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[6157] cosα+cosβ+cosγ の最大値は？ 投稿者：スモークマン 投稿日：2007/03/03(Sat) 19:04

図形的には、(OA+OB+OC)^2 の最大は、限りなく 3^2 に近づきますよね？
だから、cosα+cosβ+cosγ　の最大値は、3 に限りなく近づきますね！？
3*cos0=3 に合致しますね〜 (^^)v
AB^2+BC^2+CA^2＝6-2*（cosα+cosβ+cosγ）　からしても、とうぜんですね。
限りなく1点に収束するので、AB^2+BC^2+CA^2＝0 に近づくのって当たり前ですものね (^^;

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[6156] 勉強になります。Orz〜 投稿者：スモークマン 投稿日：2007/03/03(Sat) 18:38

はたからしか見れない力量不足のわたしですが、、、
きれいな問題にはきれいな解法があるんですね。
ベクトル計算を考えた最初の人は偉いですよねえ (^^)v
お二人のを併せると、
-2（cosα+cosβ+cosγ）= -2(OA・OB + OB・OC + OC・OA) = 3 - (OA + OB + OC)^2
から、cosα+cosβ+cosγ の最小値は、3cos2π/3=-3/2 （正三角形の時）なんですね！

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[6155] ありがとうございます。 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/03/03(Sat) 15:19

　uchinyanさん、ベクトルでの解法ありがとうございます。きれいな解答ですね。なるほど、ベクトルを使う方法もあったのですね、全然思いつきませんでした。問題をみた瞬間、三角比か座標を使おうと思ってしまいました。図形問題を解くにはベクトルという便利な道具もあるんですよね。肝に銘じておきます。それと『予選決勝法』とは『偏微分』のことです。大学受験業界（高校も含めて）では、このように呼ばれています。

ダンディ海野さん、uchinyanさん、御解答ありがとうございました。これからもよろしくお願いします。

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[6154] こんにちは　 投稿者：ほげ 投稿日：2007/03/03(Sat) 14:29

ベクトルの方法はきれいですね。私はcosで解きました。

以前連絡いたしましたが本日は問題のUPはいたしません。
５日には算数　数学　投稿の問題をUPする予定です。
夜9時にUP予定です。

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[6153] Re:[6152] [6151] [6149] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/03/03(Sat) 13:28

ZELDAさんへ
> ダンディ海野さん、ご返信ありがとうございます。返信が遅くなってしまいすいませんでした。
>
ダンディ海野さんの解法で完璧ですが，こんな解法もあります。ベクトルを使います。
掲示板ではベクトルはうまく書けないので，以下では特に断らない限り，
AB などはベクトル，・は内積，とします。

> 問題：半径１の円に内接する三角形ABCに対して、AB^2+BC^2+CA^2≦9を示しなさい。

円の中心を O とします。
AB^2 = AB・AB = (OB - OA)・(OB - OA) = OA・OA + OB・OB - 2 * OA・OB = 2 - 2 * OA・OB
BC^2 = 2 - 2 * OB・OC
CA^2 = 2 - 2 * OC・OA
なので，
AB^2 + BC^2 + CA^2 = 6 - 2 * (OA・OB + OB・OC + OC・OA)
ここで，
(OA + OB + OC)^2 = (OA + OB + OC)・(OA + OB + OC) = 3 + 2 * (OA・OB + OB・OC + OC・OA)
- 2 * (OA・OB + OB・OC + OC・OA) = 3 - (OA + OB + OC)^2
なので，
AB^2 + BC^2 + CA^2 = 9 - (OA + OB + OC)^2 <= 9
ただし等号は OA + OB + OC = 0ベクトル ですが，これは，△ABC が正三角形のときに可能です。

確か，2006年の京大後期理系の４に類題があります。あちらの方が難しいかな。

なお，
> 『予選決勝法』という奥の手を使ってしまったので、納得できません。
『予選決勝法』って何ですか？

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[6152] Re:[6151] [6149] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/03/03(Sat) 09:28

ダンディ海野さん、ご返信ありがとうございます。返信が遅くなってしまいすいませんでした。

cosα+cosβ+cosγ＝2*cos((α+β)/2)*cos((α-β)/2)+2*(cos((α+β)/2))^2-1
　　　　　　　　　　　　　　　　cos((α+β)/2)＝ｔ　とおくと
　　＝2*t^2-2*t*cos((α-β)/2)-1

この部分、みごとですね。cos((α+β)/2)を２次関数の変数と見なし、cos((α-β)/2)を定数のように考えたんですね。私の解法よりもはるかに短いですし、simpleです。私もこんなすばらしい解答が書けるようになりたいです。ありがとうございました。それと今日以前のレンズの問題を見返していたら、ダンディ海野さんも解答を下さっていたんですね。返信もせずに、本当に申し訳有りませんでした。これからもよろしくお願いします。

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[6151] Re:[6149] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/03/02(Fri) 23:16

他によい方法はないものでしょうか？
> 問題：半径１の円に内接する三角形ABCに対して、AB^2+BC^2+CA^2≦9を示しなさい。
> よろしくお願いします。

円の中心をO、角AOB=α　、角BOC=β、角COA＝γ　とおくと余弦定理より
AB^2＝AO^2+BO＾2-2*AO*BO*cosα＝2-2*cosα　　　おなじく
BC^2＝2-2*cosβ CA^2=2-2*cosγ
よって　AB^2+BC^2+CA^2＝6-2*（cosα+cosβ+cosγ）・・・（1）
cosγ=cos（2π-(α+β))=cos(α+β)=2*(cos((α+β)/2))^2-1 公式より
cosα+cosβ+cosγ＝2*cos((α+β)/2)*cos((α-β)/2)+2*(cos((α+β)/2))^2-1
　　　　　　　　　　　　　　　　cos((α+β)/2)＝ｔ　とおくと
　　＝2*t^2-2*t*cos((α-β)/2)-1
=2*(t-cos((α-β)/2)/2)^2ー（1/2）*(cos((α-β)/2))^2-1
>=-（1/2）*(cos((α-β)/2))^2-1 ...cos((α-β)/2))^2 ＜=1 より
>=-1/2-1=-3/2
これを（1）式にほうりこむと
　　AB^2+BC^2+CA^2＜＝6-2*（-3/2）＝9
これでどうでしょうか？

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[6150] Re:[6148] [6147] 分かったような・・・。 投稿者：小６の堤真人 投稿日：2007/03/02(Fri) 22:30

> 　すいませんでした。私、答えしか書いていませんでしたね。私は次のように答えを出しました。まずは、正方形ABCDと名前を付ける。そして、線分AB,CDの中点をそれぞれM,Nとする。
> ４分円の交点のうち線分MN上にあり、Mに近い方をPとする。
> すると、PC=PD=CD=10より,三角形PCDは正三角形である。すると、扇形ADPの中心角は30°になる。すると、
> (求めるべき面積の1/8の面積) = (長方形ADNM) - (三角形PDN) - (扇形ADP)
> であることから、後は計算すれば、求めるべき面積が与えられる。



ZELDAさん素晴らしい解説有り難う御座いました整理しますと・・・。
｛５０‐(12.5√3+25/3π)｝×８＝４００-(100√3+200/3π)≒17.5
スモークマンさんとほぼ同じですね　有り難う御座います。

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[6149] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/03/02(Fri) 17:19

　こんにちは、ZELDAです。前期試験が終わり後期試験に向けて勉強しているところです。合格発表があるまでは、不安が募るばかりですが、今は数学と英語と物理を勉強しています。数学で上手く解けない問題がありましたので、もしよろしければご指導下さい。自分なり解くことはできたのですが、『予選決勝法』という奥の手を使ってしまったので、納得できません。他によい方法はないものでしょうか？

問題：半径１の円に内接する三角形ABCに対して、AB^2+BC^2+CA^2≦9を示しなさい。

よろしくお願いします。

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[6148] Re:[6147] 分かったような・・・。 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/03/02(Fri) 17:10

　すいませんでした。私、答えしか書いていませんでしたね。私は次のように答えを出しました。まずは、正方形ABCDと名前を付ける。そして、線分AB,CDの中点をそれぞれM,Nとする。
４分円の交点のうち線分MN上にあり、Mに近い方をPとする。
すると、PC=PD=CD=10より,三角形PCDは正三角形である。すると、扇形ADPの中心角は30°になる。すると、
(求めるべき面積の1/8の面積) = (長方形ADNM) - (三角形PDN) - (扇形ADP)
であることから、後は計算すれば、求めるべき面積が与えられる。

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[6147] 分かったような・・・。 投稿者：小６の堤真人 投稿日：2007/03/02(Fri) 16:38

　つまり、皆さんの有難い解法を整理して解くと・・・・。予想ですが、
正三角形の面積は２５√３cm2で、扇形の面積は５０／３π　cm2　でそれを１００cm2から引く・・・。100-(２５√3＋50/3π)＝解答不能・・・。誰か教えて・・。;^^)
　その問題は我が６年２組総出(？)で問題を解いています先生も解いています・・・
;^^)

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[6146] お知らせ 投稿者：ほげ 投稿日：2007/03/02(Fri) 09:33

今週の問題集のUPはありません
３月５日には投稿問題（私には難しい）　算数問題　数学問題をUPする予定です。
時間はまたあとで連絡いたします。

「分からない問題」　は結構有名な形の問題ですよね。私もどこかで解いたような
覚えがあります。

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[6145] Re:[6134] 分からない問題 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/03/01(Thu) 18:14

> あの〜分からない問題がありましたので教えてください。
> 一辺１０ｃｍの正方形ＡＢＣＤに各頂点を中心とする半径１０ｃｍの四分円を４つ作ります。　そこで何も重なっていない所の面積を求めなさいと言う問題を友達のお兄さんから出されました。しかしその子は√は出ないよといっていました。誰か教えてくださいｍ（＿　＿）ｍ

遅ればせながら私も考えてみましたが，皆さんと同じで，√が残ってしまうと思います。
友達のお兄さんの勘違いかな？　それとも，問題を聞き違えたのかな？　または，近似値だったとか？

なお，「*」は掛け算の意味ですが，プログラムを習うようになると使います。
ちなみに，足し算，引き算は「+」，「-」で変わりませんが，割り算は「/」を使います。

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[6144] Re:[6138] [6135] [6134] 分からない問題・・・わたしも考えてみました(^^) 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/03/01(Thu) 16:35

>
> 4((√3/4-π/12)-(2*(√3/4-π/12)-(1-π/4)))*a^2=4*(1-√3-π/6)*a^2
> ZELDAさんと微妙に違うようです(^^; 計算間違いしてたらごめんなさい。

4((√3/4-π/12)-(2*(√3/4-π/12)-(1-π/4)))*a^2　の式はただしと思います。
（　）のなかの√3の項の計算ですが　√3/4-2*√3/4＝-√3/4　となり
右辺は　4*(1-√3/4-π/6)*a^2　ですね。これだとZELDAさんの値と一致しますね。
　
いろいろな解法があるでしょうが teki さんの方法がすっきりしていていいですね〜

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[6143] Re:[6138] [6135] [6134] 分からない問題・・・わたしも考えてみました(^^) 投稿者：なか 投稿日：2007/02/28(Wed) 23:58

> 計算間違いしてたらごめんなさい。Orz〜

計算は ZELDAさんのほうが合っているようです。
スモークマンさんお確かめをお願いします。

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[6142] Re:[6140] [6139] 問題について 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/02/28(Wed) 22:44

> > 僕は自慢かもしれませんが√は大体使えますので√をバンバン出してください；^^)
> 　　＊って何ですか何を意味するんですか？う〜ん数学って難しいんですね;^^)
>
> あー、なるほどそのマークはですね。かけ算を意味します。私も下に答えを書きましたが、計算力にはあまり自信がありません。間違っていたら、すいません。

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[6141] 算チャレ3 Q252 投稿者：tomh 投稿日：2007/02/28(Wed) 17:03

先程算チャレ3 Q252が出題されました.
今回は「四角形の面積」の問題です.
寒さに負けずに解きましょう. (^o^)

また、今夜は算チャレQ539が出題されます.
3月最初の出題で〜す. (^.^)

http://www.geocities.jp/tomh/

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[6140] Re:[6139] 問題について 投稿者：小６の堤真人 投稿日：2007/02/28(Wed) 16:51

> 僕は自慢かもしれませんが√は大体使えますので√をバンバン出してください；^^)
　　＊って何ですか何を意味するんですか？う〜ん数学って難しいんですね;^^)

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[6139] 問題について 投稿者：小６の堤真人 投稿日：2007/02/28(Wed) 15:43

僕は自慢かもしれませんが√は大体使えますので√をバンバン出してください；^^)

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[6138] Re:[6135] [6134] 分からない問題・・・わたしも考えてみました(^^) 投稿者：スモークマン 投稿日：2007/02/28(Wed) 02:35

1辺をa とすると、π*a^2/6-√3*(a^2/4) を π*a^2/12 から引いたものが、銀杏の葉っぱみたいなところになり、その重なりは、a^2-π*a^2/4 を銀杏の葉っぱ2枚から引いたもの。それを銀杏の葉っぱから引いたものの4倍が求めるもの。いずれにしろ√3 がでますね。ちなみに、計算すると、
4((√3/4-π/12)-(2*(√3/4-π/12)-(1-π/4)))*a^2=4*(1-√3-π/6)*a^2
4*10^2*(1-√3-π/6)≒17.6 cm^2 になりました。。。
ZELDAさんと微妙に違うようです(^^; 計算間違いしてたらごめんなさい。Orz〜

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