| [5877] 考えてみましたが．．．Re:[5874] [5871] うー。またやってしまいました。ごめんなさい。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/10/01(Sun) 13:26 | |
- (最初の書き込みから少し修正しています。[5879]をご覧ください。)
> 数学的帰納法かな、と思ったら、既に解答がUPされているようですが、私も少し考えてみます。
結局は、ほげさんの解法と似たようになってしまいました (^^;
ご参考までに、一応、書いておきます。
まず、
Σj=[1,k](x(j) - z(j))^2 = Σj=[1,k](x(j))^2 - 2 * Σj=[1,k] x(j) * z(j) + Σj=[1,k](z(j))^2
Σj=[1,k](x(j) - y(j))^2 = Σj=[1,k](x(j))^2 - 2 * Σj=[1,k] x(j) * y(j) + Σj=[1,k](y(j))^2
Σj=[1,k](z(j))^2 = Σj=[1,k](y(j))^2
なので、
Σj=[1,k](x(j) - z(j))^2 - Σj=[1,k](x(j) - y(j))^2
= 2 * Σj=[1,k] x(j) * (y(j) - z(j))
そこで、
Σj=[1,k] x(j) * y(j) >= Σj=[1,k] x(j) * z(j)
を示せばOKです。
数学的帰納法で示します。
☆ k = 2 の場合
示すべき式は、
x(1) * y(1) + x(2) * y(2) >= x(1) * z(1) + x(2) * z(2)
です。これは、z(1) = y(1)、z(2) = y(2) のときは、等号が成立し、明らか。
z(1) = y(2)、z(2) = y(1) のときは、
左辺 - 右辺
= x(1) * y(1) + x(2) * y(2) - x(1) * z(1) - x(2) * z(2)
= x(1) * y(1) + x(2) * y(2) - x(1) * y(2) - x(2) * y(1)
= (x(1) - x(2)) * (y(1) - y(2)) >= 0
最後の不等式は、x, y の単調減少性よりいえます。
したがって、成立します。
☆ k で成立したとして k+1 の場合
題意より、y(k+1) = z(m) となるような m が存在します。このとき、
x(1), x(2), ..., x(m-1), x(m+1), ..., x(k), x(k+1)
y(1), y(2), ..., y(m-1), y(m), y(m+1), ..., y(k)
に対しては、k 個の場合の条件を満たすので、
z(1), z(2), ..., z(m-1), z(m+1), ..., z(k), z(k+1)
を上記の y を入れ替えたものとして、帰納法の仮定によって、
x(1) * y(1) + x(2) * y(2) + ... + x(m-1) * y(m-1) + x(m+1) * y(m) + ... + x(k) * y(k-1) + x(k+1) * y(k)
>= x(1) * z(1) + x(2) * z(2) + ... + x(m-1) * z(m-1) + x(m+1) * z(m+1) + ... + x(k) * z(k) + x(k+1) * z(k+1)
がいえます。この式の両辺に x(m) * y(k+1) = x(m) * z(m) を足します。
x(1) * y(1) + x(2) * y(2) + ... + x(m-1) * y(m-1) + x(m) * y(k+1) + x(m+1) * y(m) + ... + x(k) * y(k-1) + x(k+1) * y(k)
>= x(1) * z(1) + x(2) * z(2) + ... + x(m-1) * z(m-1) + x(m) * z(m) + x(m+1) * z(m+1) + ... + x(k) * z(k) + x(k+1) * z(k+1)
この式の左辺において、x(m) >= x(m+1), y(m) >= y(k+1) より、k = 2 の場合と同様に、
x(m) * y(m) + x(m+1) * y(k+1) >= x(m) * y(k+1) + x(m+1) * y(m)
がいえるので、これを繰り返していけば、y(k+1) を最後の項まで持って行くことができて、
x(1) * y(1) + x(2) * y(2) + ... + x(m) * y(m) + ... + x(k) * y(k) + x(k+1) * y(k+1)
>= x(1) * y(1) + x(2) * y(2) + ... + x(m-1) * y(m-1) + x(m) * y(k+1) + x(m+1) * y(m) + ... + x(k) * y(k-1) + x(k+1) * y(k)
>= x(1) * z(1) + x(2) * z(2) + ... + x(m-1) * z(m-1) + x(m) * z(m) + x(m+1) * z(m+1) + ... + x(k) * z(k) + x(k+1) * z(k+1)
がいえ、
Σj=[1,k] x(j) * y(j) >= Σj=[1,k] x(j) * z(j)
が成立します。
以上で、証明は終わりです。
| [5876] (^^;; 投稿者：BossF 投稿日：2006/10/01(Sun) 00:55 | |
- 競っても勝てないので、順位は気にしてませんが←大嘘
問題集の先週分(第２３問)が何度考えても合わないみたいなので困ってます(=^・^=)
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5875] 投稿問題 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/30(Sat) 23:25 | |
- 今月のUPの時に 投稿問題を久しぶりにUPする予定です。
UPは 5日の夜11時30分を予定しています。
仕事の関係で 夜遅くになって帰ることが多いので この時間を過ぎるかもしれません。
順位を競っている方には申し訳ないのですが 今年度は
時間厳守のUPは勘弁してください。
| [5874] Re:[5871] うー。またやってしまいました。ごめんなさい。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/30(Sat) 22:54 | |
- > すいませんでした。どうやら、またしでかしてしまったようです。問題が間違えています。
> すいませんでした。正しくは、次のように２乗が入った式になります。
>
> Σj=[1,k](x(j)-z(j))^2≧Σj=[1,k](x(j)-y(j))^2
> です。よろしくお願いします。
あ、やはり、問題の間違いでしたか。
数学的帰納法かな、と思ったら、既に解答がUPされているようですが、私も少し考えてみます。
| [5873] こんなのはどうでしょうか？ 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/30(Sat) 20:05 | |
- 帰納法も考えましたが、書くのが面倒で…(^^;;
[略証]
p＜qのとき Zp＜Zq なら
(Xp-Zp)^2+(Xq-Zq)^2-{(Xp-Zq)^2+(Xq-Zp)^2}=2(Xp-Xq)(Zq-Zp)≧0
よって、
{Zi}のZp,Zqを入れ替えたものを{Z'i}とすれば
∑(Xi-Zi)^2≧∑(Xi-Z'i)^2
さて、p＜qのときZp＜Zq ならZp,Zqを入れ替える操作をAとすると、
有限回Aを行えば{Zi}→{Yi}に変換できる
以上より ∑(Xi-Zi)^2≧∑(Xi-Yi)^2http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5872] 数学的帰納法によります 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/30(Sat) 16:35 | |
- k=2のとき
z(1)=y(1) z(2)=y(2)のときは明らかに成立する
z(1)=y(2) z(2)=y(1)の時に証明するとよい
左辺ー右辺=(x(1)-y(2))^2＋(x(2)-y(1))^2-(x(1)-y(1))^2-(x(1)-y(1))^2
=2(x(1)y(1)+x(2)y(2)-x(1)y(2)-x(2)y(1))
=2(x(1)-x(2))(y(1)-y(2))≧0 （条件より）
よってk=2のとき命題はなりたちます
k=tのときに不等式が成立すると仮定して k=t+1のときに成立することを示します
z(1)～z(t+1)の中に y(t+1)と等しいものがあるので それを z(a)とします
つまり和の式の最初からa番目の項のなかのz(a)が y(t+1)に等しいというわけです。
k=t+1のときの 左辺から この (x(a)-z(a))^2を除いたt個の項について
x(1)≧x(2)≧...≧x(t+1) ただしx(a)はのぞく
y(1)≧y(2)...≧y(t)が成り立ちますから k=tのときに成立するとした仮定によって
(x(1)-z(1))^2+(x(2)-z(2))^2+...(x(a+1)-z(a+1))^2+...+(x(t+1))-z(t+1))^2
≧(x(1)-y(1))^2+(x(2)-y(2))^2+...(x(a+1)-y(a))^2+...+(x(t+1))-y(t))^2
が成り立ちます。左辺も右辺もx(a)の項ははいってません。
この両辺に (x(a)-z(a))^2=(x(a)-y(t+1))^2を加えます。
すると a<>1のときは
(x(1)-z(1))^2+(x(2)-z(2))^2+...(x(a)-z(a))^2+(x(a+1)-z(a+1))^2+...+(x(t+1))-z(t+1))^2
≧(x(1)-y(1))^2+(x(2)-y(2))^2+...+(x(a)-y(n+1))^2+((x(a+1)-y(a))^2+...+(x(t+1))-y(t))^2
が成り立ちますが この不等式の右辺の
(x(2)-y(2))^2+...+(x(a)-y(n+1))^2+((x(a+1)-y(a))^2+...+(x(t+1))-y(t))^2
というt個の和については x(2)≧x(3)≧...x(t+1) y(2)≧y(3)≧...y(t+1)がなりたつので
数学的帰納法の仮定によって
(x(2)-y(2))^2+...+(x(a)-y(n+1))^2+((x(a+1)-y(a))^2+...+(x(t+1))-y(t))^2
≧Σj=[2,t+1](x(j)-y(j))^2 が成り立ちます
よって この両辺に(x(1)-y(1))^2を加えると(k=t+1のときも
不等式が成立することがわかります。
また a=1のときは
(x(1)-y(t+1))^2+(x(2)-z(2))^2++(x(3)-z(3))^2+...+(x(t+1))-z(t+1))^2
≧(x(1)-y(t+1))^2+(x(2)-y(1))^2+...++(x(t+1))-y(t))^2
となっていますが この最初の２項について x(1)≧x(2) y(1)≧y(t+1)が成り立つので
数学的帰納法のk=2のときの式から
(x(1)-y(t+1))^2+(x(2)-y(1))^2≧(x(1)-y(1))^2+(x(2)-y(n+1))^2となるので
a<>2の場合に帰することになります。
証明とすれば a=1のときを先に書いて a<>2のときに考えると十分であることを示せば
よいでしょうが 全体の証明がよくわからなくなるでしょうから a<>1を先に書きました。
| [5871] うー。またやってしまいました。ごめんなさい。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/09/30(Sat) 11:54 | |
- すいませんでした。どうやら、またしでかしてしまったようです。問題が間違えています。
すいませんでした。正しくは、次のように２乗が入った式になります。
Σj=[1,k](x(j)-z(j))^2≧Σj=[1,k](x(j)-y(j))^2
です。よろしくお願いします。
| [5870] Re:[5867] また勘違いしてるのかなぁ？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/30(Sat) 11:37 | |
- > またなんか条件を見落とし、或いは勘違いしてるのかな
> とっても見掛けだけの問題のような気がします
>
ほげさんもコメントしていらっしゃいますが、同感です。
不等号が意味ないし、x, y の単調減少性は必要ないし、
何か、問題の写し間違いではないのでしょうか？
| [5869] 問題集をUP 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/30(Sat) 09:20 | |
- しました。
一応こうこうの範囲としましたが 中学生でも
十分解ける問題であると思います。
掲示板に感想をいただけると うれしいです
ぜひ チャレンジしてください"^_^"
| [5868] 同感です 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/30(Sat) 09:19 | |
- 見た目ほど難しくないように思いました
| [5867] また勘違いしてるのかなぁ？ 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/30(Sat) 07:56 | |
- またなんか条件を見落とし、或いは勘違いしてるのかな
とっても見掛けだけの問題のような気がします
∑の範囲がいずれも 1≦ｊ≦ｋ のようですから省略して書きます
[証明]
Σ(x(j)-z(j))=∑x(j)-∑z(j),∑(x(j)-y(j))=∑x(j)-∑y(j)だから
左辺-右辺=∑y(j)-∑z(j)≡0 i.e.左辺≧右辺■
「数列 y(1),y(2),y(3)・・・y(k)に対して、
この数列を任意に並び替えて得られる数列 z(1),z(2),z(3)・・・z(k)」
しか使ってない
やはり寝ぼけてるんでしょうね、あとで見るのが楽しみ…(^^;;http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5866] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/09/29(Fri) 22:31 | |
- また、質問させていただいてもよろしいでしょうか？次の問題なのですが、どうやったら、いいのかさっぱり方針がたちません。よろしくお願いします。
x(n)≧x(n+1), y(n)≧y(n+1) (n=1,2,3・・・)が成り立つ。
このとき、数列 y(1),y(2),y(3)・・・y(k)に対して、
この数列を任意に並び替えて得られる数列 z(1),z(2),z(3)・・・z(k)を考える。
このとき、２以上のkにたいして、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
Σj=[1,k](x(j)-z(j))≧Σj=[1,k](x(j)-y(j))
よろしくお願いします。
| [5865] 算チャレ3 Q232 投稿者：tomh 投稿日：2006/09/27(Wed) 17:05 | |
- 先程算チャレ3 Q232が出題されました。
今回は「直方体・立方体と対角線」の問題です。
認証式明けでも解きましょう?! (^^;
また、今夜は算チャレQ519が出題されます。
守備も軽快に解きましょう?! (^^;
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5864] 問題UPについて 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/23(Sat) 18:11 | |
- 本日 所用のため UPできません
明日 問題集の問題をUPいたします。
また 明日UPの時間も 現在のところ予定がたっておりませんので
いつとはいえない状況です
連絡が遅れました
ごめんなさい
| [5863] 算チャレ3 Q231 投稿者：tomh 投稿日：2006/09/20(Wed) 17:03 | |
- 先程算チャレ3 Q231が出題されました。
今回は「時計の針」の問題です。
重要ポスト要請を待ちながら解きましょう?! (^^;
また、今夜は算チャレQ518が出題されます。
1位通過を目指して解きましょう?! (^^;
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5862] (=^・^=) 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/17(Sun) 00:52 | |
- 何はともあれ、めでたい(=^・^=)
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5861] 再開ありがとうございます Re:[5860] こんにちは 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/16(Sat) 12:45 | |
- > 本日 問題集をUPいたしました。皆さん見捨てず 参加してくださいね
>
早速参加しました ^^;
| [5860] こんにちは 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/16(Sat) 10:52 | |
- 自分のHPもあまり見る余裕のない毎日でした。事情があって休みをいただきましたが
本日 問題集をUPいたしました。皆さん見捨てず 参加してくださいね
ZELDAさんのカキコについては 続けてくださって結構です。
参考にされる方もいらっしゃるでしょうし、
あのころを懐かしむ方もいらっしゃるでしょう。
多数のご意見をいただけるのも掲示板のよいところと思いますので
何かあったらまたカキコしてください。
| [5859] 算チャレ3 Q230 投稿者：tomh 投稿日：2006/09/13(Wed) 17:08 | |
- 先程算チャレ3 Q230が出題されました。
今回は「立方体」の問題です。
「悠」が流行るかどうか注目しながら解きましょう?? (^^?
また、今夜は算チャレQ517が出題されます。
虫の音でも聴きながら解きましょう?! (^^;
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5858] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/09/12(Tue) 17:28 | |
- 返事が遅くなりまして、申し訳ありませんでした。BossFさん、uchinyanさん、アドバイスありがとうございました。お二人の意見を参考にさせていただきます。（実は、現代文はとても苦手ですが、古典・漢文と日本史は得意です。←あまり意味の無いものも含まれていますが。）
それとやはりここではあまり良くないと思いますので、これからは気をつけます。ありがとうございました。