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[5840] Re:[5838] [5834] ちょっとしたことだけど… 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/02(Sat) 23:18

> > > (A,B は整数で、Cは平方数でない実数）
> >
> > "実数"ではなくて、"自然数"ですね.
> > でないと、A(n)やB(n)が整数ではなくなりますからね.
> >
> あ、しまった。もう一度計算し直したら、たしかに　tomhさんのおっしゃる通りですね。
単なるうっかりミスだと思っていました ^^

> 間違いを見つけていただきありがとうございました。私ずいぶんと何度を間違いを書いてしまって、すいません。気をつけているのですが、なかなか直らないみたいです。できる限り気をつけます。間違いを見つけてくださった方、これからもお声をかけてください。よろしくお願いします。

私もしょっちゅうミスをしています (^^;
こうした議論の場では、お互いにチェックし合っていけばいいので、まぁ、あまり気になさらなくても。
ただ、試験となるとそうもいかないので、要注意ですね。

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[5839] Re:[5837] ただいま〜 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/02(Sat) 23:09

> 帰宅しましたが　また明日も6時から日帰り出張です
>
> ぼろぼろになっているので　今週の問題集の　UPは中止にします。
お帰りなさい。お忙しいようで、大変ですね。
問題集の件、了解です。

> このところ　ミスも多いので　気力　体力　の充実した時にUPします。
> ごめんなさい
>
9/5の定期的な出題の方は大丈夫でしょうか。

いずれにせよ、あまり無理をなさらないように。

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[5838] Re:[5834] ちょっとしたことだけど… 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/09/02(Sat) 22:37

> > (A,B は整数で、Cは平方数でない実数）
>
> "実数"ではなくて、"自然数"ですね.
> でないと、A(n)やB(n)が整数ではなくなりますからね.
>
あ、しまった。もう一度計算し直したら、たしかに　tomhさんのおっしゃる通りですね。
間違いを見つけていただきありがとうございました。私ずいぶんと何度を間違いを書いてしまって、すいません。気をつけているのですが、なかなか直らないみたいです。できる限り気をつけます。間違いを見つけてくださった方、これからもお声をかけてください。よろしくお願いします。

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[5837] ただいま〜 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/02(Sat) 22:29

帰宅しましたが　また明日も6時から日帰り出張です

ぼろぼろになっているので　今週の問題集の　UPは中止にします。
このところ　ミスも多いので　気力　体力　の充実した時にUPします。
ごめんなさい

では　おやすみなさい

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[5836] う〜む 投稿者：teki 投稿日：2006/09/01(Fri) 21:49

86時っていつなのでしょうか？

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[5835] 問題UPについて 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/01(Fri) 21:45

本日まで　出張でした

明日は86時から日帰り出張なので　帰ってきてから元気があったら
問題をUPします
今日はとりあえずとてもつかれているので　寝ます

おやすみなさい

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[5834] ちょっとしたことだけど… 投稿者：tomh 投稿日：2006/09/01(Fri) 18:50

> (A,B は整数で、Cは平方数でない実数）

"実数"ではなくて、"自然数"ですね.
でないと、A(n)やB(n)が整数ではなくなりますからね.

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5833] Re:[5832] 無題 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/01(Fri) 18:35

ちょっと見ない間に、結構盛り上がっていますね。

> [ 5831 ]の証明は以下のようにしました。
>
．．．
> （あ）、（い）、より
> lim[n→∞]sin[ 2pi*{A+B*sqrt(C)}^n ]=0
> したがって、
> A+B*sqrt(C)
> は整数値に近づいてゆく。
>
> こんな証明でよいのでしょうか？
いいと思いますが、ほげさんが[5824]で示されているのを素直になぞってみてもいいでしょう。

なお、どこまで一般化できるかに関しては、
＞|A-B*sqrt(C)|< 1
ならば、確かにそうですね。

ちょっと見方を変えると、こんな考察もできます。
(以下、少しあいまいな箇所があったので、修正しました。)

lim[n→∞]sin[2pi * α^n] = 0 となる α はどんな値なのでしょうか？

まず明らかに、α が整数や、α の絶対値が 1 より小さければいえますね。
でも、これは面白くありません。

そこで、議論になっている α^n + β^n = 整数 の場合を考えます。
β が整数の場合は、α^n が整数になって、α が整数の場合に帰着します。
|β| < 1 ならば、n -> ∞ で β^n -> 0, α^n -> 整数で、lim[n→∞]sin[2pi * α^n] = 0 です。
これでも必要十分ではないのですが、
取り敢えず、α^n + β^n = 整数 かつ |β| < 1 の場合を考えてみます。
ただし、α = β の場合は、|α| < 1 に帰着し面白くないので、除くことにします。
実際、以下の議論を見る限りでは、α = β = 0 になってしまうようです。

α^n + β^n = 整数 より、n = 1 で、α + β = 整数 です。
すると、n = 2 で、整数 = α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ = 整数 - 2αβ で、αβ = 整数/2 です。
一方で、α^n + β^n = (α + β)(α^(n-1) + β^(n-1)) - αβ(α^(n-2) + β^(n-2)) なので、
α + β = 整数 かつ αβ = 整数 ならば、数学的帰納法で、α^n + β^n = 整数 になります。
しかし、α + β = 整数 かつ αβ = 奇数/2 のときは、 α^2 + β^2 は整数になりますが、
α^3 + β^3 が整数になるには α + β = 偶数 が必要で、α^2 + β^2 が奇数になり、
α^4 + β^4 が整数になりません。
つまり、α^n + β^n = 整数 という仮定の下では、α + β = 整数 かつ αβ = 整数 が必要十分です。
そこで、α + β = 整数 = a かつ αβ = 整数 = b としてみます。
すると、α、β は、x^2 - a * x + b = 0 の解です。
ここで、|β| < 1 を追加します。
α、β の出現の仕方は対称なので、
x^2 - a * x + b = 0 に少なくとも一つ絶対値が 1 よりも小さい解があることが必要十分です。
今は、sin の引数を考えているので、α、β は、実数としていいでしょう。
ただし、前提として α ≠ β としていたので、a^2 - 4b > 0 が必要です。
さて、少なくとも一つ絶対値が 1 よりも小さい解があるのは、f(x) = x^2 - a * x + b として、
a/2 <= -1 and f(-1) < 0 and f(1) > 0
-1 < a/2 < 1 and (f(-1) > 0 or f(1) > 0)
1 <= a/2 and f(-1) > 0 and f(1) < 0
です。つまり、
a <= -2 and a + b + 1 < 0 and a - b - 1 < 0
-2 < a < 2 and (a + b + 1 > 0 or a - b - 1 < 0)
2 <= a and a + b + 1 > 0 and a - b - 1 > 0
ただし、a^2 - 4b > 0 で、a, b は整数、です。
計算があっていればですが．．．ちょっと自信なし (^^;
このときの絶対値が 1 よりも小さい解を β とし、それ以外を α とすれば、
lim[n→∞]sin[2pi * α^n] = 0 がいえます。
なお、二つとも絶対値が 1 よりも小さい場合には、どちらを選んでもOKです。
ちなみに、α = 1 + sqrt(2) の場合は、a = -2, b = -1 です。

α が整数の場合、|α| < 1 の場合、
そして α^n + β^n = 整数 かつ |β| < 1 の場合を考えてみましたが、
これら以外のより一般的な場合は、難しそうです。
なお、単に、n -> ∞ で α^n -> 整数 となるのはどんな場合なのか、とすると、
複素数も検討する必要があるかもしれない、と一度は思ったのですが、
どうやら、複素数の場合の偏角は n 乗しても整数になることに寄与しないので、
実数の範囲で考えれば十分なようです。

ちょっと気になる．．．けど、難しそう．．．

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[5832] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/30(Wed) 18:40

[ 5831 ]の証明は以下のようにしました。

まずは、数学的帰納法により次のことを証明します。ここでは、面倒なので省略します。
[A+Bsqrt*(C)]^n =A(n)+B(n)*sqrt(C)
[A-Bsqrt*(C)]^n =A(n)-B(n)*sqrt(C) (A(n),B(n)は整数）

|A-B*sqrt(C)|< 1であるから、
lim[n→∞]sin[ 2pi*{A-B*sqrt(C)}^n ]=0 ・・・（あ）

lim[n→∞]sin[ 2pi*{A+B*sqrt(C)}^n ] + sin[ 2pi*{A-B*sqrt(C)}^n ]
=lim[n→∞]sin[ 2pi*{A(n)+B(n)*sqrt(C)} ] + sin[ 2pi*{A(n)-B(n)*sqrt(C)} ]
=lim[n→∞]2sin[2pi*A(n)]cos[2piB(n)*sqrt(C)]
=0・・・（い）

（あ）、（い）、より
lim[n→∞]sin[ 2pi*{A+B*sqrt(C)}^n ]=0
したがって、
A+B*sqrt(C)
は整数値に近づいてゆく。

こんな証明でよいのでしょうか？

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[5831] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/30(Wed) 17:36

こんにちは。私も自分なりに考えてみました。私はとりあえず次のことまでは証明することができました。
(A,B は整数で、Cは平方数でない実数）
|A-B*sqrt(C)|< 1
ならば
[A+B*sqrt(C)]^n は整数値に近づきます。

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[5830] 算チャレ3 Q228 投稿者：tomh 投稿日：2006/08/30(Wed) 17:06

先程算チャレ3 Q228が出題されました。
今回は「(ジュースの)割合」の問題です。
夏の疲れを吹き飛ばすように解きましょう!? (^^;

また、今夜は算チャレQ515が出題されます。
夏の終わりの算数も乙なもので…? (^^?

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5829] Re:[5828] 成り立たないと思います 投稿者：BossF 投稿日：2006/08/30(Wed) 16:29

> α^n + β^n ≡整数というのが　あやしいような気がします。
ですね　p+qが「偶数乗で整数になる」ことが必要でしたね、(^^;;

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

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[5828] 成り立たないと思います 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/30(Wed) 14:40

p+(p+q) に対し β=p-(p+q) とおけば
α^n + β^n ≡整数というのが　あやしいような気がします。
n=2の時にっすでに破綻しています

1+sqrt(2)のときは　(1+sqrt(2))^n=a(n)+b(n)*sqrt(2)　　a(n)　b(n)は有理数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とおくと
(1-sqrt(2))^n=a(n)-b(n)*sqrt(2)　　となるので　和が整数になることが証明できます。
(証明は数学的帰納法でやります）

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[5827] 任意の定数αに対し、α^n→整数（！？） 投稿者：BossF 投稿日：2006/08/30(Wed) 11:21

[5824] こんな感じでどうでしょうか 見て凄いな〜と思ったんですけど

次のようなことを考えてしまいました

[任意の定数αに対し、α^n→整数 である]（！？）

定数αの整数部分を z 小数部分を q とおくと

(i)z=2p なら　α=p+(p+q) に対し β=p-(p+q) とおけば

α^n + β^n ≡整数　で、 ｜β｜＜1 だから　α^n→整数

(ii)ｚ＝2ｐ+1 なら　α=(p+1)+(p+q) に対し β=(p+1)-(p+q) とおけば

（i)と同様にして　α^n→整数 ■


すると、例えば
α=sqrt(2)=1+(sqrt(2)-1) として β=1-(sqrt(2)-1) とおけば

上と同様にα^n + β^n ≡整数　で、 ｜β｜＜1 だから　α^n→整数


ぅーこれって矛盾ですよね(^^;;

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

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[5826] Re:[5824] こんな感じでどうでしょうか 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/28(Mon) 18:44

> （1+sqrt(2))^n　が整数に近づくと　この極限はsin2*(pi)に近づくので　0に収束する
> ということを示す
> そのため　
> 　(1+sqrt(2))^n+(1-sqrt(2))^n=a(n)　とすると　a(n)は整数である
> 　
> 　(1+sqrt(2))^n=a(n)-(1-sqrt(2))^n　より　nが大きくなると(1-sqrt(2))^nは0に収束　するから　(1+sqrt(2))^nの小数部分は0に収束する
>
> ということをかっこよく書くといいんだろうなあ　と思いつつ。。。
>

ほげさん、uchinyanさん、ありがとうございます。すごいですね。
(1+sqrt(2))^n　が整数に近づいてくれれば、求める極限は０ですね。うーん全然気づきませんでした。(1+sqrt(2))^n　が整数値に近づくことと、もうちょっと一般化したものの証明を少し考えてみます。
　『一般項の分からない極限の問題→はさみうちの原理』という固定観念にとらわれている私には、とても勉強になりました。ありがとうございます。

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[5825] Re:[5824] こんな感じでどうでしょうか 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/08/28(Mon) 17:35

>> lim[n→∞]sin[2*(pi)*{(1+sqrt(2))^n}] を求めよ。　
>> ( pi は円周率。　sqrt はルート。 を表すことにする。）

> （1+sqrt(2))^n　が整数に近づくと　この極限はsin2*(pi)に近づくので　0に収束する
> ということを示す
> そのため　
> 　(1+sqrt(2))^n+(1-sqrt(2))^n=a(n)　とすると　a(n)は整数である
> 　
> 　(1+sqrt(2))^n=a(n)-(1-sqrt(2))^n　より　nが大きくなると(1-sqrt(2))^nは0に収束　するから　(1+sqrt(2))^nの小数部分は0に収束する
>
ほげさん、なるほど。これは面白いですね。

ZELDAさん、ほげさんの方向でいけそうです。
一見、振動して収束しそうにないように思うものの、あにはからんや、といったところかなぁ。
結局、(1+sqrt(2))^n、もっと一般化できそうですが、の性質に帰着するわけですか。

そういえば、以前に、「算数にチャレンジ」の問題に関連して、
なかさん と 小学名探偵さん が似たようなことをおっしゃっていた記憶があります。
要するに、整数にどんどん近づく数列の話です。
えーと、過去問の第424回の掲示板の#23938以降をご覧ください。

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[5824] こんな感じでどうでしょうか 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/28(Mon) 16:07

（1+sqrt(2))^n　が整数に近づくと　この極限はsin2*(pi)に近づくので　0に収束する
ということを示す
そのため　
　(1+sqrt(2))^n+(1-sqrt(2))^n=a(n)　とすると　a(n)は整数である
　
　(1+sqrt(2))^n=a(n)-(1-sqrt(2))^n　より　nが大きくなると(1-sqrt(2))^nは0に収束　するから　(1+sqrt(2))^nの小数部分は0に収束する

ということをかっこよく書くといいんだろうなあ　と思いつつ。。。

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[5823] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/28(Mon) 14:51

こんにちは。この間質問してからまだ何日も経たないのに、また質問させていただいてもよろしいでしょうか？次の問題なんですが、うーん何をすればいいのか、さっぱり分かりません。
極限の問題なのに、はさみうちの原理も役に立ちそうにないような気がするのですが・・・。
もし、よろしければ、お願いします。

lim[n→∞]sin[2*(pi)*{(1+sqrt(2))^n}] を求めよ。　
( pi は円周率。　sqrt はルート。 を表すことにする。）

お願いします。

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[5822] Re:[5821] [5819] お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/25(Fri) 19:51

ほげさん、uchinyanさん、ありがとうございました。うーん、なるほど、ユークリッドの互除法を整式に利用するのですか。全然、自分ではわかりませんでした。
　また、f(x)=0,g(x)=0 ならば k(x)f(x)+L(x)g(x)=0を使うのですね。どちらの考え方も知っているには、知っているのですが、まだまだ修行が足りないみたいです。
ご回答ありがとうございました。短い返事ですいません。

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[5821] Re:[5819] お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/08/25(Fri) 18:30

> こんにちは。また、質問させていただいてもよろしいでしょうか？もしよろしければ、よろしくお願いします。次の問題なのですが、方針が全くたちません。
>
> x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5=0
> x^6+4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5=0
> を同時にみたす実数xをすべて求めよ。
>
ほげさんの[5820]の丁寧な解説のとおりです。
要するに、
x^6 + 4 * x^5 + 3 * x^4 - 6 * x^3 - 20 * x^2 - 15 * x + 5
= (x + 2)(x^5 + 2 * x^4 - x^3 - 5 * x^2 - 10 * x + 5) + (x^3 - 5)
なので、
x^6 + 4 * x^5 + 3 * x^4 - 6 * x^3 - 20 * x^2 - 15 * x + 5 = 0
and
x^5 + 2 * x^4 - x^3 - 5 * x^2 - 10 * x + 5 = 0
--->
x^3 - 5 = 0
ということです。

少し追加。
x^6 + 4 * x^5 + 3 * x^4 - 6 * x^3 - 20 * x^2 - 15 * x + 5 = (x^3 - 5)(x^3 + 4 * x^2 + 3 * x - 1)
x^5 + 2 * x^4 - x^3 - 5 * x^2 - 10 * x + 5 = (x^3 - 5)(x^2 + 2 * x - 1)
で、
x^3 + 4 * x^2 + 3 * x - 1 = (x + 2)(x^2 + 2 * x - 1) + 1
より、
x^3 + 4 * x^2 + 3 * x - 1 = 0
and
x^2 + 2 * x - 1 = 0
はありえないから、共通解は、確かに、x^3 - 5 = 0 の解だけですね。

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