| [6075] おかしいんちゃう。 投稿者：小６の堤真人 投稿日：2007/01/28(Sun) 18:28 | |
- とっぷで１／２７問題集３７アップて書いてました。１／２７問題集３８アップなのでないのでしょうか？
| [6074] Re:[6073] [6072] [6071] お久しぶりです。 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/01/28(Sun) 15:16 | |
- > > えっと、たしか
> >
> > 1/a+1/b=1/f=2/R で
> >
> > これから計算すると 1/x=1/10-1/14=1/35 ∴35(cm)の所
>
>
> お返事をくださり、ありがとうございます。え？そんな公式が有るんですか？知りませんでした。もしよろしければ、その公式の導出法を教えていただけませんか？よろしくお願いします。
ZELDAさん，いよいよ佳境ですね。体調には十分気を付けてくださいね。
さて．．．
う〜ん，「凹面鏡」で何を意味するかによって問題が変わってきてしまうので，答えにくいのですが．．．
「曲率半径20[cm]の凹面鏡」とあるので，多分，球面の内部の一部を鏡とした場合を考えるのでしょう。
この場合には，正確には，BossFさんの公式は成立しないのですが，
凹面鏡の曲率半径 r が，凹面鏡の口径(というか，ざっくりいうと大きさ)よりも十分に大きい場合に，
近似的に，BossFさんの公式が成立します。
なお，通常，凹面鏡の性質として，
光軸に平行に入ってきた光は凹面鏡で反射すると光軸上の焦点という一点に集まり，
逆に，焦点から出た光は凹面鏡で反射すると光軸に平行になる
ということを仮定するので，今回もそうしておきます。
これも，正確には，凹面鏡の形状が放物面，放物線を軸を中心に回転した曲面，で成立し，球面では成立しません。
ただし，曲率半径 r が十分大きければ，近似的に，放物線で近似できるので，大丈夫と考えます。
ここらは，以下では特に証明しません。気になる場合は，ご自分でチェックしてみてください。
まず，f = r/2 を示します。
光軸を x 軸とし，光軸と凹面鏡との交点を原点 O，O で凹面鏡に接する平面内の O を通る適当な直線を y 軸とし，座標を導入します。
y 軸の取り方には任意性がありますが，対称性から，これは問題ありません。
凹面鏡は球面の内部の一部としたので，その球の xy 平面との交線は円で，その中心を C とします。
やはり対称性から C は x 軸上にあり，OC = r です。
また，焦点を F とすると，これも x 軸上にあり，OF = f です。
次に，物体の置かれた x 軸上の位置を A とし，簡単のために，物体は，高さ h の幅を無視してよい棒とします。
つまり，棒を x 軸に垂直な線分 PA とします。PA = h ですが，OA = a としておきます。
P を通って x 軸に平行な光が凹面鏡にあたる点を T とします。CT = r です。
すると，反射した光線は F を通ることと，反射の法則によって，∠CTP = ∠CTF = θ となります。
T より x 軸に下ろした垂線の足を H とすると，TH = PA = h で，
sinθ = TH/CT = h/r，tanθ = TH/CH = h/sqrt(r^2 - h^2)
f = OF = OH + HF
OH = OC - HC = r - sqrt(r^2 - h^2)
TH/HF = tan(2θ) = (2 * tanθ)/(1 - (tanθ)^2) = 2h * sqrt(r^2 - h^2)/((r^2 - h^2) - h^2)
HF = TH/tan(2θ) = h * ((r^2 - h^2) - h^2)/(2h * sqrt(r^2 - h^2)) = 1/2 * (sqrt(r^2 - h^2) - h^2/sqrt(r^2 - h^2))
f = {r - sqrt(r^2 - h^2)} + {1/2 * (sqrt(r^2 - h^2) - h^2/sqrt(r^2 - h^2))}
= r - 1/2 * sqrt(r^2 - h^2) - 1/2 * h^2/sqrt(r^2 - h^2))}
ここで，r は h に比べて非常に大きく，h/r が 1 に比べて非常に小さいとして sqrt などを近似的に展開すればいいのですが，
今は，式の形から (h/r)^2 以上の次数の項しか出てこないので，あっさりと，h を 0 と考えてもいいでしょう。
すると，
f = r - 1/2 * r = r/2
になります。
次に，公式自体です。
棒 PA の像を QB とし，B を x 軸上の点で OB = b とします。
Q は，先ほどの，P を通って x 軸に平行な光が凹面鏡にあたり反射して F を通る光線と，
P を通って凹面鏡の中心，原点 O，にあたり反射した光線との交点です。
なお，後者の光線は，明らかに，x 軸に対称になります。
ここでは，話を簡単にするために，a = OA > OF = f の場合を考えます。
図を描いてみれば分かると思いますが，
△FTH ∽ △FQB，△OPA ∽ △OQB
です。そこで，
TH：FH = QB：FB，OA：PA = OB：QB
最初の式で，
TH = h，FB = OB - OF = b - f，FH = OF - OH = f - (r - sqrt(r^2 - h^2))
ここで，FH においては，h は r よりも十分に小さいので 0 とすると，
TH = h，FB = OB - OF = b - f，FH = f
そこで，
QB = TH * FB/FH = h * (b - f)/f = h * (b/f - 1)
また，
OA = a，PA = h，OB = b
なので，二番目の式は，
OA * QB = PA * OB
a * h * (b/f - 1) = h * b
1/f - 1/b = 1/a
1/a + 1/b = 1/f = 2/r
になり，BossFさんの式が導出されます。
なお，「a = OA > OF = f の場合」を考えました。
この問題では，a = 14cm，f = r/2 = 20/2 = 10cm なので，OKです。
それ以外の場合がどうなるかは，図を描いて，公式での計算と比べて，考えてみてください。
ちょっと面白い状況になります (^^;
| [6073] Re:[6072] [6071] お久しぶりです。 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/01/28(Sun) 08:15 | |
- > えっと、たしか
>
> 1/a+1/b=1/f=2/R で
>
> これから計算すると 1/x=1/10-1/14=1/35 ∴35(cm)の所
お返事をくださり、ありがとうございます。え？そんな公式が有るんですか？知りませんでした。もしよろしければ、その公式の導出法を教えていただけませんか？よろしくお願いします。
| [6072] Re:[6071] お久しぶりです。 投稿者：BossF 投稿日：2007/01/28(Sun) 04:44 | |
- えっと、たしか
1/a+1/b=1/f=2/R で
これから計算すると 1/x=1/10-1/14=1/35 ∴35(cm)の所http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [6071] お久しぶりです。 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/01/27(Sat) 22:51 | |
- こんばんは。お久しぶりですね。やっと、センター試験も終わり、２次試験の勉強をしています。そこで、分からない問題があったので、もしよろしければ、ご教授下さい。ただ数学と言うよりも物理の問題なので、ここで質問させていただいてもよろしいのか？少々不安ですが。
問題：曲率半径20[cm]の凹面鏡の光軸上に凹面鏡の右方14[cm]の所に物体Aが置かれている。凹面鏡から何[cm]の所にAの像はできるか？
よろしくお願いします。
| [6070] 問題集の問題をUPいたしました 投稿者：ほげ 投稿日：2007/01/27(Sat) 09:17 | |
- 問題集をUPする予定の日は朝からみなさんにきていただいているようです。
このところ 毎週土曜にUPしており 順調にUPできそうですので
４月から 時間を決めてUPしようかな などと考えております。
今回の問題は 小学生も関数式の記号がわかるれば解けるかな と思いますが
関数の記号は高校で習います。それで中間の中学程度としました。
解いていただいて感想をいただけるとうれしいです。
| [6069] 個人表彰 投稿者：tomh 投稿日：2007/01/27(Sat) 01:28 | |
- 通算近いねポイントの表彰です。
清川育男殿
あなたは第8回大会第11ステージにおいて
74参加ステージ目で、通算近いねポイントを20pts.とされました。
この栄誉を称え、ここに表彰いたします。
"みっ値をさがせ!!"実行委員会
清川育男さんにはカードをお送りしました。
http://www.geocities.jp/tomh/
| [6068] 記録追加 投稿者：tomh 投稿日：2007/01/27(Sat) 00:52 | |
- 先程の発表で書き忘れていました。
第11ステージで、清川さんが通算みちく差を407としました。
74(参加)ステージ目での400突破は、tekiさんの71(参加)ステージを抜いて、
史上最も遅い達成です。
おめでとうございます。
http://www.geocities.jp/tomh/
| [6067] 残念！ 投稿者：なか 投稿日：2007/01/26(Fri) 23:13 | |
- まあ、２けたステージまでこれたからよしとしましょう。
清川さん、依然警告なしとはすごいですね。
史上初の「無警告試合」は成立するのでしょうか？http://www3.sansu.org
| [6066] みっ値をさがせ：第11ステージ 投稿者：tomh 投稿日：2007/01/26(Fri) 19:30 | |
- 再開! 再会!!
「みっ値をさがせ!!」リスタートです! (^.^)
では"みっ値"を先に見ていきましょう。
オープニング"みっ値"は…
00です!!
「昨年の暮れに DSlite を買いました 製造番号 ****3672
１年間がんばった自分へのご褒美です
買ったことを決して自慢しているわけではありませんけどね ええ 決して...
土曜の夕方入荷するところが多いという情報を聞いてクリスマス前にヨドバシへ
店員に聞いたら 入荷次第 販売するとのこと
今日は入荷しません とはいわなかったなあ と いうことで２時間待ったら
売り出し始めました。(^.^)」
えっと…自慢か… (^^;
では、生き残りの方々の数字です。
初優勝を目指すなかさんの数字は、
M005 なか 11
です。みちく差は11!
なかさん、ピンチか?!
次は、3回目の優勝なるか、清川さんの数字です。
M008 清川育男 08
を選択されました。
みちく差は8となり、これで清川さんの通過が決定しました。
ということで、なかさんとろろ＆りょりょさんの"警告1"対決です!
では注目のろろ＆りょりょさんの数字は?
M010 ろろ＆りょりょ 08
と清川さんと同じ数字で、みちく差8となりました。
ということで警告はなかさん! さすがにみちく差11ではきつかった…
近いねポイントは、清川さんとろろ＆りょりょさんです。
危ないポイントは、いませんでした。
これにより、技能賞は清川さんに決定です。
第11ステージのみちく差率は、9.000でした。
5.182 清川
5.200 ろろ＆りょりょ
5.273 なか
(6.000以下の方々)となりました。
なかさんに勝てなくなった0123210さんがランクアウトしました。
------ ここまでの成績 ------
番号 名前 警 近(ズ) 危
============================
> M001 teki 02 02(00) 01
> M005 なか 02 04(00) 01
> M006 呑 02 00(00) 02
M008 清川 00 03(00) 04
M009 ろろ 01 04(01) 02
> M013 みき 02 01(00) 01
> M014 なに 02 01(00) 01
> M019 0123 02 01(00) 00
http://www.geocities.jp/tomh/
| [6065] いつのまにか 投稿者：0123210 投稿日：2007/01/25(Thu) 00:40 | |
- 敗北ですね…
ＪＭＯ予選通過したので本選は沈没する予定です（汗http://www.geocities.jp/math_0123210/index.html
| [6064] 算チャレ3 Q247 投稿者：tomh 投稿日：2007/01/24(Wed) 17:05 | |
- 先程算チャレ3 Q247が出題されました.
今回は「オセロのゲーム盤」の問題です.
また、今夜は算チャレQ534が出題されます.
http://www.geocities.jp/tomh/
| [6063] 第8回「みっ値をさがせ!!」数字受付状況 投稿者：tomh 投稿日：2007/01/23(Tue) 22:33 | |
M008 清川育男 さん
から数字を頂きました。
予定通り、金曜日に再開です。
http://www.geocities.jp/tomh/
| [6062] 引っかかってますね 投稿者：ほげ 投稿日：2007/01/20(Sat) 11:07 | |
- 問題作成者としてはうれしい限りです(~_~)
| [6061] えーと 投稿者：BossF 投稿日：2007/01/20(Sat) 10:28 | |
- 問題集の掲示板に気が付いたこと書き込んでおきました
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [6060] 問題訂正 投稿者：ほげ 投稿日：2007/01/20(Sat) 10:00 | |
- 正の整数と 訂正いたします
指摘ありがとうございます
| [6059] 素朴な疑問…誰か教えて 投稿者：BossF 投稿日：2007/01/20(Sat) 09:47 | |
- -1のような数は、一桁の整数といわないんでしょうか？
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [6058] 問題集に 投稿者：ほげ 投稿日：2007/01/20(Sat) 08:53 | |
- 問題をUPしました。
感想をいただけるとうれしいです
前回の問題は少々不評でした(*^_^*)
| [6057] もう受験の最中でしょうね 投稿者：ほげ 投稿日：2007/01/20(Sat) 08:40 | |
- がんばってくださいね
| [6056] あ〜〜〜〜 投稿者：小６の堤真人 投稿日：2007/01/19(Fri) 21:10 | |
- あと24時間で入試だ〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜