| [5793] 算チャレ3 Q224 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/26(Wed) 17:04 | |
- 先程算チャレ3 Q224が出題されました。
今回は「正方形の面積の増減」の問題です。
梅雨明けも近いので、元気に解きましょう?! (^^;
また、今夜は算チャレQ511が出題されます。
夏休みの計画をたてながら解きましょう?! (^^;;
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| [5792] 私の計算 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/26(Wed) 16:20 | |
- > どうやって、出したのですか？
uchinyanさんも出されている
> (sinθ)^2 = ka
> - 2 * sinθ * cosθ = kb
> (cosθ)^2 = kc
> - 2p * (sinθ)^2 + 2s * cosθ = kd
> 2p * sinθ * cosθ + 2s * sinθ = ke
> p^2 * (sinθ)^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
がすべてです。但し、準線と焦点の関係より、s=-2p とはしてますが。
例えば、kdの式は
kd = -2p (sinθ)^2 -4p cosθ
= -2p (ka) -4p cosθ
kd +2pka = -4p cosθ
(kd +2pka)^2 = 16p^2 (cosθ)^2
(kd +2pka)^2 = 16p^2 (kc)
となります。keも同じような変形です。
kfは
kf = p^2 (sinθ)^2 +4p^2 cosθ -4p^2
= p^2 [1-(cosθ)^2] +4p^2 cosθ -4p^2
= -p^2 [(cosθ)^2 -4cosθ +3p^2]
= -p^2 (1-cosθ)(3-cosθ)
としてから、先程のkdの計算で出てきたkd +2pka = -4p cosθを
代入です。
後は先の置き換えで、A,B,…,Fの式にしました。
いかがでしょ? (^.^)
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| [5791] Re:[5789] 私の計算では… 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/26(Wed) 07:50 | |
- どうやって、出したのですか？
> k=1/(a+c)
>
> と決まっているので、
>
> A=ka, B=kb, C=kc,
> D=kdp, E=kep, F=kfp^2
>
> とおいたとき(適当にpがかけてあるのは、きれいにするため)、
>
> A+C = 1,
> B^2 = 4AC,
> 16C = (D+2A)^2,
> 16A = (E+B)^2,
> 16F = -(4+D+2A)(12+D+2A)
>
> ぐらいでどうですか?
> #ちゃんとチェックをしてないので、
> #どこまであっていることやら… (^^;
>
| [5790] 遅くなりました。すいません。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/25(Tue) 23:33 | |
- 予備校の予習に追われて、返事が遅くなりすいません。実はまだ、明日の予習が済んでいません。明日の授業は数学なのですが、かなりの難問ぞろいでなかなか思うようには進みません。
解答のほうですが、２次曲線になる条件が必要なのですか。せっかく早く解答を下さったのに、今は切羽詰っているので、明日帰ってきたらゆっくり読まさせていただきます。
支離滅裂な文章ですいません。それでは、明日読まさせて頂きます。ありがとうございました。
| [5789] 私の計算では… 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/25(Tue) 23:24 | |
- k=1/(a+c)
と決まっているので、
A=ka, B=kb, C=kc,
D=kdp, E=kep, F=kfp^2
とおいたとき(適当にpがかけてあるのは、きれいにするため)、
A+C = 1,
B^2 = 4AC,
16C = (D+2A)^2,
16A = (E+B)^2,
16F = -(4+D+2A)(12+D+2A)
ぐらいでどうですか?
#ちゃんとチェックをしてないので、
#どこまであっていることやら… (^^;
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| [5788] ちょっとした別解 Re:[5786] まだ条件不足．．．Re:[5784] 再考しました Re:[5783] ごめんなさい 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/25(Tue) 22:16 | |
- 二次曲線になる条件
> ・a = 0 の場合は、d not= 0 が必要。
> ・c = 0 の場合は、e not= 0 が必要。
> ・a not= 0 and c not= 0 の場合は、d not= 0 or e not= 0 が必要。
以外の条件
> > ・p の二次方程式にならない場合
> > [5780]の最初と同じで、a = b = e = 0, c not= 0, d not= 0 になります。
> > このとき、
> > p = - d/4c - f/d
> > になります。
> > これは、軸が x 軸となる放物線です。
> >
> > ・p の二次方程式の場合
> > [5780]の二番目の最初と同じで、a not= 0 and b = 0 and c = 0
> > or
> > a not= 0 and b not= 0 and c not= 0
> > になります。
> > 判別式 = 0 の条件から、
> > (2ad + be)^2 - (4 * a^2 + b^2) * (4af + e^2) = 0
> > 簡単にすると、
> > a * (a * d^2 + bde - 4 * a^2 * f - b^2 * f - a * e^2) = 0
> > a * (4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de)) = 0
> > a not= 0 より
> > 4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de) = 0
> > これと、b^2 = 4ac とを合わせたものを条件、としてもよさそうです。
に関して、少し計算が大変になりますが、ナイーブな方法で再計算してみました。
この方が、論理的には自然だと思います。
[5778]の
(sinθ)^2 = ka
- 2 * sinθ * cosθ = kb
(cosθ)^2 = kc
- 2p * (sinθ)^2 + 2s * cosθ = kd
2p * sinθ * cosθ + 2s * sinθ = ke
p^2 * (sinθ)^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
及び
k = 1/(a + c)
b^2 = 4ac
さらに
- 2kap + 2s * cosθ = kd
- kbp + 2s * sinθ = ke
ka * p^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
までは同じです。
ここで、最後の三つの式の上二つを p, s の連立方程式とみなします。すると、
(- 2 * sinθ * a + cosθ * b) * p = sinθ * d - cosθ * e
(- 2 * sinθ * a + cosθ * b) * s = (- 2ae + bd) * k/2
そこで、さっきの最後の式の両辺に (- 2 * sinθ * a + cosθ * b)^2 をかけると、
ka * ((- 2 * sinθ * a + cosθ * b) * p)^2
- 2 * ((- 2 * sinθ * a + cosθ * b) * p) * ((- 2 * sinθ * a + cosθ * b) * s) * cosθ
- ((- 2 * sinθ * a + cosθ * b) * s)^2
= (- 2 * sinθ * a + cosθ * b)^2 * kf
ka * (sinθ * d - cosθ * e)^2
- 2 * (sinθ * d - cosθ * e) * cosθ * ((- 2ae + bd) * k/2)
- ((- 2ae + bd) * k/2)^2
= (- 2 * sinθ * a + cosθ * b)^2 * kf
この式を展開して、
(sinθ)^2 = ka
- 2 * sinθ * cosθ = kb
(cosθ)^2 = kc
を使ってθを消去し、さらに k^2 で割って、頑張って整理すると、
4 * a^2 * d^2 - 4ac * e^2 + b^2 * d^2 + 4bcde - 4 * a^2 * e^2 + 4abde
- 16 * a^3 * f - 8a * b^2 * f - 4 * b^2 * cf = 0
ここで、b^2 = 4ac を使って c を消去し、頑張ってまとめると、
(4 * a^2 + b^2) * (4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de)) = 0
になります。そこで、
4 * a^2 + b^2 = 0 からは、a = b = 0 で、p の式などから e = 0 になり、
p の二次方程式にならない場合の条件が導けます。
一方、4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de) = 0 は、p の二次方程式になる場合の条件です。
したがって、p の二次式経由で導いた条件が再現できました。
| [5787] 無題 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/25(Tue) 17:32 | |
- トップページに
> 7/22 問題集に問題16をUPいたしました
ってありますよ。 (^^;
「問題17」が正しいですね。 (^.^)
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| [5786] まだ条件不足．．．Re:[5784] 再考しました Re:[5783] ごめんなさい 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/25(Tue) 11:26 | |
- ごめんなさい、まだ条件不足のようです。
そもそも、大前提として、
a * x^2 + b * xy + c * y^2 + d * x + e * y + f = 0
が二次曲線になる条件、が追加される、とした方が安全なようです。
> ・p の二次方程式にならない場合
> [5780]の最初と同じで、a = b = e = 0, c not= 0, d not= 0 になります。
> このとき、
> p = - d/4c - f/d
> になります。
> これは、軸が x 軸となる放物線です。
>
> ・p の二次方程式の場合の場合
> [5780]の二番目の最初と同じで、a not= 0 and b = 0 and c = 0
> or
> a not= 0 and b not= 0 and c not= 0
> になります。
> 判別式 = 0 の条件から、
> (2ad + be)^2 - (4 * a^2 + b^2) * (4af + e^2) = 0
> 簡単にすると、
> a * (a * d^2 + bde - 4 * a^2 * f - b^2 * f - a * e^2) = 0
> a * (4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de)) = 0
> a not= 0 より
> 4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de) = 0
> これと、b^2 = 4ac とを合わせたものを条件、としてもよさそうです。
> ただ、これも a の二次方程式と見ることができるので、a が 0 でない解をもつ条件を考えると、
> b not= 0 and bf - de not= 0
> (d^2 - e^2)^2 - 16 * bf * (bf - de) >= 0
> としてもよさそうです。もっと計算できるかもしれませんが、まぁ、取り敢えずここまで。
> あ、ただし、
> a not= 0 and b^2 = 4ac
> も、これに追加ですね。
> なお、このとき、
> p = - (2ad + be)/(4 * a^2 + b^2)
> です。
>
これに加えて、今の場合は、b^2 = 4ac なので、(a >= 0 and c >= 0) or (a < 0 and c < 0) です。
後者は、二次曲線の式の全体に -1 をかけて全体の符号を変更すれば前者に帰着します。
a >= 0 and c >= 0 の場合は、b = ±2 * sqrt(a) * sqrt(c) なので、
a * x^2 + b * xy + c * y^2 + d * x + e * y + f = 0
a * x^2 ±2 * sqrt(a) * sqrt(c) * xy + c * y^2 + d * x + e * y + f = 0
(sqrt(a) * x ± sqrt(c) * y)^2 = - d * x - e * y - f <----- (A)
ここで、(A)が x, y の二次曲線になるには、
・a = 0 の場合は、d not= 0 が必要。
・c = 0 の場合は、e not= 0 が必要。
・a not= 0 and c not= 0 の場合は、d not= 0 or e not= 0 が必要。
です。先ほどの条件に、これらを付加しておいた方が安全のようです。
先ほどの条件だけでは、a not= 0, d = e = f = 0 などを許可してしまっているようです。
これは、一番最初に、焦点を原点、準線を x = s としたときに、
s = 0 も許してしまっていることに原因がありそうです。
二次曲線になる条件は、放物線でないもっと一般の場合に調べることも
可能だと思いますが、面倒そうなので省略します。
なお、正直言って、論理の流れが非常に不自然だと感じています。
考え方はよさそうに思うのですが、同値変形になっていない可能性のある箇所、
二乗する辺りとか、などがあり、そこらが悪さしている可能性があります。
そこらを再検討するか、全く別のアプローチを試みて検証するか、をした方がいいかもしれません。
(A)の式から出発するのも一つの手です。
ただ、この場合には、軸の回転移動や平行移動をうまくやらないと、混乱する可能性もありそうです。
もう少しスッキリとできないのかな．．．
| [5785] なろほど納得しました。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/25(Tue) 09:42 | |
- ご丁寧な解答ありがとうございます。なるほど、pは定まっているのに、pに関する方程式とみなす意味が分かりました。ずいぶんときれいな式になるのですね。私からみると、なんか雲の上の話をされている気がします。難しいです。でも解答をみれば何とか分かりました。助かりました、この問題を誰に聞いても答えが返ってこなくて困っていましたが、教えて頂きありがとうございました。
| [5784] 再考しました Re:[5783] ごめんなさい 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/25(Tue) 09:03 | |
- > 具体例を考えてみたら、全く合わないようです。
> 根本的な勘違いをしている可能性大！
> 再考します。
>
うーん、再チェックしてみましたが、
b^2 = 4ac
(4 * a^2 + b^2) * p^2 + 2 * (2ad + be) * p + (4af + e^2) = 0
ここまでは正しそうです。やはり、この後でしょうか。
p の式は、a 〜 f を与えたとき、一般には二次方程式とみなすことができます。
したがって、p の値は、一般に二つ存在することが可能です。
しかし、a 〜 f を与えれば、元の二次曲線は確定し、これが放物線になるとすると、
焦点は一つなので、p は一つでなければなりません。
したがって、
・p の二次方程式にならない。
・p の二次方程式の場合は、判別式 = 0 になる。
のいずれかが必要十分です。
・p の二次方程式にならない場合
[5780]の最初と同じで、a = b = e = 0, c not= 0, d not= 0 になります。
このとき、
p = - d/4c - f/d
になります。
これは、軸が x 軸となる放物線です。
・p の二次方程式の場合の場合
[5780]の二番目の最初と同じで、a not= 0 and b = 0 and c = 0
or
a not= 0 and b not= 0 and c not= 0
になります。
判別式 = 0 の条件から、
(2ad + be)^2 - (4 * a^2 + b^2) * (4af + e^2) = 0
簡単にすると、
a * (a * d^2 + bde - 4 * a^2 * f - b^2 * f - a * e^2) = 0
a * (4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de)) = 0
a not= 0 より
4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de) = 0
これと、b^2 = 4ac とを合わせたものを条件、としてもよさそうです。
ただ、これも a の二次方程式と見ることができるので、a が 0 でない解をもつ条件を考えると、
b not= 0 and bf - de not= 0
(d^2 - e^2)^2 - 16 * bf * (bf - de) >= 0
としてもよさそうです。もっと計算できるかもしれませんが、まぁ、取り敢えずここまで。
あ、ただし、
a not= 0 and b^2 = 4ac
も、これに追加ですね。
なお、このとき、
p = - (2ad + be)/(4 * a^2 + b^2)
です。
これでどうでしょうか。
a 〜 f を与えれば曲線は確定するので焦点も確定し、p も確定するはずです。
全く独立ということはないですよね。
| [5783] ごめんなさい Re:[5782] [5781] [5780] [5779] [5778] [5777] すいません。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/24(Mon) 23:58 | |
- 具体例を考えてみたら、全く合わないようです。
根本的な勘違いをしている可能性大！
再考します。
> > お返事ありがとうございます。私も考えてみたのですが、ぜんぜん進みません。
> >
> > b^2 = 4ac
> > (4 * a^2 + b^2) * p^2 + 2 * (2ad + be) * p + (4af + e^2) = 0
> > ただ、p は実数であれば何でもいいようにも思うので、p 自体ではあまり意味がなく、
> > 「実数として存在する」ということに意味があるのだろうと思います。
> > そう考えると
> >
> > というお答えなのですが、焦点が(p,0)で定まっている点なので、実数pが存在するという条件にはできない気がするのですが。
>
> うーむ、p が特に条件もなくしかも与えられたもの、ということになると、
> これ以上はどうしようもないのかな、という気もしますね。
> でも、スッキリしないなぁ．．．
| [5782] Re:[5781] [5780] [5779] [5778] [5777] すいません。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/24(Mon) 20:46 | |
- > お返事ありがとうございます。私も考えてみたのですが、ぜんぜん進みません。
>
> b^2 = 4ac
> (4 * a^2 + b^2) * p^2 + 2 * (2ad + be) * p + (4af + e^2) = 0
> ただ、p は実数であれば何でもいいようにも思うので、p 自体ではあまり意味がなく、
> 「実数として存在する」ということに意味があるのだろうと思います。
> そう考えると
>
> というお答えなのですが、焦点が(p,0)で定まっている点なので、実数pが存在するという条件にはできない気がするのですが。
うーむ、p が特に条件もなくしかも与えられたもの、ということになると、
これ以上はどうしようもないのかな、という気もしますね。
でも、スッキリしないなぁ．．．
| [5781] Re:[5780] [5779] [5778] [5777] すいません。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/24(Mon) 20:20 | |
- お返事ありがとうございます。私も考えてみたのですが、ぜんぜん進みません。
b^2 = 4ac
(4 * a^2 + b^2) * p^2 + 2 * (2ad + be) * p + (4af + e^2) = 0
ただ、p は実数であれば何でもいいようにも思うので、p 自体ではあまり意味がなく、
「実数として存在する」ということに意味があるのだろうと思います。
そう考えると
というお答えなのですが、焦点が(p,0)で定まっている点なので、実数pが存在するという条件にはできない気がするのですが。むずかしくて、あまり自信がないのでよく分からないのですが。
| [5780] Re:[5779] [5778] [5777] すいません。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/24(Mon) 15:24 | |
- > 詳しい解答をありがとうございます。なるほど、回転行列を使うのですね。
> uchinyanさんの計算を何回かたどってみましたが、計算が正しいみたいです。
> ウーン、答はきれいにならないのかなー？
ZELDAさん、チェックありがとうございます。
ここまでが正しいと仮定すると、次の二つの式が得られたことになります。
b^2 = 4ac
(4 * a^2 + b^2) * p^2 + 2 * (2ad + be) * p + (4af + e^2) = 0
ただ、p は実数であれば何でもいいようにも思うので、p 自体ではあまり意味がなく、
「実数として存在する」ということに意味があるのだろうと思います。
そう考えると．．．
・p の式が一次式の場合
a = b = 0 です。このときは、e = 0 になります。そして、
c * y^2 + d * x + f = 0
です。このとき、c not= 0 が必要で、x 軸を軸とする放物線
y^2 = - d/c * (x + f/d)
になります。
ちなみに、一方で、焦点を (p,0)、準線を x = s、x 軸を軸とした放物線の式は
sqrt((x - p)^2 + y^2) = |x - s|
簡単にして整理すると、
y^2 = 2(p - s) * (x - (p + s)/2)
なので、
p - s = - d/2c, p + s = - 2f/d
p = - d/4c - f/d, s = d/4c - f/d
になります。
したがって、a = b = e = 0, c not= 0 は、求める条件の一部になります。
・p の式が二次式の場合
a not= 0 又は b not= 0 です。
しかし、b^2 = 4ac なので、a = 0 ならば b = 0 です。逆は必ずしもいえません。
そこで、
a not= 0 and b = 0 and c = 0
or
a not= 0 and b not= 0 and c not= 0
になるようです。
p の二次方程式と見たときに、判別式 >= 0 が意味のある条件、ということになります。そこで、
(2ad + be)^2 - (4 * a^2 + b^2) * (4af + e^2) >= 0
簡単にすると、
a * (a * d^2 + bde - 4 * a^2 * f - b^2 * f - a * e^2) >= 0
a * (4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de)) <= 0
これと、b^2 = 4ac とを合わせたものが、取り敢えず、条件なのかなぁ．．．ピンときませんが．．．
ただ、これは、面倒になりそうですが、もっと計算できそうです。
例えば、a > 0 の場合は、
4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de) <= 0
なので、これを a の不等式と考えると、これが a > 0 で解をもつ条件を調べればよさそうです。
なお、b^2 = 4ac の条件がついているのですが、
幸か不幸か、不等式の方に c がないので、この条件は考えなくていいことになります。
a < 0 も同様です。
．．．
面倒そうなので、考えていません。
もっとも、後は、ZELDAさんにお任せ＆ご判断でいいのかな (^^; ？
| [5779] Re:[5778] [5777] すいません。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/23(Sun) 10:00 | |
- > > せっかく計算していただいたのに、たいへん申し訳ありません。
> > ２次曲線の一般形をax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
> > 焦点を(a,0)と、aが２箇所に入ってしまったのですが、これは誤りです。
> > 焦点の座標を(p,0)に変えていただけると助かります。
> やはりねぇ〜、という感じですが、[5775]の私の解法は、原則同じです。
> 一応、修正して、再掲しておきます。
>
> まず、原点を焦点とし、軸を x 軸とする放物線の方程式を求めておきましょう。
> 放物線の定義は、いろいろありますが、一番基本的なのは、
> 放物線上の点 (x,y) と、ある直線、準線といいます、との距離が、焦点との距離に等しい曲線です。
> これを使うと、焦点を原点とし、準線を x = s として、
> sqrt(x^2 + y^2) = |x - s|
> x^2 + y^2 = (x - s)^2
> y^2 = -2s * x + s^2
> 次に、軸を回転します。これは座標軸を -θ 回転して新しい座標系からみた座標を (X,Y) とすると、
> X = cosθ * x - sinθ * y
> Y = sinθ * x + cosθ * y
> x = cosθ * X + sinθ * Y
> y = - sinθ * X + cosθ * Y
> なお、θの正負は、実は関係しないのですが、
> 一応、新しい座標軸から見て、放物線の軸がθだけ回転しているようにしました。
> そこで、
> (- sinθ * X + cosθ * Y)^2 = -2s * (cosθ * X + sinθ * Y) + s^2
> (sinθ)^2 * X^2 - 2 * sinθ * cosθ * XY + (cosθ)^2 * Y^2 + 2s * cosθ * X + 2s * sinθ * Y - s^2 = 0
> 以下の比較のために、X, Y を新たに x, y としておけば、
> (sinθ)^2 * x^2 - 2 * sinθ * cosθ * xy + (cosθ)^2 * y^2 + 2s * cosθ * x + 2s * sinθ * y - s^2 = 0
> ここまでで、放物線の軸は傾きましたが、焦点は原点のままなので、これを (p,0) にします。
> これは、x -> x - p, y -> y と平行移動すればOKです。そこで、
> (sinθ)^2 * (x - p)^2 - 2 * sinθ * cosθ * (x - p)y + (cosθ)^2 * y^2
> + 2s * cosθ * (x - p) + 2s * sinθ * y - s^2 = 0
> (sinθ)^2 * x^2 - 2 * sinθ * cosθ * xy + (cosθ)^2 * y^2
> + (- 2p * (sinθ)^2 + 2s * cosθ) * x + (2p * sinθ * cosθ + 2s * sinθ) * y
> + (p^2 * (sinθ)^2 - 2ps * cosθ - s^2) = 0
> これで、求める一般式が得られました。これが、
> a * x^2 + b * xy + c * y^2 + d * x + e * y + f = 0
> に等しければいいので、k を 0 でないとして、
> (sinθ)^2 = ka
> - 2 * sinθ * cosθ = kb
> (cosθ)^2 = kc
> - 2p * (sinθ)^2 + 2s * cosθ = kd
> 2p * sinθ * cosθ + 2s * sinθ = ke
> p^2 * (sinθ)^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
> ちなみに、k = 0 は意味がありません。
> 最初の三つの式から、
> k = 1/(a + c)
> b^2 = 4ac
> になります。
> 後者は、BossFさんが触れられている話です。ちなみに、楕円は b^2 < 4ac、双曲線は b^2 > 4ac です。
> さて、残りのスゴイ式ですが、最初の三つの式から、
> (sinθ)^2 = ka
> 2 * sinθ * cosθ = - kb
> を代入して、
> - 2kap + 2s * cosθ = kd
> - kbp + 2s * sinθ = ke
> ka * p^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
> 最初と最後の式より
> - ka * p^2 - s^2 = kf + kdp
> s^2 = - ka * p^2 - kdp - kf
> sinθの式を変形して、
> 2s * sinθ = kbp + ke
> 4 * s^2 * (sinθ)^2 = (kpb + ke)^2
> s^2 と (sinθ)^2 を消去して、
> 4 * (- ka * p^2 - kdp - kf) * (ka) = (kbp + ke)^2
> k は 0 ではないので、k^2 で割って、
> - 4a * (a * p^2 + dp + f) = (bp + e)^2
> (4 * a^2 + b^2) * p^2 + 2 * (2ad + be) * p + (4af + e^2) = 0
> ...
> と、ここまできたのですが、この後どうしたものか．．．
> b^2 = 4ac を使ってもきれいにならないし．．．
>
> 絶対、何か間違っていますね (^^;
> ご指摘をお願い致します。
詳しい解答をありがとうございます。なるほど、回転行列を使うのですね。uchinyanさんの計算を何回かたどってみましたが、計算が正しいみたいです。ウーン、答はきれいにならないのかなー？ 問題を間違えてしまい、本当にすいませんでした。これからは、気をつけて質問しようと思います。何かおかしいところがありましたら、ご指摘ください。ありがとうございました。
| [5778] Re:[5777] すいません。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/22(Sat) 21:34 | |
- > せっかく計算していただいたのに、たいへん申し訳ありません。
> ２次曲線の一般形をax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
> 焦点を(a,0)と、aが２箇所に入ってしまったのですが、これは誤りです。
> 焦点の座標を(p,0)に変えていただけると助かります。
やはりねぇ〜、という感じですが、[5775]の私の解法は、原則同じです。
一応、修正して、再掲しておきます。
まず、原点を焦点とし、軸を x 軸とする放物線の方程式を求めておきましょう。
放物線の定義は、いろいろありますが、一番基本的なのは、
放物線上の点 (x,y) と、ある直線、準線といいます、との距離が、焦点との距離に等しい曲線です。
これを使うと、焦点を原点とし、準線を x = s として、
sqrt(x^2 + y^2) = |x - s|
x^2 + y^2 = (x - s)^2
y^2 = -2s * x + s^2
次に、軸を回転します。これは座標軸を -θ 回転して新しい座標系からみた座標を (X,Y) とすると、
X = cosθ * x - sinθ * y
Y = sinθ * x + cosθ * y
x = cosθ * X + sinθ * Y
y = - sinθ * X + cosθ * Y
なお、θの正負は、実は関係しないのですが、
一応、新しい座標軸から見て、放物線の軸がθだけ回転しているようにしました。
そこで、
(- sinθ * X + cosθ * Y)^2 = -2s * (cosθ * X + sinθ * Y) + s^2
(sinθ)^2 * X^2 - 2 * sinθ * cosθ * XY + (cosθ)^2 * Y^2 + 2s * cosθ * X + 2s * sinθ * Y - s^2 = 0
以下の比較のために、X, Y を新たに x, y としておけば、
(sinθ)^2 * x^2 - 2 * sinθ * cosθ * xy + (cosθ)^2 * y^2 + 2s * cosθ * x + 2s * sinθ * y - s^2 = 0
ここまでで、放物線の軸は傾きましたが、焦点は原点のままなので、これを (p,0) にします。
これは、x -> x - p, y -> y と平行移動すればOKです。そこで、
(sinθ)^2 * (x - p)^2 - 2 * sinθ * cosθ * (x - p)y + (cosθ)^2 * y^2
+ 2s * cosθ * (x - p) + 2s * sinθ * y - s^2 = 0
(sinθ)^2 * x^2 - 2 * sinθ * cosθ * xy + (cosθ)^2 * y^2
+ (- 2p * (sinθ)^2 + 2s * cosθ) * x + (2p * sinθ * cosθ + 2s * sinθ) * y
+ (p^2 * (sinθ)^2 - 2ps * cosθ - s^2) = 0
これで、求める一般式が得られました。これが、
a * x^2 + b * xy + c * y^2 + d * x + e * y + f = 0
に等しければいいので、k を 0 でないとして、
(sinθ)^2 = ka
- 2 * sinθ * cosθ = kb
(cosθ)^2 = kc
- 2p * (sinθ)^2 + 2s * cosθ = kd
2p * sinθ * cosθ + 2s * sinθ = ke
p^2 * (sinθ)^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
ちなみに、k = 0 は意味がありません。
最初の三つの式から、
k = 1/(a + c)
b^2 = 4ac
になります。
後者は、BossFさんが触れられている話です。ちなみに、楕円は b^2 < 4ac、双曲線は b^2 > 4ac です。
さて、残りのスゴイ式ですが、最初の三つの式から、
(sinθ)^2 = ka
2 * sinθ * cosθ = - kb
を代入して、
- 2kap + 2s * cosθ = kd
- kbp + 2s * sinθ = ke
ka * p^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
最初と最後の式より
- ka * p^2 - s^2 = kf + kdp
s^2 = - ka * p^2 - kdp - kf
sinθの式を変形して、
2s * sinθ = kbp + ke
4 * s^2 * (sinθ)^2 = (kpb + ke)^2
s^2 と (sinθ)^2 を消去して、
4 * (- ka * p^2 - kdp - kf) * (ka) = (kbp + ke)^2
k は 0 ではないので、k^2 で割って、
- 4a * (a * p^2 + dp + f) = (bp + e)^2
(4 * a^2 + b^2) * p^2 + 2 * (2ad + be) * p + (4af + e^2) = 0
...
と、ここまできたのですが、この後どうしたものか．．．
b^2 = 4ac を使ってもきれいにならないし．．．
絶対、何か間違っていますね (^^;
ご指摘をお願い致します。
| [5777] すいません。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/22(Sat) 19:11 | |
- せっかく計算していただいたのに、たいへん申し訳ありません。
２次曲線の一般形をax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
焦点を(a,0)と、aが２箇所に入ってしまったのですが、これは誤りです。
焦点の座標を(p,0)に変えていただけると助かります。本当に申し訳ありませんでした。
よろしくお願いします。
| [5776] 放物線だった！ 投稿者：BossF 投稿日：2006/07/22(Sat) 18:15 | |
- 失礼 考え直して、あとでまた投稿します(^^;;
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5775] [5773] 一応考えてみましたが、全く自信なし．．． 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/22(Sat) 13:02 | |
- まず、原点を焦点とし、軸を x 軸とする放物線の方程式を求めておきましょう。
放物線の定義は、いろいろありますが、一番基本的なのは、
放物線上の点 (x,y) と、ある直線、準線といいます、との距離が、焦点との距離に等しい曲線です。
これを使うと、焦点を原点とし、準線を x = p として、
sqrt(x^2 + y^2) = |x - p|
x^2 + y^2 = (x - p)^2
y^2 = -2p * x + p^2
次に、軸を回転します。これは座標軸を -θ 回転して新しい座標系からみた座標を (X,Y) とすると、
X = cosθ * x - sinθ * y
Y = sinθ * x + cosθ * y
x = cosθ * X + sinθ * Y
y = - sinθ * X + cosθ * Y
なお、θの正負は、実は関係しないのですが、
一応、新しい座標軸から見て、放物線の軸がθだけ回転しているようにしました。
そこで、
(- sinθ * X + cosθ * Y)^2 = -2p * (cosθ * X + sinθ * Y) + p^2
(sinθ)^2 * X^2 - 2 * sinθ * cosθ * XY + (cosθ)^2 * Y^2 + 2p * cosθ * X + 2p * sinθ * Y - p^2 = 0
以下の比較のために、X, Y を新たに x, y としておけば、
(sinθ)^2 * x^2 - 2 * sinθ * cosθ * xy + (cosθ)^2 * y^2 + 2p * cosθ * x + 2p * sinθ * y - p^2 = 0
ここまでで、放物線の軸は傾きましたが、焦点は原点のままなので、これを (a,0) にします。
これは、x -> x - a, y -> y と平行移動すればOKです。そこで、
(sinθ)^2 * (x - a)^2 - 2 * sinθ * cosθ * (x - a)y + (cosθ)^2 * y^2
+ 2p * cosθ * (x - a) + 2p * sinθ * y - p^2 = 0
(sinθ)^2 * x^2 - 2 * sinθ * cosθ * xy + (cosθ)^2 * y^2
+ (- 2a * (sinθ)^2 + 2p * cosθ) * x + (2a * sinθ * cosθ + 2p * sinθ) * y
+ (a^2 * (sinθ)^2 - 2ap * cosθ - p^2) = 0
これで、求める一般式が得られました。これが、
a * x^2 + b * xy + c * y^2 + d * x + e * y + f = 0
に等しければいいので、a が同じだけどいいのですね？、k を 0 でないとして、
(sinθ)^2 = ka
- 2 * sinθ * cosθ = kb
(cosθ)^2 = kc
- 2a * (sinθ)^2 + 2p * cosθ = kd
2a * sinθ * cosθ + 2p * sinθ = ke
a^2 * (sinθ)^2 - 2ap * cosθ - p^2 = kf
ちなみに、k = 0 は意味がありません。
最初の三つの式から、
k = 1/(a + c)
b^2 = 4ac
になります。
後者は、BossFさんが触れられている話です。ちなみに、楕円は b^2 < 4ac、双曲線は b^2 > 4ac です。
さて、残りのスゴイ式ですが、最初の三つの式から、
(sinθ)^2 = ka
2 * sinθ * cosθ = - kb
を代入して、
- 2k * a^2 + 2p * cosθ = kd
- kab + 2p * sinθ = ke
k * a^3 - 2ap * cosθ - p^2 = kf
最初と最後の式より
- k * a^3 - p^2 = kf + kad
p^2 = - k * a^3 - kad - kf
sinθの式を変形して、
2p * sinθ = kab + ke
4 * p^2 * (sinθ)^2 = (kab + ke)^2
p^2 と (sinθ)^2 を消去して、
4 * (- k * a^3 - kf - kad) * (ka) = (kab + ke)^2
k は 0 ではないので、k^2 で割って、
- 4a * (a^3 + ad + f) = (ab + e)^2
4 * a^4 + 4 * a^2 * d + 4 * af + a^2 * b^2 + 2abe + e^2 = 0
...
と、ここまできたのですが、この後どうしたものか．．．
b^2 = 4ac を使ってもきれいにならないし．．．
絶対、何か間違っていますね (^^;
ご指摘をお願い致します。
| [5774] 懐かしい問題ですね 投稿者：BossF 投稿日：2006/07/22(Sat) 07:17 | |
- うろ覚えなので、間違ってるかもしれませんが確か…
F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 が楕円になるためには
b^2-4ac<0 が必要で
この時、中心(p,q)は
∂F/∂x=2ax+by+d=0 ∂F/∂y=bx+2cy+e=0
を解いて求められます。それが原点に来るように平行移動をすると
aX^2+bXY+cY^2=-F(p,q) になり
tan2θ=b/(a-c)となる角だけ回転させると新座標系(ξ,η）で標準形にできますから、その焦点が(a,o)の移った点となることが条件です
以上のような方針です、あとで実際に計算して見ますがとりあえずこれで(^^;;http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/