありがとうございます。朝家を出る前に解答をみさせていただいたのですが、時間が無くて返事できませんでした。すいませんでした。

uchinyanさん、私の唐突な質問に、答えてくださり、ありがとうございました。


それで、質問なんですが、微分して増減を調べたのですが、
0<t≦1のときには、(+∞,-∞)から、aが減少し、bが増加して、ついには、(3/2,3/4)にいたる曲線A　　(+∞,-∞)というのは、定点という意味ではないのですが、うまく表現できないのでこんな書き方をしてしまいました。

t≧1のときには、(3/2,3/4)から、aが増加し、bが減少し、a軸に近づいていく曲線B

としたときに、この２曲線をあわせたものが求める(a,b)の動く範囲だと思うのですが、それでいいのでしょうか？　また、これら２曲線は、交わるのでしょうか？あるいは、交わらないのでしょうか？
また、質問してしまって、申し訳ないのですが、よろしくお願いします。

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[5729] Re:[5728] [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/19(Mon) 15:16

私も考えてみました。
ＢｏｓｓＦさんの方針がいいと思います。確かに、真面目にやると玉砕しますね ^^;
ただ、グラフはかなり慎重に書かないと大変そう。
なお、後半の答えは、ＢｏｓｓＦさんので正しいと思います。
なかなか微妙な状況のようですが．．．
いずれにせよ、実際の試験では、完投は非常に困難だろうなぁ．．．

> C:y=(x-a)^2 と y=1/x(x＞0 の接点の x座標を p とすると
>
> p は
>
> (p-a)^2+b=1/p , 2(p-a)=-1/p^2 を満たさねばならない
>
> （これから、ｐを消去すればa,bの関係式が出ますが、
> やってみると、出てくるのは手に負えそうもない式で←多分ここでハマってる
> パラメータのまま考えることに方針を変更）
>
> 上の式より
>
> a=p+1/(2p^2) b=1/p-1/(4p^4)
>
> ここで、a,b のpに関する増減を調べると
>
>
> 以下略　
> （増減表をかいてみると、a,bともにp=1で極値（a→Min3/2、b→Max3/4)をとる(ラッキ！)ことから
> さらにdb/da=-1/p^2 d^2b/da^2=2/(p^3-1)　を考慮に入れると
> グラフが見えてきます)
>
> 後半の答は　a=3/2 b=3/4 です(多分)
>
> PS　ZELDAさんなので、あえて方針のみ書きました
> 再質問、いつでもOKです
>

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[5728] Re:[5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ＢｏｓｓＦ 投稿日：2006/06/19(Mon) 05:42

C:y=(x-a)^2 と y=1/x(x＞0 の接点の x座標を p とすると

p は

(p-a)^2+b=1/p , 2(p-a)=-1/p^2 を満たさねばならない

（これから、ｐを消去すればa,bの関係式が出ますが、
やってみると、出てくるのは手に負えそうもない式で←多分ここでハマってる
パラメータのまま考えることに方針を変更）

上の式より

a=p+1/(2p^2) b=1/p-1/(4p^4)

ここで、a,b のpに関する増減を調べると


以下略　
（増減表をかいてみると、a,bともにp=1で極値（a→Min3/2、b→Max3/4)をとる(ラッキ！)ことから
さらにdb/da=-1/p^2 d^2b/da^2=2/(p^3-1)　を考慮に入れると
グラフが見えてきます)

後半の答は　a=3/2 b=3/4 です(多分)

PS　ZELDAさんなので、あえて方針のみ書きました
再質問、いつでもOKです

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

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[5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/18(Sun) 18:00

昭和６２年の東大理系の第２問の問題なのですが、ネットで探しても解答が見つかりません。
どなたか、教えてください。自分では、点の存在条件を方程式の解の条件にもっていくことは、
できたのですが、その先がなかなか進みません。どうかよろしくお願いします。

点(x,y)を点(x+a,y+b)にうつす平行移動によって曲線y=x^2を移動して得られる曲線をCとする。Cと曲線y=1/x (x>0)が接するようなa,bを座標とする
点(a,b)の存在する範囲の概形を図示せよ。

図示するのは面倒だと思いますので、図示する直前の条件式を求めていただけると助かります。

また、この2曲線が接する点以外に共有点を持たないようなa,bの値を求めよ。

よろしくお願いします。

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[5726] 教えてください　どなたか 投稿者：おとおさん 投稿日：2006/06/16(Fri) 17:56

あいまいな記憶で申し訳ありません　どこでみたかもさだかでありませんが
部下に仕事をふりわける問題　お互いのやる気を損ねずにふりわけるにはどうしたらよいか
ていうような感じですが　どこの問題なのでしょうか　　

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[5725] 算チャレ3 Q218 投稿者：tomh 投稿日：2006/06/14(Wed) 17:06

先程算チャレ3 Q218が出題されました。
今回は「単位分数の和」の問題です。
次は勝つと信じて解きましょう! (^^;


また、今夜は算チャレQ505が出題されます。
土砂降りの雨の中でも解きましょう?! (^^;;

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5724] 本日多忙にて 投稿者：ほげ 投稿日：2006/06/10(Sat) 19:47

問題集のUPはいたしません
連絡できなくてごめんなさい

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[5723] 算チャレ3 Q217 投稿者：tomh 投稿日：2006/06/07(Wed) 17:05

先程算チャレ3 Q217が出題されました。
今回は「木片の色塗り」の問題です。
すっきり解いて、梅雨入り前に爽快感を!? (^^;


また、今夜は算チャレQ504が出題されます。
不得意な問題は猫の手などを借りて解きましょう??!! (^^;;

http://www.geocities.jp/tomh/

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