| [5927] Re:[5925] [5924] [5923] こんな感じかな Re:[5921] お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/11/25(Sat) 14:34 | |
- > お返事ありがとうございます。３次元の座標はxyz座標と円柱座標しか知りませんでした。
> 円柱座標も問題を１問解いたことがあるだけで、ほとんど使えません。
>
やはり、空間の極座標表示は高校レベルを超えているのですね。
済みませんでした。
> 座標のことは理解しましたが、体積素というものは分かりません。
> 変数の微小変化に対する体積の増分のことでしょうか？
>
はいそうです。
二次元の場合で考えると、直交座標系では dxdy が微小面積ですよね。
これを面積素ということがあります。要するに面積の微小単位のことです。
極座標表示で考えると、面積の微小単位は、rdrdθ と考えるのが自然です。
これは、dr * rdθ と考えれば、
r 方向の微小な長さとこれに直角な方向、θ 方向、の微小な長さ rdθ との積が、
二次元極座標における微小面積単位、つまり面積素、になることが理解できると思います。
同様に三次元で考えると、直交座標系では、体積の微小単位、つまり体積素、は dxdydz で、
極座標表示、
＞点 P(r,θ,φ)
＞．．．
＞r は OP、θ は OP が z 軸の正の方向となす角度、φ は OP のxy平面への正射影が x 軸となす角度です。
で考えると、
r 方向の微小な長さが dr、これに垂直な θ 方向の微小な長さが r * dθ、
r 方向及び θ 方向に垂直な φ 方向の微小な長さが r * sinθ * dφ
なので、これらの積、dV = r^2 * sinθ * drdθdφ が微小体積、つまり体積素、になります。
もちろんこれは直感的な説明で、物理ならばこれで十分！、厳密には、直交座標 <-> 極座標の変換式、
x = r * sinθ * cosφ
y = r * sinθ * sinφ
z = r * cosθ
を使って、dxdydz を drdθdφ に変換することによって、r^2 * sinθ * drdθdφ が得られます。
ちなみに、ここで現れる変換の行列をヤコビ行列、その行列式をヤコビ行列式又はヤコビアンといい、
ヤコビアンが r^2 * sinθ になります。
ただこれには、偏微分など大学数学を使い、また証明も厳密にやろうとすると結構面倒です。
詳しくは大学レベルの教科書をご覧になるのがいいですが、Webで探してもある程度は見つかると思います。
| [5926] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/11/25(Sat) 14:31 | |
- 『球内の点 P(r,θ,φ) における体積素 dV は、
r 方向が dr、θ方向が r * dθ、φ方向が r * sinθ * dφ の積なので、dV = r^2 * sinθ * drdθdφ になります。』
体積素という考え方はいまいち良く分かりませんが、このように微小体積dVを表せることは理解できました。うーん、大学へいくと便利な道具がたくさん有るんですね。
| [5925] Re:[5924] [5923] こんな感じかな Re:[5921] お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/11/25(Sat) 13:56 | |
- > > > お久しぶりです。数学と言うよりも物理の問題なのですが、積分の問題なので、もしよろしければご教授下さい。
> > > 『大きさのある一様な球体A（半径R,質量M）が、Aの中心からr離れた位置にある質点B（質量m)に及ぼす力が G(Mm/r^2)であることを万有引力の法則を用いて証明する。』という問題です。よろしくお願いします。
> >
> > 大学時代を懐かしく思い出します。この手の問題はいろいろやりました。
> >
> ふと懐かしさのあまり、思いっきり積分を使ってしまいましたが、もう少し直感的に、という話だったのでしょうか？
> まぁ、積分は、一応、高校の範囲ですので、いいと思いますが。
>
> なお、球体ではなく球面、要するに中は空洞、として、
> B が球の外にある場合、中にある場合、などを考えてみるのも面白いと思います。
> また、あまり意味はないですが、ポテンシャル(位置エネルギー)を計算して、それから力を計算する別解もあります。
> それと、明らかとは思いますが、静電場におけるクーロン力でも似たようなことがいえます。
お返事ありがとうございます。３次元の座標はxyz座標と円柱座標しか知りませんでした。円柱座標も問題を１問解いたことがあるだけで、ほとんど使えません。座標のことは理解しましたが、体積素というものは分かりません。自分で調べてみたのですが、直感的には次のような理解で良いのでしょうか？
線素 dL^2=dx^2+dy^2+dz^2
(xyz空間における十分に近い２点間の距離）
面積素 dS=dxdy
(xy座標における微小長方形の面積）
体積素 dV=dxdydz
(xyz空間における微小直方体の体積）
| [5924] Re:[5923] こんな感じかな Re:[5921] お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/11/25(Sat) 12:32 | |
- > > お久しぶりです。数学と言うよりも物理の問題なのですが、積分の問題なので、もしよろしければご教授下さい。
> > 『大きさのある一様な球体A（半径R,質量M）が、Aの中心からr離れた位置にある質点B（質量m)に及ぼす力が G(Mm/r^2)であることを万有引力の法則を用いて証明する。』という問題です。よろしくお願いします。
>
> 大学時代を懐かしく思い出します。この手の問題はいろいろやりました。
>
ふと懐かしさのあまり、思いっきり積分を使ってしまいましたが、もう少し直感的に、という話だったのでしょうか？
まぁ、積分は、一応、高校の範囲ですので、いいと思いますが。
なお、球体ではなく球面、要するに中は空洞、として、
B が球の外にある場合、中にある場合、などを考えてみるのも面白いと思います。
また、あまり意味はないですが、ポテンシャル(位置エネルギー)を計算して、それから力を計算する別解もあります。
それと、明らかとは思いますが、静電場におけるクーロン力でも似たようなことがいえます。
| [5923] こんな感じかな Re:[5921] お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/11/25(Sat) 12:16 | |
- > お久しぶりです。数学と言うよりも物理の問題なのですが、積分の問題なので、もしよろしければご教授下さい。
> 『大きさのある一様な球体A（半径R,質量M）が、Aの中心からr離れた位置にある質点B（質量m)に及ぼす力が G(Mm/r^2)であることを万有引力の法則を用いて証明する。』という問題です。よろしくお願いします。
大学時代を懐かしく思い出します。この手の問題はいろいろやりました。
まず、球の密度ρを ρ = M/(4πR^3/3) とおきます。
次に、空間座標を考え、球の中心を原点Oとし、OB を z 軸として、極座標表示 を考えます。
また、個人的な気持ちの問題ですが、r は極座標表示で使いたいので、OB = a と改めておきます。
さて、力はベクトルなので、一般には三次元ベクトルを考えることになりますが、
今の場合には対称性より、z 軸に平行な方向以外の力は相殺されてしまうので、z 軸に平行な方向の成分だけを考えれば十分です。
球内の点 P(r,θ,φ) における体積素 dV は、
r 方向が dr、θ方向が r * dθ、φ方向が r * sinθ * dφ の積なので、dV = r^2 * sinθ * drdθdφ になります。
(補足)
えと、補足しておくと、ここでは、
r は OP、θ は OP が z 軸の正の方向となす角度、φ は OP のxy平面への正射影が x 軸となす角度です。
θ と φ を反対にする流儀もある、その方が多い？、ような気がしてきたので一応。
最近の高校ではどうなのかな？ というよりも、ひょっとして、高校では空間の極座標表示ってやらない？
体積素はやらないのかもしれないな、とか思ってきました。
直感的には分かると思いますが、厳密には、座標変換によるヤコビアン、積分のmeasureの変換行列式、だから．．．
(補足終)
これと、B との間に働く万有引力は、f = G * (ρ * r^2 * sinθ * drdθdφ) * m * 1/PB^2 です。
ただし、PB は、余弦定理より PB^2 = r^2 + a^2 - 2ar * cosθ です。
そこで、この力の z 軸に平行な方向の大きさは、f * cos(∠PBO) です。
cos(∠PBO) は、やはり余弦定理より、cos(∠PBO) = (PB^2 + a^2 - r^2)/(2 * a * PB) です。
以上より、求める力 F は、次の積分になります。
F = ∫[r=0,R]∫[θ=0,π]∫[φ=0,2π]{f * cos(∠PBO)}
= ∫[r=0,R]∫[θ=0,π]∫[φ=0,2π]{G * (ρ * r^2 * sinθ * drdθdφ) * m * 1/PB^2 * (PB^2 + a^2 - r^2)/(2 * a * PB)}
= G * ρ * m * 1/2a * ∫dr[r=0,R]∫dθ[θ=0,π]∫dφ[φ=0,2π]{r^2 * sinθ * (1/PB + (a^2 - r^2)/PB^3)}
= Gρm/2a * ∫dr[r=0,R]{r^2 * ∫dθ[θ=0,π]{sinθ * (1/sqrt(r^2 + a^2 - 2ar * cosθ) + (a^2 - r^2)/(sqrt(r^2 + a^2 - 2ar * cosθ))^3)}} * ∫dφ[φ=0,2π]{1}
ここで、
∫dφ[φ=0,2π]{1} = 2π
また、cosθ = t とおくと、sinθdθ = -dt より
∫dθ[θ=0,π]{sinθ * (1/sqrt(r^2 + a^2 - 2ar * cosφ) + (a^2 - r^2)/(sqrt(r^2 + a^2 - 2ar * cosφ))^3)}
= ∫dt[t=-1,1]{(r^2 + a^2 - 2ar * t)^(-1/2) + (a^2 - r^2) * (r^2 + a^2 - 2ar * t)^(-3/2)}
= {(2 * (-1/2ar) * (r^2 + a^2 - 2ar * t)^(1/2)}[t=-1,1] + (a^2 - r^2) * (-2) * (-1/2ar) * (r^2 + a^2 - 2ar * t)^(-1/2)}[t=-1,1]
r, a > 0 なので
= 1/ar * {(r+a) - |a-r|} + (a^2 - r^2) * 1/ar * {1/|a-r| - 1/(r+a)}
ここで、B が球内にあるのか球外にあるのかで場合分けが発生しますが、
球内にある場合には、球内が空洞でない限り、抗力など、別途考慮することもあるし、r = a で微妙になるし、
一様な球体、という仮定にも反しそうなので、ナイーブに、球外にあると仮定すると、
0 < r < a がいえて、
= 1/ar * {(r+a) - (a-r)} + (a^2 - r^2) * 1/ar * {1/(a-r) - 1/(r+a)}
= 1/ar * 2r + (a^2 - r^2) * 1/ar * 2r/(a^2 - r^2)
= 2/a + 2/a
= 4/a
そこで、
F = Gρm/2a * ∫dr[r=0,R]{r^2 * 4/a * 2π}
= Gm * 4πρ* 1/a^2 * ∫dr[r=0,R]{r^2}
= Gm * 4πρ* 1/a^2 * {r^3/3}[r=0,R]
= Gm * 4πR^3/3 * ρ * 1/a^2
= Gm * 4πR^3/3 * M/(4πR^3/3) * 1/a^2
= GmM/a^2
a を r に戻して、GmM/r^2 になります。
| [5922] Re:[5921] お願いします。 投稿者：teki 投稿日：2006/11/24(Fri) 23:52 | |
- > お久しぶりです。数学と言うよりも物理の問題なのですが、積分の問題なので、もしよろしければご教授下さい。
> 『大きさのある一様な球体A（半径R,質量M）が、Aの中心からr離れた位置にある質点B（質量m)に及ぼす力が G(Mm/r^2)であることを万有引力の法則を用いて証明する。』という問題です。よろしくお願いします。
これって、確か、球体Aが質量Mの質点O（Oは球体の中心）に置き換えられることを証明するんでしたっけ？
| [5921] お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/11/24(Fri) 17:35 | |
- お久しぶりです。数学と言うよりも物理の問題なのですが、積分の問題なので、もしよろしければご教授下さい。
『大きさのある一様な球体A（半径R,質量M）が、Aの中心からr離れた位置にある質点B（質量m)に及ぼす力が G(Mm/r^2)であることを万有引力の法則を用いて証明する。』という問題です。よろしくお願いします。
| [5920] 是非解いてみて下さい。 投稿者：0123210 投稿日：2006/11/22(Wed) 19:15 | |
- 数学の自作問題を更新していきます。
是非解いて見てください。http://www.geocities.jp/math_0123210/
| [5919] 算チャレ3 Q240 投稿者：tomh 投稿日：2006/11/22(Wed) 17:03 | |
- 先程算チャレ3 Q240が出題されました.
今回は「数の積」の問題です.
小雪を感じながら解きましょう?! (^^;
また、今夜は算チャレQ526が出題されます.
再開1問目を元気に解きましょう! (^.^)
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5918] メールが 投稿者：ほげ 投稿日：2006/11/22(Wed) 11:21 | |
- 不調です
届くメールと届かないメールがあります。
返事時を書いてないものがあったら 教えてください
こちらから代理のメアドを連絡します
ただ今対処中です
| [5917] パズルは 投稿者：ほげ 投稿日：2006/11/18(Sat) 21:02 | |
- 賛否両論のようですね。
う〜む...
| [5916] こんにちは 投稿者：ほげ 投稿日：2006/11/16(Thu) 15:18 | |
- 私の住んでいる地域では 地震の影響はありませんでした。
無事ですよ。
わざわざ ありがとうございます。
| [5915] 竜巻の次は地震 投稿者：teki 投稿日：2006/11/15(Wed) 21:00 | |
- 北海道は災難が続くようです。
ほげさんは、ご無事でしょうか？
ご無事なら、この掲示板でお知らせください。
| [5914] 算チャレ3 Q239 続報 投稿者：tomh 投稿日：2006/11/15(Wed) 18:26 | |
- 先程算チャレ3 Q239が見られるようになりました.
「円すい」の問題です. さぁ、チャレンジ!!
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5913] 算チャレ3 Q239 投稿者：tomh 投稿日：2006/11/15(Wed) 18:10 | |
- 1時間ほど前に算チャレ3 Q239が出題されたようですが、
最初の一瞬だけしか接続できませんでした. 私だけの症状でしょうか…?
今回は「円すい」の問題のようです.
今夜の算チャレはお休みです.
詳しくは算チャレの正解者掲示板で.
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5912] dragon tattoos 投稿者：Magdalna 投稿日：2006/11/15(Wed) 17:22 | |
-
ｼhttp://revolts.co.uk/praise/rss2.php?q=tattoo-gallery
| [5911] 問題28 投稿者：BossF 投稿日：2006/11/12(Sun) 00:32 | |
- 「いちげん」さんと同じ感想です。新しいことを一つ学びました！ありがとうございます！
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5910] 問題集に問題を 投稿者：ほげ 投稿日：2006/11/11(Sat) 12:06 | |
- UPいたしました。
感想をいただけるとうれしいです。
| [5909] ただいま〜 投稿者：ほげ 投稿日：2006/11/09(Thu) 23:07 | |
- 今日は雨です。でも一部で竜巻がありました。明日は晴れるでしょうね
マサルさん 北海道へどうぞ スキーやりましょうっ！！
| [5908] Re:[5905] 北海道は 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/11/09(Thu) 13:07 | |
- > ただ今 竜巻に恐れおののいております。
> 日本で 竜巻の被害って余り聞きませんからねえ
> 本日は荒天なり
ニュースで見ましたが、大変なことになっているようですね。
以前は竜巻の話は、アメリカの話だとばかり思っていましたが、最近は、おかしくなってきましたね。
やはり、温暖化の影響なのでしょうか．．．？
私の住む関東は、昨日も今日も、穏やかなよいお天気です。
今日、11/09、は、北海道もお天気は回復したのでしょうか。