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[5847] 次に１問目　Re:[5843] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/04(Mon) 16:05

> １問目は次の問題です。
> x^3-3x+1=0 を解けという問題なのですが、３次方程式の解法を用いれば解けるのですが、
> 普通の高校生がそれを知っているとは思えません。他の解法があるのでしょうか？
f(x) = x^3 - 3x + 1 とおくと、
f(-2) = -1 < 0, f(-1) = 3 > 0, f(0) = 1 > 0, f(1) = -1 < 0, f(2) = 3 > 0 なので、
三つの解はいずれも実数ですね。どうやるのかなぁ．．．

カルダノの方法まがいですが、こんな考え方はありますね。
因数分解の公式、
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
= (x + y + z)(x + ω * y + ω^2 * z)(x + ω^2 * y + ω * z)
を使います。
これと、x^3 - 3x + 1 = 0 を比較すると、
y^3 + z^3 = 1
yz = 1
となる y, z が見つかれば、
x = - y - z, - ω * y - ω^2 * z, - ω^2 * y - ω * z
とかけますね。
y^3 + z^3 = 1
yz = 1
ならば、
y^3 + z^3 = 1
y^3 * z^3 = 1
なので、y^^3, z^3 は、
t^2 - t + 1 = 0
の解になります。つまり、
t = 1/2 * (1 + i * sqrt(3)), 1/2 * (1 - i * sqrt(3))
が、y^3, z^3 です。
1/2 * (1 + i * sqrt(3)) = cos(π/3) + i * sin(π/3)
1/2 * (1 - i * sqrt(3)) = cos(π/3) - i * sin(π/3)
なので、
y = cos(π/9) + i * sin(π/9)
z = cos(π/9) - i * sin(π/9)
とおけます。これ以外も可能なのですが、実は、同じ結果を与えます。
一方で
ω = 1/2 * (- 1 + i * sqrt(3)) = cos(2π/3) + i * sin(2π/3)
ω^2 = 1/2 * (- 1 - i * sqrt(3)) = cos(2π/3) - i * sin(2π/3)
なので、これらを代入して計算すると、
x = - 2 * cos(π/9), - 2 * cos(7π/9), - 2 * cos(5π/9)
になります。

BossFさんの[5845]の
> 計算してみたら　x=2cos(2π/9),2cos(4π/9),2cos(8π/9)　になったから(怪しいけど)
は、cos(π-θ) = - cosθ の公式を使えば、
2 * cos(2π/9) = 2 * cos(π - 7π/9) = - 2 * cos(7π/9)
2 * cos(4π/9) = 2 * cos(π - 5π/9) = - 2 * cos(5π/9)
2 * cos(8π/9) = 2 * cos(π - π/9) = - 2 * cos(π/9)
で、一致しています。

> たぶん置換して３倍角の公式を用いるんですね、
ふーむ、再考してみます。

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[5846] 私もまずは2問目　Re:[5843] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/04(Mon) 14:58

> ２問目は次の問題です。
> a,bを自然数とするとき、a^3+b^3が素数の整数乗になる(a,b) を求めよ。
>
a, b は自然数なので a, b >= 1 です。
そこで、今、p を素数、n >= 1 の整数として、a^3 + b^3 = p^n とかけます。

まず、a と b が互いに素でない場合を考えます。
このときは、1 でない最大公約数 g があり、a = gc, b = gd, c, d は互いに素、なので、
a^3 + b^3 = g^3 * (c^3 + d^3) = p^n となり、n >= 3 で、g = p^m, n > m >= 1 であって、
c^3 + d^3 = p^(n-m) となり、c, d が互いに素な場合の解 c, d, p に対して、
a = p^m * c, b = p^m * d として、解を構成できます。
したがって、a, b が互いに素な場合を考えれば十分です。

そこで、a, b が互いに素な場合です。
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = p^n
なので、n >= k >= 1 として、
a + b = p^k
a^2 - ab + b^2 = p^(n-k)
とかけます。そこで、
a^2 + 2ab + b^2 = p^(2k)
3ab = p^(2k) - p^(n-k)
ここで、2k <= n-k, 3k <= n とすると、
3ab = p^(2k) * (1 - p^(n-3k)) <= 0
で、NGです。
そこで、2k > n-k, 3k > n >= k >= 1 で、
3ab = p^(n-k) * (p^(3k-n) - 1)
* n = k の場合
a^2 - ab + b^2 = p^(n-k) = 1
(a - b)^2 = 1 - ab >= 0
より
a = b = 1
p^n = a + b = 2
p = 2, n = 1
になります。
* n > k, n - k > 0 の場合
3ab = p^(n-k) * (p^(3k-n) - 1)
もし、a が p を約数にもつと、a + b = p^k より、b も p を約数にもつことになり、
a, b が互いに素、としていたことに矛盾します。b に関しても同様です。
そこで、p = 3 になり、n-k = 1, n = k + 1 でなければなりません。これから、
a + b = 3^k
ab = 3^(2k-1) - 1
これより、a, b は
t^2 - 3^k * t + (3^(2k-1) - 1) = 0
の解です。a, b は自然数なので、
判別式 = 3^(2k) - 4 * 1 * (3^(2k-1) - 1) = 4 - 3^(2k-1) >= 0
から、k = 1 になります。このとき、
a + b = 3
ab = 2
なので、a = 2, b = 1 or a = 1, b = 2 です。
結局、a, b が互いに素の場合は、
(a,b,p) = (1,1,2), (2,1,3), (1,2,3)
です。

結局、a, b が互いに素でない場合も考慮してまとめると、n >= 0 として、
(a,b,p) = (2^n, 2^n, 2), (2 * 3^n, 3^n, 3), (3^n, 2 * 3^n, 3)
になるようです。
要するに、
(2^n)^3 + (2^n)^3 = 2^(3n+1)
(2 * 3^n)^3 + (3^n)^3 = 3^(3n+2) = (3^n)^3 + (2 * 3^n)^3
ですね。

ホントかな (^^;

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[5845] １問目 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/04(Mon) 12:52

計算してみたら　x=2cos(2π/9),2cos(4π/9),2cos(8π/9)　になったから(怪しいけど)

たぶん置換して３倍角の公式を用いるんですね、なんかあったけど忘れてるし、(^^;;

そうそう、同じの現役のころやった（公式で解いた)ことを思い出しました

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

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[5844] ２問目はぱっと見てできそうなので 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/04(Mon) 12:34

[略解]
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
=(a+b){(a+b)^2-3ab}

よって、題意を満たすためには
　　a+b=p^m , a^2-ab+b^2=p^n (p;prime)

　　n≧mだから　3ab/(a+b) は整数

すると、a,b＜a+b だから　a+b=3　以下略

１問目は、解の公式を使えばいいと思うと考える気がしなくて…ちょっと待っててください

末尾ながら　ホゲさんご自愛を！

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

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[5843] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/09/03(Sun) 18:41

こんばんは。また、解けない問題がありまして、困っています。もし、よろしければ今回もお願いします。自分ながら非常に図々しいと思うのですが、今回は２問ほどお願いしたいのです。どうかよろしくお願いします。

１問目は次の問題です。
x^3-3x+1=0 を解けという問題なのですが、３次方程式の解法を用いれば解けるのですが、普通の高校生がそれを知っているとは思えません。他の解法があるのでしょうか？

２問目は次の問題です。
a,bを自然数とするとき、a^3+b^3が素数の整数乗になる(a,b) を求めよ。

よろしくお願いします。
　
ほげさん、いつもここで質問をさせていただいてとても助かっています。ありがとうございます。あまり無理をなさらないでください。受験勉強をしながら、次回の問題を楽しみに待っております。

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[5842] Re:[5841] 重要連絡 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/03(Sun) 12:44

> 事情により今月の問題をUPできません。来月UPの予定です。
>
おやおや、そうですか．．．

> また問題集UPも当分できません。２週間くらいたったら　UP出来るようになると思います。
>
> 楽しみになさっている方もいらっしゃると思いますが、急な用事が出来ました。
> ごめんなさい
> また再開できたらそのときはよろしくお願いします。m(__)m
残念ですが、再開を楽しみにしております ^^/

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[5841] 重要連絡 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/03(Sun) 12:07

事情により今月の問題をUPできません。来月UPの予定です。

また問題集UPも当分できません。２週間くらいたったら　UP出来るようになると思います。

楽しみになさっている方もいらっしゃると思いますが、急な用事が出来ました。
ごめんなさい
また再開できたらそのときはよろしくお願いします。m(__)m

---

[5840] Re:[5838] [5834] ちょっとしたことだけど… 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/02(Sat) 23:18

> > > (A,B は整数で、Cは平方数でない実数）
> >
> > "実数"ではなくて、"自然数"ですね.
> > でないと、A(n)やB(n)が整数ではなくなりますからね.
> >
> あ、しまった。もう一度計算し直したら、たしかに　tomhさんのおっしゃる通りですね。
単なるうっかりミスだと思っていました ^^

> 間違いを見つけていただきありがとうございました。私ずいぶんと何度を間違いを書いてしまって、すいません。気をつけているのですが、なかなか直らないみたいです。できる限り気をつけます。間違いを見つけてくださった方、これからもお声をかけてください。よろしくお願いします。

私もしょっちゅうミスをしています (^^;
こうした議論の場では、お互いにチェックし合っていけばいいので、まぁ、あまり気になさらなくても。
ただ、試験となるとそうもいかないので、要注意ですね。

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[5839] Re:[5837] ただいま〜 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/02(Sat) 23:09

> 帰宅しましたが　また明日も6時から日帰り出張です
>
> ぼろぼろになっているので　今週の問題集の　UPは中止にします。
お帰りなさい。お忙しいようで、大変ですね。
問題集の件、了解です。

> このところ　ミスも多いので　気力　体力　の充実した時にUPします。
> ごめんなさい
>
9/5の定期的な出題の方は大丈夫でしょうか。

いずれにせよ、あまり無理をなさらないように。

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[5838] Re:[5834] ちょっとしたことだけど… 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/09/02(Sat) 22:37

> > (A,B は整数で、Cは平方数でない実数）
>
> "実数"ではなくて、"自然数"ですね.
> でないと、A(n)やB(n)が整数ではなくなりますからね.
>
あ、しまった。もう一度計算し直したら、たしかに　tomhさんのおっしゃる通りですね。
間違いを見つけていただきありがとうございました。私ずいぶんと何度を間違いを書いてしまって、すいません。気をつけているのですが、なかなか直らないみたいです。できる限り気をつけます。間違いを見つけてくださった方、これからもお声をかけてください。よろしくお願いします。

---

[5837] ただいま〜 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/02(Sat) 22:29

帰宅しましたが　また明日も6時から日帰り出張です

ぼろぼろになっているので　今週の問題集の　UPは中止にします。
このところ　ミスも多いので　気力　体力　の充実した時にUPします。
ごめんなさい

では　おやすみなさい

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[5836] う〜む 投稿者：teki 投稿日：2006/09/01(Fri) 21:49

86時っていつなのでしょうか？

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[5835] 問題UPについて 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/01(Fri) 21:45

本日まで　出張でした

明日は86時から日帰り出張なので　帰ってきてから元気があったら
問題をUPします
今日はとりあえずとてもつかれているので　寝ます

おやすみなさい

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[5834] ちょっとしたことだけど… 投稿者：tomh 投稿日：2006/09/01(Fri) 18:50

> (A,B は整数で、Cは平方数でない実数）

"実数"ではなくて、"自然数"ですね.
でないと、A(n)やB(n)が整数ではなくなりますからね.

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5833] Re:[5832] 無題 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/01(Fri) 18:35

ちょっと見ない間に、結構盛り上がっていますね。

> [ 5831 ]の証明は以下のようにしました。
>
．．．
> （あ）、（い）、より
> lim[n→∞]sin[ 2pi*{A+B*sqrt(C)}^n ]=0
> したがって、
> A+B*sqrt(C)
> は整数値に近づいてゆく。
>
> こんな証明でよいのでしょうか？
いいと思いますが、ほげさんが[5824]で示されているのを素直になぞってみてもいいでしょう。

なお、どこまで一般化できるかに関しては、
＞|A-B*sqrt(C)|< 1
ならば、確かにそうですね。

ちょっと見方を変えると、こんな考察もできます。
(以下、少しあいまいな箇所があったので、修正しました。)

lim[n→∞]sin[2pi * α^n] = 0 となる α はどんな値なのでしょうか？

まず明らかに、α が整数や、α の絶対値が 1 より小さければいえますね。
でも、これは面白くありません。

そこで、議論になっている α^n + β^n = 整数 の場合を考えます。
β が整数の場合は、α^n が整数になって、α が整数の場合に帰着します。
|β| < 1 ならば、n -> ∞ で β^n -> 0, α^n -> 整数で、lim[n→∞]sin[2pi * α^n] = 0 です。
これでも必要十分ではないのですが、
取り敢えず、α^n + β^n = 整数 かつ |β| < 1 の場合を考えてみます。
ただし、α = β の場合は、|α| < 1 に帰着し面白くないので、除くことにします。
実際、以下の議論を見る限りでは、α = β = 0 になってしまうようです。

α^n + β^n = 整数 より、n = 1 で、α + β = 整数 です。
すると、n = 2 で、整数 = α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ = 整数 - 2αβ で、αβ = 整数/2 です。
一方で、α^n + β^n = (α + β)(α^(n-1) + β^(n-1)) - αβ(α^(n-2) + β^(n-2)) なので、
α + β = 整数 かつ αβ = 整数 ならば、数学的帰納法で、α^n + β^n = 整数 になります。
しかし、α + β = 整数 かつ αβ = 奇数/2 のときは、 α^2 + β^2 は整数になりますが、
α^3 + β^3 が整数になるには α + β = 偶数 が必要で、α^2 + β^2 が奇数になり、
α^4 + β^4 が整数になりません。
つまり、α^n + β^n = 整数 という仮定の下では、α + β = 整数 かつ αβ = 整数 が必要十分です。
そこで、α + β = 整数 = a かつ αβ = 整数 = b としてみます。
すると、α、β は、x^2 - a * x + b = 0 の解です。
ここで、|β| < 1 を追加します。
α、β の出現の仕方は対称なので、
x^2 - a * x + b = 0 に少なくとも一つ絶対値が 1 よりも小さい解があることが必要十分です。
今は、sin の引数を考えているので、α、β は、実数としていいでしょう。
ただし、前提として α ≠ β としていたので、a^2 - 4b > 0 が必要です。
さて、少なくとも一つ絶対値が 1 よりも小さい解があるのは、f(x) = x^2 - a * x + b として、
a/2 <= -1 and f(-1) < 0 and f(1) > 0
-1 < a/2 < 1 and (f(-1) > 0 or f(1) > 0)
1 <= a/2 and f(-1) > 0 and f(1) < 0
です。つまり、
a <= -2 and a + b + 1 < 0 and a - b - 1 < 0
-2 < a < 2 and (a + b + 1 > 0 or a - b - 1 < 0)
2 <= a and a + b + 1 > 0 and a - b - 1 > 0
ただし、a^2 - 4b > 0 で、a, b は整数、です。
計算があっていればですが．．．ちょっと自信なし (^^;
このときの絶対値が 1 よりも小さい解を β とし、それ以外を α とすれば、
lim[n→∞]sin[2pi * α^n] = 0 がいえます。
なお、二つとも絶対値が 1 よりも小さい場合には、どちらを選んでもOKです。
ちなみに、α = 1 + sqrt(2) の場合は、a = -2, b = -1 です。

α が整数の場合、|α| < 1 の場合、
そして α^n + β^n = 整数 かつ |β| < 1 の場合を考えてみましたが、
これら以外のより一般的な場合は、難しそうです。
なお、単に、n -> ∞ で α^n -> 整数 となるのはどんな場合なのか、とすると、
複素数も検討する必要があるかもしれない、と一度は思ったのですが、
どうやら、複素数の場合の偏角は n 乗しても整数になることに寄与しないので、
実数の範囲で考えれば十分なようです。

ちょっと気になる．．．けど、難しそう．．．

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[5832] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/30(Wed) 18:40

[ 5831 ]の証明は以下のようにしました。

まずは、数学的帰納法により次のことを証明します。ここでは、面倒なので省略します。
[A+Bsqrt*(C)]^n =A(n)+B(n)*sqrt(C)
[A-Bsqrt*(C)]^n =A(n)-B(n)*sqrt(C) (A(n),B(n)は整数）

|A-B*sqrt(C)|< 1であるから、
lim[n→∞]sin[ 2pi*{A-B*sqrt(C)}^n ]=0 ・・・（あ）

lim[n→∞]sin[ 2pi*{A+B*sqrt(C)}^n ] + sin[ 2pi*{A-B*sqrt(C)}^n ]
=lim[n→∞]sin[ 2pi*{A(n)+B(n)*sqrt(C)} ] + sin[ 2pi*{A(n)-B(n)*sqrt(C)} ]
=lim[n→∞]2sin[2pi*A(n)]cos[2piB(n)*sqrt(C)]
=0・・・（い）

（あ）、（い）、より
lim[n→∞]sin[ 2pi*{A+B*sqrt(C)}^n ]=0
したがって、
A+B*sqrt(C)
は整数値に近づいてゆく。

こんな証明でよいのでしょうか？

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[5831] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/30(Wed) 17:36

こんにちは。私も自分なりに考えてみました。私はとりあえず次のことまでは証明することができました。
(A,B は整数で、Cは平方数でない実数）
|A-B*sqrt(C)|< 1
ならば
[A+B*sqrt(C)]^n は整数値に近づきます。

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[5830] 算チャレ3 Q228 投稿者：tomh 投稿日：2006/08/30(Wed) 17:06

先程算チャレ3 Q228が出題されました。
今回は「(ジュースの)割合」の問題です。
夏の疲れを吹き飛ばすように解きましょう!? (^^;

また、今夜は算チャレQ515が出題されます。
夏の終わりの算数も乙なもので…? (^^?

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5829] Re:[5828] 成り立たないと思います 投稿者：BossF 投稿日：2006/08/30(Wed) 16:29

> α^n + β^n ≡整数というのが　あやしいような気がします。
ですね　p+qが「偶数乗で整数になる」ことが必要でしたね、(^^;;

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

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[5828] 成り立たないと思います 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/30(Wed) 14:40

p+(p+q) に対し β=p-(p+q) とおけば
α^n + β^n ≡整数というのが　あやしいような気がします。
n=2の時にっすでに破綻しています

1+sqrt(2)のときは　(1+sqrt(2))^n=a(n)+b(n)*sqrt(2)　　a(n)　b(n)は有理数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とおくと
(1-sqrt(2))^n=a(n)-b(n)*sqrt(2)　　となるので　和が整数になることが証明できます。
(証明は数学的帰納法でやります）

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