| [5853] 算チャレ3 Q229 投稿者：tomh 投稿日：2006/09/06(Wed) 17:04 | |
- 先程算チャレ3 Q229が出題されました。
今回は「部屋の仕切り」の問題です。
「みっちの隠れ家」での出題がなかった悔しさは
算チャレで晴らしましょう?! (^^;
また、今夜は算チャレQ516が出題されます。
お月様でも眺めながら解きましょう?! (^^;;
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5852] ありがとうございます。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/09/04(Mon) 21:20 | |
- 返事が遅くなりまして、たいへん申し訳ありませんでした。（今日返却された模試の結果に打ちひしがれていました。）←『そんな暇があるなら勉強しろー！！』と言われる気がします。
BossFさん、uchinyanさん、解答をありがとうございます。「ビエタの解」ですか、なかなかおもしろい考え方ですね。３次方程式にもいろいろな解き方があるんですね。全然知りませんでした。詳しい解答を書いていただいたのに、短い返事ですいません。本当にありがとうございました。
私は、現代文と英語に問題があるようなので、とりあえずそちらの勉強をがんばりたいと思います。実は、あまり数学も点数がとれなくて困っているのですが。それでは、失礼します。
| [5851] １問目 Re:[5849] ２問目 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/04(Mon) 20:21 | |
- > あと１問目 三倍角に帰着するのは「ビエタの解」というそうです。
>
> wikipediaの三次方程式の項を参照してください
>
なるほど。
[5848]で
> 解は実数なので、x = r * cosθ, r > 0, 0 <= θ <= π とかけます。そこで、
> r^3 * (cosθ)^3 - 3 * r * cosθ + 1 = 0
r は 0 ではないので、
(cosθ)^3 - 3 * 1/r^2 * cosθ + 1/r^3 = 0
ここで、cos(3θ) = 4 * (cosθ)^3 - 3 * cosθ なので、
(cosθ)^3 - 3/4 * cosθ - 1/4 * cos(3θ) = 0
先ほどの式と比較すると、
3 * 1/r^2 = 3/4
1/r^3 = - 1/4 * cos(3θ)
これから、
r = 2
cos(3θ) = - 1/2
θ の範囲から、
3θ = 2π/3, 4π/3, 8π/3
θ = 2π/9, 4π/9, 8π/9
となり、したがって、
x = 2 * cos(2π/9), 2 * cos(4π/9), 2 * cos(8π/9)
という感じかな。
| [5850] やばい 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/04(Mon) 20:17 | |
- >[略解]
>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
>=(a+b){(a+b)^2-3ab}
>
>よって、題意を満たすためには
> a+b=p^m , a^2-ab+b^2=p^n (p;prime)
>
>n=m=1 でないとき n≧mだから 3ab/(a+b) は整数
は、穴が多すぎだ！何処がまずいか、考えてみてください(無責任)
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5849] ２問目 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/04(Mon) 17:47 | |
- uchinyan さんと解が違う、やばい！と思ったら
あ、そうですね
>[略解]
>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
>=(a+b){(a+b)^2-3ab}
>
>よって、題意を満たすためには
> a+b=p^m , a^2-ab+b^2=p^n (p;prime)
>
> n≧mだから 3ab/(a+b) は整数
最後の「n≧mだから」は嘘ですね。
「a=b=1でn＜m それ以外でn≧m」です
a=b=1の自明解を見逃すとは…
あと１問目 三倍角に帰着するのは「ビエタの解」というそうです。
wikipediaの三次方程式の項を参照してください
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5848] Re:[5847] 次に１問目 Re:[5843] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/04(Mon) 16:52 | |
- > > １問目は次の問題です。
> > x^3-3x+1=0 を解けという問題なのですが、３次方程式の解法を用いれば解けるのですが、
> > 普通の高校生がそれを知っているとは思えません。他の解法があるのでしょうか？
> f(x) = x^3 - 3x + 1 とおくと、
> f(-2) = -1 < 0, f(-1) = 3 > 0, f(0) = 1 > 0, f(1) = -1 < 0, f(2) = 3 > 0 なので、
> 三つの解はいずれも実数ですね。どうやるのかなぁ．．．
>
．．．
> > たぶん置換して３倍角の公式を用いるんですね、
> ふーむ、再考してみます。
うーん、今一つ．．．
解は実数なので、x = r * cosθ, r > 0, 0 <= θ <= π とかけます。そこで、
r^3 * (cosθ)^3 - 3 * r * cosθ + 1 = 0
ここで、cos(3θ) = 4 * (cosθ)^3 - 3 * cosθ なので、
(cosθ)^3 = 1/4 * (cos(3θ) + 3 * cosθ)
r^3 * 1/4 * (cos(3θ) + 3 * cosθ) - 3 * r * cosθ + 1 = 0
(r^3 * 1/4 * cos(3θ) + 1) + 3 * r * (1/4 * r^2 - 1) * cosθ = 0
一つの変数 x を二つの変数 r, θ で表しているので、自由度が一つ増えており、一つは自由に決められます。
そこで、
1/4 * r^2 - 1 = 0
r の範囲から
r = 2
としてもいいハズです。＜−−−−−（＊）
このとき、もとの方程式は、
2^3 * 1/4 * cos(3θ) + 1 = 0
cos(3θ) = - 1/2
θ の範囲から、
3θ = 2π/3, 4π/3, 8π/3
θ = 2π/9, 4π/9, 8π/9
となり、
x = 2 * cos(2π/9), 2 * cos(4π/9), 2 * cos(8π/9)
となります。
ただ、（＊）の辺りが怪しい．．．
| [5847] 次に１問目 Re:[5843] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/04(Mon) 16:05 | |
- > １問目は次の問題です。
> x^3-3x+1=0 を解けという問題なのですが、３次方程式の解法を用いれば解けるのですが、
> 普通の高校生がそれを知っているとは思えません。他の解法があるのでしょうか？
f(x) = x^3 - 3x + 1 とおくと、
f(-2) = -1 < 0, f(-1) = 3 > 0, f(0) = 1 > 0, f(1) = -1 < 0, f(2) = 3 > 0 なので、
三つの解はいずれも実数ですね。どうやるのかなぁ．．．
カルダノの方法まがいですが、こんな考え方はありますね。
因数分解の公式、
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
= (x + y + z)(x + ω * y + ω^2 * z)(x + ω^2 * y + ω * z)
を使います。
これと、x^3 - 3x + 1 = 0 を比較すると、
y^3 + z^3 = 1
yz = 1
となる y, z が見つかれば、
x = - y - z, - ω * y - ω^2 * z, - ω^2 * y - ω * z
とかけますね。
y^3 + z^3 = 1
yz = 1
ならば、
y^3 + z^3 = 1
y^3 * z^3 = 1
なので、y^^3, z^3 は、
t^2 - t + 1 = 0
の解になります。つまり、
t = 1/2 * (1 + i * sqrt(3)), 1/2 * (1 - i * sqrt(3))
が、y^3, z^3 です。
1/2 * (1 + i * sqrt(3)) = cos(π/3) + i * sin(π/3)
1/2 * (1 - i * sqrt(3)) = cos(π/3) - i * sin(π/3)
なので、
y = cos(π/9) + i * sin(π/9)
z = cos(π/9) - i * sin(π/9)
とおけます。これ以外も可能なのですが、実は、同じ結果を与えます。
一方で
ω = 1/2 * (- 1 + i * sqrt(3)) = cos(2π/3) + i * sin(2π/3)
ω^2 = 1/2 * (- 1 - i * sqrt(3)) = cos(2π/3) - i * sin(2π/3)
なので、これらを代入して計算すると、
x = - 2 * cos(π/9), - 2 * cos(7π/9), - 2 * cos(5π/9)
になります。
BossFさんの[5845]の
> 計算してみたら x=2cos(2π/9),2cos(4π/9),2cos(8π/9) になったから(怪しいけど)
は、cos(π-θ) = - cosθ の公式を使えば、
2 * cos(2π/9) = 2 * cos(π - 7π/9) = - 2 * cos(7π/9)
2 * cos(4π/9) = 2 * cos(π - 5π/9) = - 2 * cos(5π/9)
2 * cos(8π/9) = 2 * cos(π - π/9) = - 2 * cos(π/9)
で、一致しています。
> たぶん置換して３倍角の公式を用いるんですね、
ふーむ、再考してみます。
| [5846] 私もまずは2問目 Re:[5843] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/04(Mon) 14:58 | |
- > ２問目は次の問題です。
> a,bを自然数とするとき、a^3+b^3が素数の整数乗になる(a,b) を求めよ。
>
a, b は自然数なので a, b >= 1 です。
そこで、今、p を素数、n >= 1 の整数として、a^3 + b^3 = p^n とかけます。
まず、a と b が互いに素でない場合を考えます。
このときは、1 でない最大公約数 g があり、a = gc, b = gd, c, d は互いに素、なので、
a^3 + b^3 = g^3 * (c^3 + d^3) = p^n となり、n >= 3 で、g = p^m, n > m >= 1 であって、
c^3 + d^3 = p^(n-m) となり、c, d が互いに素な場合の解 c, d, p に対して、
a = p^m * c, b = p^m * d として、解を構成できます。
したがって、a, b が互いに素な場合を考えれば十分です。
そこで、a, b が互いに素な場合です。
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = p^n
なので、n >= k >= 1 として、
a + b = p^k
a^2 - ab + b^2 = p^(n-k)
とかけます。そこで、
a^2 + 2ab + b^2 = p^(2k)
3ab = p^(2k) - p^(n-k)
ここで、2k <= n-k, 3k <= n とすると、
3ab = p^(2k) * (1 - p^(n-3k)) <= 0
で、NGです。
そこで、2k > n-k, 3k > n >= k >= 1 で、
3ab = p^(n-k) * (p^(3k-n) - 1)
* n = k の場合
a^2 - ab + b^2 = p^(n-k) = 1
(a - b)^2 = 1 - ab >= 0
より
a = b = 1
p^n = a + b = 2
p = 2, n = 1
になります。
* n > k, n - k > 0 の場合
3ab = p^(n-k) * (p^(3k-n) - 1)
もし、a が p を約数にもつと、a + b = p^k より、b も p を約数にもつことになり、
a, b が互いに素、としていたことに矛盾します。b に関しても同様です。
そこで、p = 3 になり、n-k = 1, n = k + 1 でなければなりません。これから、
a + b = 3^k
ab = 3^(2k-1) - 1
これより、a, b は
t^2 - 3^k * t + (3^(2k-1) - 1) = 0
の解です。a, b は自然数なので、
判別式 = 3^(2k) - 4 * 1 * (3^(2k-1) - 1) = 4 - 3^(2k-1) >= 0
から、k = 1 になります。このとき、
a + b = 3
ab = 2
なので、a = 2, b = 1 or a = 1, b = 2 です。
結局、a, b が互いに素の場合は、
(a,b,p) = (1,1,2), (2,1,3), (1,2,3)
です。
結局、a, b が互いに素でない場合も考慮してまとめると、n >= 0 として、
(a,b,p) = (2^n, 2^n, 2), (2 * 3^n, 3^n, 3), (3^n, 2 * 3^n, 3)
になるようです。
要するに、
(2^n)^3 + (2^n)^3 = 2^(3n+1)
(2 * 3^n)^3 + (3^n)^3 = 3^(3n+2) = (3^n)^3 + (2 * 3^n)^3
ですね。
ホントかな (^^;
| [5845] １問目 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/04(Mon) 12:52 | |
- 計算してみたら x=2cos(2π/9),2cos(4π/9),2cos(8π/9) になったから(怪しいけど)
たぶん置換して３倍角の公式を用いるんですね、なんかあったけど忘れてるし、(^^;;
そうそう、同じの現役のころやった（公式で解いた)ことを思い出しましたhttp://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5844] ２問目はぱっと見てできそうなので 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/04(Mon) 12:34 | |
- [略解]
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
=(a+b){(a+b)^2-3ab}
よって、題意を満たすためには
a+b=p^m , a^2-ab+b^2=p^n (p;prime)
n≧mだから 3ab/(a+b) は整数
すると、a,b＜a+b だから a+b=3 以下略
１問目は、解の公式を使えばいいと思うと考える気がしなくて…ちょっと待っててください
末尾ながら ホゲさんご自愛を！
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5843] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/09/03(Sun) 18:41 | |
- こんばんは。また、解けない問題がありまして、困っています。もし、よろしければ今回もお願いします。自分ながら非常に図々しいと思うのですが、今回は２問ほどお願いしたいのです。どうかよろしくお願いします。
１問目は次の問題です。
x^3-3x+1=0 を解けという問題なのですが、３次方程式の解法を用いれば解けるのですが、普通の高校生がそれを知っているとは思えません。他の解法があるのでしょうか？
２問目は次の問題です。
a,bを自然数とするとき、a^3+b^3が素数の整数乗になる(a,b) を求めよ。
よろしくお願いします。
ほげさん、いつもここで質問をさせていただいてとても助かっています。ありがとうございます。あまり無理をなさらないでください。受験勉強をしながら、次回の問題を楽しみに待っております。
| [5842] Re:[5841] 重要連絡 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/03(Sun) 12:44 | |
- > 事情により今月の問題をUPできません。来月UPの予定です。
>
おやおや、そうですか．．．
> また問題集UPも当分できません。２週間くらいたったら UP出来るようになると思います。
>
> 楽しみになさっている方もいらっしゃると思いますが、急な用事が出来ました。
> ごめんなさい
> また再開できたらそのときはよろしくお願いします。m(__)m
残念ですが、再開を楽しみにしております ^^/
| [5841] 重要連絡 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/03(Sun) 12:07 | |
- 事情により今月の問題をUPできません。来月UPの予定です。
また問題集UPも当分できません。２週間くらいたったら UP出来るようになると思います。
楽しみになさっている方もいらっしゃると思いますが、急な用事が出来ました。
ごめんなさい
また再開できたらそのときはよろしくお願いします。m(__)m
| [5840] Re:[5838] [5834] ちょっとしたことだけど… 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/02(Sat) 23:18 | |
- > > > (A,B は整数で、Cは平方数でない実数）
> >
> > "実数"ではなくて、"自然数"ですね.
> > でないと、A(n)やB(n)が整数ではなくなりますからね.
> >
> あ、しまった。もう一度計算し直したら、たしかに tomhさんのおっしゃる通りですね。
単なるうっかりミスだと思っていました ^^
> 間違いを見つけていただきありがとうございました。私ずいぶんと何度を間違いを書いてしまって、すいません。気をつけているのですが、なかなか直らないみたいです。できる限り気をつけます。間違いを見つけてくださった方、これからもお声をかけてください。よろしくお願いします。
私もしょっちゅうミスをしています (^^;
こうした議論の場では、お互いにチェックし合っていけばいいので、まぁ、あまり気になさらなくても。
ただ、試験となるとそうもいかないので、要注意ですね。
| [5839] Re:[5837] ただいま〜 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/02(Sat) 23:09 | |
- > 帰宅しましたが また明日も6時から日帰り出張です
>
> ぼろぼろになっているので 今週の問題集の UPは中止にします。
お帰りなさい。お忙しいようで、大変ですね。
問題集の件、了解です。
> このところ ミスも多いので 気力 体力 の充実した時にUPします。
> ごめんなさい
>
9/5の定期的な出題の方は大丈夫でしょうか。
いずれにせよ、あまり無理をなさらないように。
| [5838] Re:[5834] ちょっとしたことだけど… 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/09/02(Sat) 22:37 | |
- > > (A,B は整数で、Cは平方数でない実数）
>
> "実数"ではなくて、"自然数"ですね.
> でないと、A(n)やB(n)が整数ではなくなりますからね.
>
あ、しまった。もう一度計算し直したら、たしかに tomhさんのおっしゃる通りですね。
間違いを見つけていただきありがとうございました。私ずいぶんと何度を間違いを書いてしまって、すいません。気をつけているのですが、なかなか直らないみたいです。できる限り気をつけます。間違いを見つけてくださった方、これからもお声をかけてください。よろしくお願いします。
| [5837] ただいま〜 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/02(Sat) 22:29 | |
- 帰宅しましたが また明日も6時から日帰り出張です
ぼろぼろになっているので 今週の問題集の UPは中止にします。
このところ ミスも多いので 気力 体力 の充実した時にUPします。
ごめんなさい
では おやすみなさい
| [5836] う〜む 投稿者：teki 投稿日：2006/09/01(Fri) 21:49 | |
- 86時っていつなのでしょうか？
| [5835] 問題UPについて 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/01(Fri) 21:45 | |
- 本日まで 出張でした
明日は86時から日帰り出張なので 帰ってきてから元気があったら
問題をUPします
今日はとりあえずとてもつかれているので 寝ます
おやすみなさい
| [5834] ちょっとしたことだけど… 投稿者：tomh 投稿日：2006/09/01(Fri) 18:50 | |
- > (A,B は整数で、Cは平方数でない実数）
"実数"ではなくて、"自然数"ですね.
でないと、A(n)やB(n)が整数ではなくなりますからね.
http://www.geocities.jp/tomh/