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[5782] Re:[5781] [5780] [5779] [5778] [5777] すいません。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/24(Mon) 20:46

> お返事ありがとうございます。私も考えてみたのですが、ぜんぜん進みません。
>
> b^2 = 4ac
> (4 * a^2 + b^2) * p^2 + 2 * (2ad + be) * p + (4af + e^2) = 0
> ただ、p は実数であれば何でもいいようにも思うので、p 自体ではあまり意味がなく、
> 「実数として存在する」ということに意味があるのだろうと思います。
> そう考えると
>
> というお答えなのですが、焦点が(p,0)で定まっている点なので、実数pが存在するという条件にはできない気がするのですが。

うーむ、p が特に条件もなくしかも与えられたもの、ということになると、
これ以上はどうしようもないのかな、という気もしますね。
でも、スッキリしないなぁ．．．

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[5781] Re:[5780] [5779] [5778] [5777] すいません。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/24(Mon) 20:20

お返事ありがとうございます。私も考えてみたのですが、ぜんぜん進みません。

b^2 = 4ac
(4 * a^2 + b^2) * p^2 + 2 * (2ad + be) * p + (4af + e^2) = 0
ただ、p は実数であれば何でもいいようにも思うので、p 自体ではあまり意味がなく、
「実数として存在する」ということに意味があるのだろうと思います。
そう考えると

というお答えなのですが、焦点が(p,0)で定まっている点なので、実数pが存在するという条件にはできない気がするのですが。むずかしくて、あまり自信がないのでよく分からないのですが。

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[5780] Re:[5779] [5778] [5777] すいません。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/24(Mon) 15:24

> 詳しい解答をありがとうございます。なるほど、回転行列を使うのですね。
> uchinyanさんの計算を何回かたどってみましたが、計算が正しいみたいです。
> ウーン、答はきれいにならないのかなー？　
ZELDAさん、チェックありがとうございます。
ここまでが正しいと仮定すると、次の二つの式が得られたことになります。
b^2 = 4ac
(4 * a^2 + b^2) * p^2 + 2 * (2ad + be) * p + (4af + e^2) = 0
ただ、p は実数であれば何でもいいようにも思うので、p 自体ではあまり意味がなく、
「実数として存在する」ということに意味があるのだろうと思います。
そう考えると．．．

・p の式が一次式の場合
a = b = 0 です。このときは、e = 0 になります。そして、
c * y^2 + d * x + f = 0
です。このとき、c not= 0 が必要で、x 軸を軸とする放物線
y^2 = - d/c * (x + f/d)
になります。
ちなみに、一方で、焦点を (p,0)、準線を x = s、x 軸を軸とした放物線の式は
sqrt((x - p)^2 + y^2) = |x - s|
簡単にして整理すると、
y^2 = 2(p - s) * (x - (p + s)/2)
なので、
p - s = - d/2c, p + s = - 2f/d
p = - d/4c - f/d, s = d/4c - f/d
になります。
したがって、a = b = e = 0, c not= 0 は、求める条件の一部になります。

・p の式が二次式の場合
a not= 0 又は b not= 0 です。
しかし、b^2 = 4ac なので、a = 0 ならば b = 0 です。逆は必ずしもいえません。
そこで、
a not= 0 and b = 0 and c = 0
or
a not= 0 and b not= 0 and c not= 0
になるようです。
p の二次方程式と見たときに、判別式 >= 0 が意味のある条件、ということになります。そこで、
(2ad + be)^2 - (4 * a^2 + b^2) * (4af + e^2) >= 0
簡単にすると、
a * (a * d^2 + bde - 4 * a^2 * f - b^2 * f - a * e^2) >= 0
a * (4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de)) <= 0
これと、b^2 = 4ac とを合わせたものが、取り敢えず、条件なのかなぁ．．．ピンときませんが．．．

ただ、これは、面倒になりそうですが、もっと計算できそうです。
例えば、a > 0 の場合は、
4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de) <= 0
なので、これを a の不等式と考えると、これが a > 0 で解をもつ条件を調べればよさそうです。
なお、b^2 = 4ac の条件がついているのですが、
幸か不幸か、不等式の方に c がないので、この条件は考えなくていいことになります。
a < 0 も同様です。
．．．

面倒そうなので、考えていません。
もっとも、後は、ZELDAさんにお任せ＆ご判断でいいのかな (^^; ？

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[5779] Re:[5778] [5777] すいません。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/23(Sun) 10:00

> > せっかく計算していただいたのに、たいへん申し訳ありません。
> > ２次曲線の一般形をax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
> > 焦点を(a,0)と、aが２箇所に入ってしまったのですが、これは誤りです。
> > 焦点の座標を(p,0)に変えていただけると助かります。
> やはりねぇ〜、という感じですが、[5775]の私の解法は、原則同じです。
> 一応、修正して、再掲しておきます。
>
> まず、原点を焦点とし、軸を x 軸とする放物線の方程式を求めておきましょう。
> 放物線の定義は、いろいろありますが、一番基本的なのは、
> 放物線上の点 (x,y) と、ある直線、準線といいます、との距離が、焦点との距離に等しい曲線です。
> これを使うと、焦点を原点とし、準線を x = s として、
> sqrt(x^2 + y^2) = |x - s|
> x^2 + y^2 = (x - s)^2
> y^2 = -2s * x + s^2
> 次に、軸を回転します。これは座標軸を -θ 回転して新しい座標系からみた座標を (X,Y) とすると、
> X = cosθ * x - sinθ * y
> Y = sinθ * x + cosθ * y
> x = cosθ * X + sinθ * Y
> y = - sinθ * X + cosθ * Y
> なお、θの正負は、実は関係しないのですが、
> 一応、新しい座標軸から見て、放物線の軸がθだけ回転しているようにしました。
> そこで、
> (- sinθ * X + cosθ * Y)^2 = -2s * (cosθ * X + sinθ * Y) + s^2
> (sinθ)^2 * X^2 - 2 * sinθ * cosθ * XY + (cosθ)^2 * Y^2 + 2s * cosθ * X + 2s * sinθ * Y - s^2 = 0
> 以下の比較のために、X, Y を新たに x, y としておけば、
> (sinθ)^2 * x^2 - 2 * sinθ * cosθ * xy + (cosθ)^2 * y^2 + 2s * cosθ * x + 2s * sinθ * y - s^2 = 0
> ここまでで、放物線の軸は傾きましたが、焦点は原点のままなので、これを (p,0) にします。
> これは、x -> x - p, y -> y と平行移動すればOKです。そこで、
> (sinθ)^2 * (x - p)^2 - 2 * sinθ * cosθ * (x - p)y + (cosθ)^2 * y^2
> + 2s * cosθ * (x - p) + 2s * sinθ * y - s^2 = 0
> (sinθ)^2 * x^2 - 2 * sinθ * cosθ * xy + (cosθ)^2 * y^2
> + (- 2p * (sinθ)^2 + 2s * cosθ) * x + (2p * sinθ * cosθ + 2s * sinθ) * y
> + (p^2 * (sinθ)^2 - 2ps * cosθ - s^2) = 0
> これで、求める一般式が得られました。これが、
> a * x^2 + b * xy + c * y^2 + d * x + e * y + f = 0
> に等しければいいので、k を 0 でないとして、
> (sinθ)^2 = ka
> - 2 * sinθ * cosθ = kb
> (cosθ)^2 = kc
> - 2p * (sinθ)^2 + 2s * cosθ = kd
> 2p * sinθ * cosθ + 2s * sinθ = ke
> p^2 * (sinθ)^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
> ちなみに、k = 0 は意味がありません。
> 最初の三つの式から、
> k = 1/(a + c)
> b^2 = 4ac
> になります。
> 後者は、BossFさんが触れられている話です。ちなみに、楕円は b^2 < 4ac、双曲線は b^2 > 4ac です。
> さて、残りのスゴイ式ですが、最初の三つの式から、
> (sinθ)^2 = ka
> 2 * sinθ * cosθ = - kb
> を代入して、
> - 2kap + 2s * cosθ = kd
> - kbp + 2s * sinθ = ke
> ka * p^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
> 最初と最後の式より
> - ka * p^2 - s^2 = kf + kdp
> s^2 = - ka * p^2 - kdp - kf
> sinθの式を変形して、
> 2s * sinθ = kbp + ke
> 4 * s^2 * (sinθ)^2 = (kpb + ke)^2
> s^2 と (sinθ)^2 を消去して、
> 4 * (- ka * p^2 - kdp - kf) * (ka) = (kbp + ke)^2
> k は 0 ではないので、k^2 で割って、
> - 4a * (a * p^2 + dp + f) = (bp + e)^2
> (4 * a^2 + b^2) * p^2 + 2 * (2ad + be) * p + (4af + e^2) = 0
> ...
> と、ここまできたのですが、この後どうしたものか．．．
> b^2 = 4ac を使ってもきれいにならないし．．．
>
> 絶対、何か間違っていますね (^^;
> ご指摘をお願い致します。


詳しい解答をありがとうございます。なるほど、回転行列を使うのですね。uchinyanさんの計算を何回かたどってみましたが、計算が正しいみたいです。ウーン、答はきれいにならないのかなー？　問題を間違えてしまい、本当にすいませんでした。これからは、気をつけて質問しようと思います。何かおかしいところがありましたら、ご指摘ください。ありがとうございました。

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[5778] Re:[5777] すいません。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/22(Sat) 21:34

> せっかく計算していただいたのに、たいへん申し訳ありません。
> ２次曲線の一般形をax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
> 焦点を(a,0)と、aが２箇所に入ってしまったのですが、これは誤りです。
> 焦点の座標を(p,0)に変えていただけると助かります。
やはりねぇ〜、という感じですが、[5775]の私の解法は、原則同じです。
一応、修正して、再掲しておきます。

まず、原点を焦点とし、軸を x 軸とする放物線の方程式を求めておきましょう。
放物線の定義は、いろいろありますが、一番基本的なのは、
放物線上の点 (x,y) と、ある直線、準線といいます、との距離が、焦点との距離に等しい曲線です。
これを使うと、焦点を原点とし、準線を x = s として、
sqrt(x^2 + y^2) = |x - s|
x^2 + y^2 = (x - s)^2
y^2 = -2s * x + s^2
次に、軸を回転します。これは座標軸を -θ 回転して新しい座標系からみた座標を (X,Y) とすると、
X = cosθ * x - sinθ * y
Y = sinθ * x + cosθ * y
x = cosθ * X + sinθ * Y
y = - sinθ * X + cosθ * Y
なお、θの正負は、実は関係しないのですが、
一応、新しい座標軸から見て、放物線の軸がθだけ回転しているようにしました。
そこで、
(- sinθ * X + cosθ * Y)^2 = -2s * (cosθ * X + sinθ * Y) + s^2
(sinθ)^2 * X^2 - 2 * sinθ * cosθ * XY + (cosθ)^2 * Y^2 + 2s * cosθ * X + 2s * sinθ * Y - s^2 = 0
以下の比較のために、X, Y を新たに x, y としておけば、
(sinθ)^2 * x^2 - 2 * sinθ * cosθ * xy + (cosθ)^2 * y^2 + 2s * cosθ * x + 2s * sinθ * y - s^2 = 0
ここまでで、放物線の軸は傾きましたが、焦点は原点のままなので、これを (p,0) にします。
これは、x -> x - p, y -> y と平行移動すればOKです。そこで、
(sinθ)^2 * (x - p)^2 - 2 * sinθ * cosθ * (x - p)y + (cosθ)^2 * y^2
+ 2s * cosθ * (x - p) + 2s * sinθ * y - s^2 = 0
(sinθ)^2 * x^2 - 2 * sinθ * cosθ * xy + (cosθ)^2 * y^2
+ (- 2p * (sinθ)^2 + 2s * cosθ) * x + (2p * sinθ * cosθ + 2s * sinθ) * y
+ (p^2 * (sinθ)^2 - 2ps * cosθ - s^2) = 0
これで、求める一般式が得られました。これが、
a * x^2 + b * xy + c * y^2 + d * x + e * y + f = 0
に等しければいいので、k を 0 でないとして、
(sinθ)^2 = ka
- 2 * sinθ * cosθ = kb
(cosθ)^2 = kc
- 2p * (sinθ)^2 + 2s * cosθ = kd
2p * sinθ * cosθ + 2s * sinθ = ke
p^2 * (sinθ)^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
ちなみに、k = 0 は意味がありません。
最初の三つの式から、
k = 1/(a + c)
b^2 = 4ac
になります。
後者は、BossFさんが触れられている話です。ちなみに、楕円は b^2 < 4ac、双曲線は b^2 > 4ac です。
さて、残りのスゴイ式ですが、最初の三つの式から、
(sinθ)^2 = ka
2 * sinθ * cosθ = - kb
を代入して、
- 2kap + 2s * cosθ = kd
- kbp + 2s * sinθ = ke
ka * p^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
最初と最後の式より
- ka * p^2 - s^2 = kf + kdp
s^2 = - ka * p^2 - kdp - kf
sinθの式を変形して、
2s * sinθ = kbp + ke
4 * s^2 * (sinθ)^2 = (kpb + ke)^2
s^2 と (sinθ)^2 を消去して、
4 * (- ka * p^2 - kdp - kf) * (ka) = (kbp + ke)^2
k は 0 ではないので、k^2 で割って、
- 4a * (a * p^2 + dp + f) = (bp + e)^2
(4 * a^2 + b^2) * p^2 + 2 * (2ad + be) * p + (4af + e^2) = 0
...
と、ここまできたのですが、この後どうしたものか．．．
b^2 = 4ac を使ってもきれいにならないし．．．

絶対、何か間違っていますね (^^;
ご指摘をお願い致します。

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[5777] すいません。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/22(Sat) 19:11

せっかく計算していただいたのに、たいへん申し訳ありません。
２次曲線の一般形をax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
焦点を(a,0)と、aが２箇所に入ってしまったのですが、これは誤りです。
焦点の座標を(p,0)に変えていただけると助かります。本当に申し訳ありませんでした。
よろしくお願いします。

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[5776] 放物線だった！ 投稿者：BossF 投稿日：2006/07/22(Sat) 18:15

失礼　考え直して、あとでまた投稿します(^^;;

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

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[5775] [5773] 一応考えてみましたが、全く自信なし．．． 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/22(Sat) 13:02

まず、原点を焦点とし、軸を x 軸とする放物線の方程式を求めておきましょう。
放物線の定義は、いろいろありますが、一番基本的なのは、
放物線上の点 (x,y) と、ある直線、準線といいます、との距離が、焦点との距離に等しい曲線です。
これを使うと、焦点を原点とし、準線を x = p として、
sqrt(x^2 + y^2) = |x - p|
x^2 + y^2 = (x - p)^2
y^2 = -2p * x + p^2
次に、軸を回転します。これは座標軸を -θ 回転して新しい座標系からみた座標を (X,Y) とすると、
X = cosθ * x - sinθ * y
Y = sinθ * x + cosθ * y
x = cosθ * X + sinθ * Y
y = - sinθ * X + cosθ * Y
なお、θの正負は、実は関係しないのですが、
一応、新しい座標軸から見て、放物線の軸がθだけ回転しているようにしました。
そこで、
(- sinθ * X + cosθ * Y)^2 = -2p * (cosθ * X + sinθ * Y) + p^2
(sinθ)^2 * X^2 - 2 * sinθ * cosθ * XY + (cosθ)^2 * Y^2 + 2p * cosθ * X + 2p * sinθ * Y - p^2 = 0
以下の比較のために、X, Y を新たに x, y としておけば、
(sinθ)^2 * x^2 - 2 * sinθ * cosθ * xy + (cosθ)^2 * y^2 + 2p * cosθ * x + 2p * sinθ * y - p^2 = 0
ここまでで、放物線の軸は傾きましたが、焦点は原点のままなので、これを (a,0) にします。
これは、x -> x - a, y -> y と平行移動すればOKです。そこで、
(sinθ)^2 * (x - a)^2 - 2 * sinθ * cosθ * (x - a)y + (cosθ)^2 * y^2
+ 2p * cosθ * (x - a) + 2p * sinθ * y - p^2 = 0
(sinθ)^2 * x^2 - 2 * sinθ * cosθ * xy + (cosθ)^2 * y^2
+ (- 2a * (sinθ)^2 + 2p * cosθ) * x + (2a * sinθ * cosθ + 2p * sinθ) * y
+ (a^2 * (sinθ)^2 - 2ap * cosθ - p^2) = 0
これで、求める一般式が得られました。これが、
a * x^2 + b * xy + c * y^2 + d * x + e * y + f = 0
に等しければいいので、a が同じだけどいいのですね？、k を 0 でないとして、
(sinθ)^2 = ka
- 2 * sinθ * cosθ = kb
(cosθ)^2 = kc
- 2a * (sinθ)^2 + 2p * cosθ = kd
2a * sinθ * cosθ + 2p * sinθ = ke
a^2 * (sinθ)^2 - 2ap * cosθ - p^2 = kf
ちなみに、k = 0 は意味がありません。
最初の三つの式から、
k = 1/(a + c)
b^2 = 4ac
になります。
後者は、BossFさんが触れられている話です。ちなみに、楕円は b^2 < 4ac、双曲線は b^2 > 4ac です。
さて、残りのスゴイ式ですが、最初の三つの式から、
(sinθ)^2 = ka
2 * sinθ * cosθ = - kb
を代入して、
- 2k * a^2 + 2p * cosθ = kd
- kab + 2p * sinθ = ke
k * a^3 - 2ap * cosθ - p^2 = kf
最初と最後の式より
- k * a^3 - p^2 = kf + kad
p^2 = - k * a^3 - kad - kf
sinθの式を変形して、
2p * sinθ = kab + ke
4 * p^2 * (sinθ)^2 = (kab + ke)^2
p^2 と (sinθ)^2 を消去して、
4 * (- k * a^3 - kf - kad) * (ka) = (kab + ke)^2
k は 0 ではないので、k^2 で割って、
- 4a * (a^3 + ad + f) = (ab + e)^2
4 * a^4 + 4 * a^2 * d + 4 * af + a^2 * b^2 + 2abe + e^2 = 0
...
と、ここまできたのですが、この後どうしたものか．．．
b^2 = 4ac を使ってもきれいにならないし．．．

絶対、何か間違っていますね (^^;
ご指摘をお願い致します。

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[5774] 懐かしい問題ですね 投稿者：BossF 投稿日：2006/07/22(Sat) 07:17

うろ覚えなので、間違ってるかもしれませんが確か…

F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 が楕円になるためには

b^2-4ac<0 が必要で

この時、中心(p,q)は

∂F/∂x=2ax+by+d=0 ∂F/∂y=bx+2cy+e=0

を解いて求められます。それが原点に来るように平行移動をすると

aX^2+bXY+cY^2=-F(p,q) になり

tan2θ=b/(a-c)となる角だけ回転させると新座標系(ξ,η）で標準形にできますから、その焦点が(a,o)の移った点となることが条件です

以上のような方針です、あとで実際に計算して見ますがとりあえずこれで(^^;;

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

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[5773] 教えていただけないでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/21(Fri) 21:17

また、質問よろしいでしょうか？

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
が２次曲線を表すとき、これが(a,0)を焦点とする放物線になる条件を求めよ。

軸が斜めでもよい問題なので、どう扱っていいのか分かりません。分かる方いらっしゃいましたら、御教授ください。よろしくお願いします。

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[5772] 算チャレ3 Q223 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/19(Wed) 17:07

先程算チャレ3 Q223が出題されました。
今回は「りんごとなしの売り上げ」の問題です。
夏を待ち焦がれながら解きましょう?! (^^;


また、今夜は算チャレQ510が出題されます。
算チャレは今晩も歴史を刻みます。 (^.^)

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5771] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/15(Sat) 13:12

ほげさん、ありがとうございます。書き込めました。

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[5770] 修正いたしました 投稿者：ほげ 投稿日：2006/07/15(Sat) 12:48

ごめんなさい　修正しました　

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[5769] Re:[5768]同じく 投稿者：なにわ 投稿日：2006/07/15(Sat) 10:13

１番かと思いましたが……　そんなことなかった。

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[5768] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/15(Sat) 09:56

ほげさんへ、問題集の正解者一覧に名前を書き込めないのですが・・・。

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[5767] 算チャレ3 Q222 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/12(Wed) 17:03

先程算チャレ3 Q222が出題されました。
今回は「222…2の割り算」の問題です。
Q222の記念問題(?)、心して解きましょう。 (^^;


また、今夜は算チャレQ509が出題されます。
「雨ニモ負ケズ算チャレニモ負ケズ」で解きましょう?! (^^;;

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5766] 算チャレ3 Q221 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/05(Wed) 17:08

先程算チャレ3 Q221が出題されました。
今回は「方陣」の問題です。
防空体勢万全で解きましょう… (^^;


また、今夜は算チャレQ508が出題されます。
短冊に「算チャレで好成績」と書いてから解きましょう?! (^^;;

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5765] 問題UP終了 投稿者：ほげ 投稿日：2006/07/05(Wed) 08:04

問題をUPしました。私はもう少し　自宅にいるので　おかしいところがあれば教えてください。直します。それ以降は明日訂正します。

uchinyanさん　ありがとうございます。問題集は不定期の予定でしたが
皆さん解答をしてくださるので　それが楽しくて　今のところ毎週土曜に出題しています。
ZELDAさんの問題も面白い問題でした。私にはとけませんでしたが(^_^)

このHPの中の　数学や算数の話題が　私の活力になっています

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[5764] あまりご無理をなさらないように　Re:[5763] 明日の問題UPについて 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/04(Tue) 17:35

> 申し訳ありませんが　今月も　夜は　多忙のため不在です。
> 明日の　朝８時にUPする予定です。
> 本年度は　夜の時間のUPをお約束できません。（UPできる時もあると思います）
> ご迷惑をおかけしますが　この掲示板にカキコしますので　よろしくお願いします。m(__)m
>
問題集の方も、不定期、とあるのに、律儀に毎週UPなさっているし、
最近はZELDAさんも難問を投げてくるし？ (^^;
のんびりやりましょうよぉ〜

というわけで、私も明日の問題は、いろいろあって、ゆっくり参加しようかな、
と思っています。

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[5763] 明日の問題UPについて 投稿者：ほげ 投稿日：2006/07/04(Tue) 07:50

申し訳ありませんが　今月も　夜は　多忙のため不在です。
明日の　朝８時にUPする予定です。
本年度は　夜の時間のUPをお約束できません。（UPできる時もあると思います）
ご迷惑をおかけしますが　この掲示板にカキコしますので　よろしくお願いします。m(__)m

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