| [5802] あ、できました ^^/ Re:[5801] [5799] また、いいでしょうか？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/08/03(Thu) 09:18 | |
- > 取り敢えず、分かる範囲で．．．
>
> > 積分の評価の問題なのですが、なかなかうまくおさえることができません。
> >
> > ∑[k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2]≦π^(-2)
> >
> ∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx = ∫[kπ,(k+1)π]((sinx)'/x)dx
> = [sinx/x][kπ,(k+1)π] - ∫[kπ,(k+1)π](sinx * (1/x)')dx
> = ∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx
> |∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx| <= ∫[kπ,(k+1)π]|sinx/x^2|dx
> <= ∫[kπ,(k+1)π](1/x^2)dx = 1/π * (1/k - 1/(k+1))
> (∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx)^2 <= 1/π^2 * (1/k - 1/(k+1))^2
> なので、
> ∑[k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2]
> = ∑[k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx}^2]
> <= ∑[k=1,∞] 1/π^2 * (1/k - 1/(k+1))^2
> Sn = ∑[k=1,n] 1/π^2 * (1/k - 1/(k+1))^2 とおくと、
> Sn = ∑[k=1,n] 1/π^2 * (1/k^2 + 1/(k+1)^2 - 2/k(k+1))
> = ∑[k=1,n] 1/π^2 * (1/k^2 + 1/(k+1)^2 - 2 * (1/k - 1/(k+1)))
> = 1/π^2 * (2 * ∑[k=1,n]{1/k^2} - 1 + 1/(n+1)^2 - 2 + 1/(n+1))
ここまでは同じです。
ここで、
∑[k=1,n]{1/k^2} = 1 + ∑[k=2,n]{1/k^2}
ですが、k >= 2 で、
1/k^2 < 1/k(k-1) = 1/(k-1) - 1/k
なので、
∑[k=1,n]{1/k^2} = 1 + ∑[k=2,n]{1/k^2}
< 1 + ∑[k=2,n]{1/(k-1) - 1/k}
= 1 + 1 - 1/n
そこで、
Sn = 1/π^2 * (2 * ∑[k=1,n]{1/k^2} - 1 + 1/(n+1)^2 - 2 + 1/(n+1))
< 1/π^2 * (2 + 2 - 2/n - 1 + 1/(n+1)^2 - 2 + 1/(n+1))
よって、n -> ∞ で
Sn <= S∞ = 1/π^2 * (4 - 3) = 1/π^2
つまり、
∑[k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2]
<= 1/π^2
になります。
| [5801] Re:[5799] また、いいでしょうか？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/08/02(Wed) 22:33 | |
- 取り敢えず、分かる範囲で．．．
> 積分の評価の問題なのですが、なかなかうまくおさえることができません。
>
> ∑[k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2]≦π^(-2)
>
∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx = ∫[kπ,(k+1)π]((sinx)'/x)dx
= [sinx/x][kπ,(k+1)π] - ∫[kπ,(k+1)π](sinx * (1/x)')dx
= ∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx
|∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx| <= ∫[kπ,(k+1)π]|sinx/x^2|dx
<= ∫[kπ,(k+1)π](1/x^2)dx = 1/π * (1/k - 1/(k+1))
(∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx)^2 <= 1/π^2 * (1/k - 1/(k+1))^2
なので、
∑[k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2]
= ∑[k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx}^2]
<= ∑[k=1,∞] 1/π^2 * (1/k - 1/(k+1))^2
Sn = ∑[k=1,n] 1/π^2 * (1/k - 1/(k+1))^2 とおくと、
Sn = ∑[k=1,n] 1/π^2 * (1/k^2 + 1/(k+1)^2 - 2/k(k+1))
= ∑[k=1,n] 1/π^2 * (1/k^2 + 1/(k+1)^2 - 2 * (1/k - 1/(k+1)))
= 1/π^2 * (2 * ∑[k=1,n]{1/k^2} - 1 + 1/(n+1)^2 - 2 + 1/(n+1))
n -> ∞ で
Sn -> 1/π^2 * (2 * ∑[k=1,∞]{1/k^2} - 3)
そこで、
∑[k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2] <= 1/π^2 * (2 * ∑[k=1,∞]{1/k^2} - 3)
さて、ここからが問題なのですが、大学レベルの知識を使っていいならば、
∑[k=1,∞]{1/k^2} は、ζ関数、
ζ(s) = ∑[k=1,∞]{1/k^s}
というもので書けて、
∑[k=1,∞]{1/k^2} = ζ(2) = π^2/6
と知られています。これを認めてしまえば、
∑[k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2] <= 1/π^2 * (2 * π^2/6 - 3) = 1/π^2 * (π^2/3 - 3)
π^2 < (3.2)^2 = 10.24 なので、π^2/3 - 3 = (π^2 - 9)/3 < 1 がいえて、
∑[k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2] <= 1/π^2
がいえます。
しかし、ζ関数を使うのは禁じ手だろうから、さて、どうしたものか．．．
| [5800] 算チャレ3 Q225 投稿者：tomh 投稿日：2006/08/02(Wed) 17:03 | |
- 先程算チャレ3 Q225が出題されました。
今回は「カードの入れ替え」の問題です。
8月は算チャレ三昧といきましょう?! (^^;
また、今夜は算チャレQ512が出題されます。
今夜は波乱はあるんでしょうか…? (^^?
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5799] また、いいでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/02(Wed) 13:53 | |
- この間は放物線の問題ありがとうございました。最近質問ばかりして申し訳ないのですが、また、質問させてください。よろしくお願いします。積分の評価の問題なのですが、なかなかうまくおさえることができません。
∑[k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2]≦π^(-2)
よろしくお願いします。
| [5798] 無題 投稿者：BossF 投稿日：2006/07/29(Sat) 13:16 | |
- 盛り上がってますね、忙しくて見てませんでした、今から読んで考えます(^^;;
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5797] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/28(Fri) 19:47 | |
- uchinyanさん,tomhさんありがとうございます。今日はすこし時間ができましたので、解答をじっくり読ませて頂きました。うーん、こんなに難しかったのですね。解答をたどってみましたが、２次曲線になる条件がかなり難しかったです。長い解答をかいてくださったのに、短くてすいません。ありがとうございました。
| [5796] う～ん、まだ条件不足のようです．．． 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/27(Thu) 17:21 | |
- 二次曲線になる条件が不十分でした。
[5786]で書いたように、s = 0 を除く必要がありますが、これは、[5788]の
(- 2 * sinθ * a + cosθ * b) * s = (- 2ae + bd) * k/2
から
(4 * (sinθ)^2 * a - 2 * sinθ * cosθ * b) * s = (2ae - bd) * k * sinθ
(4 * a^2 + b^2) * s = (2ae - bd) * sinθ
なので、
a = b = 0 ならば、特に条件なし。
a not= 0 ならば、sinθ not= 0 なので、2ae not= bd ですね。
結局、私の解法による条件は、
・a = b = e = 0, c not= 0, d not= 0
このとき、p = - d/4c - f/d です。
これは、軸が x 軸となる放物線です。
又は
・a not= 0, 2ae not= bd, b^2 = 4ac, 4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de) = 0
このとき、p = - (2ad + be)/(4 * a^2 + b^2) です。
これは、軸が x 軸と傾きをもつ放物線です。
となりそうです。
とはいったものの、自信なし．．．^^;
なお、c = 0 の場合は、二番目の場合に含まれるので、
以前にあげていた二次曲線になる条件内の c に関する記述は不要になるようです。
| [5795] おっと… 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/26(Wed) 22:39 | |
- あ、スタートの焦点とは関係ないのか…
というわけで、ちょっとやり直すと
回転・平行移動の前の焦点をp'(=-s/2)、ρ=p/p'とすると
A+C = 1, … (1)
B^2 = 4AC, … (2)
16ρ^2 A = (B+E)^2, … (3)
16ρ^2 C = (2A+D)^2, … (4)
F = 3A-D-4ρ^2 … (5)
でどうでしょうか?
計算の仕方は、前のやり方とほぼ同じです。
kfは因数分解できなくなったので、素直に変形してます。
ここで
A=ka, B=kb, C=kc,
pD=kd, pE=ke, p^2F=kf
です。先の置き換えはuchinyanさんのおっしゃる通り間違いです。
但し、pの位置はこの方が良いでしょう。
ρは適当に消せますね。
(3)と(4)の比をとって変形すれば
A(2A+D)^2 = C(B+E)^2, … (6)
また、(3)と(5)より
4A(3A-D-F) = (B+E)^2 … (7)
なので、(6)と(7)から
4AC(3A-D-F) = C(B+E)^2 = A(2A+D)^2
B^2 (3A-D-F) = C(B+E)^2 = A(2A+D)^2
となります。最後の変形は(2)を代入しました。
さて、急いでやりましたが、もう間違いはないかな? (^.^)
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| [5794] Re:[5792] 私の計算 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/26(Wed) 21:44 | |
- ふむふむ．．．
二つほど、気になることがあります。
> > どうやって、出したのですか？
>
> uchinyanさんも出されている
>
> > (sinθ)^2 = ka
> > - 2 * sinθ * cosθ = kb
> > (cosθ)^2 = kc
> > - 2p * (sinθ)^2 + 2s * cosθ = kd
> > 2p * sinθ * cosθ + 2s * sinθ = ke
> > p^2 * (sinθ)^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
>
> がすべてです。但し、準線と焦点の関係より、s=-2p とはしてますが。
>
問題の題意によるのですが、s = - 2p としていることが、少し引っかかります。
ZELDAさんのおっしゃっている感じからすると、今回の問題は、
1)ます、a ～ f を与えて二次曲線を確定する。
二次曲線が確定しそれが放物線ならば、その焦点は一つ決まり、それは a ～ f で記述できるはずです。
ここまでは、p とは全く関係ありません。
2)次に、二次曲線とは独立に、点(p,0)を与える。
3)そして、最後に、二次曲線の焦点を点(p,0)に一致させる。
ではないのかな、と思います。
s = -2p とするのは、私の設定では、焦点を原点、準線を x = -2p、とする放物線を元に、
回転移動及び平行移動した放物線に考える対象を限ってしまうような気がします。
言い換えると、準線は 1) の二次曲線を与えればその焦点から決まるので、
s は 1) における a ～ f に直接に関係しています。
そこで、s = -2p とすると、1) において最初から a ～ f を p と関係付けているような気がします。
これは題意と反し、一般の二次曲線を考えていることになるのでしょうか？
> 例えば、kdの式は
>
> kd = -2p (sinθ)^2 -4p cosθ
> = -2p (ka) -4p cosθ
> kd +2pka = -4p cosθ
> (kd +2pka)^2 = 16p^2 (cosθ)^2
> (kd +2pka)^2 = 16p^2 (kc)
>
> となります。keも同じような変形です。
>
> kfは
>
> kf = p^2 (sinθ)^2 +4p^2 cosθ -4p^2
> = p^2 [1-(cosθ)^2] +4p^2 cosθ -4p^2
> = -p^2 [(cosθ)^2 -4cosθ +3p^2]
> = -p^2 (1-cosθ)(3-cosθ)
>
> としてから、先程のkdの計算で出てきたkd +2pka = -4p cosθを
> 代入です。
>
> 後は先の置き換えで、A,B,…,Fの式にしました。
>
ここらの計算は、多分、単純ミスだと思いますが、
> A=ka, B=kb, C=kc,
> D=kdp, E=kep, F=kfp^2
ではなくて、
A = ka * p^2, B = kb * p^2, C = kc * p^2,
D = kd * p, E = ke * p, F = kf
ですね？
| [5793] 算チャレ3 Q224 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/26(Wed) 17:04 | |
- 先程算チャレ3 Q224が出題されました。
今回は「正方形の面積の増減」の問題です。
梅雨明けも近いので、元気に解きましょう?! (^^;
また、今夜は算チャレQ511が出題されます。
夏休みの計画をたてながら解きましょう?! (^^;;
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| [5792] 私の計算 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/26(Wed) 16:20 | |
- > どうやって、出したのですか？
uchinyanさんも出されている
> (sinθ)^2 = ka
> - 2 * sinθ * cosθ = kb
> (cosθ)^2 = kc
> - 2p * (sinθ)^2 + 2s * cosθ = kd
> 2p * sinθ * cosθ + 2s * sinθ = ke
> p^2 * (sinθ)^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
がすべてです。但し、準線と焦点の関係より、s=-2p とはしてますが。
例えば、kdの式は
kd = -2p (sinθ)^2 -4p cosθ
= -2p (ka) -4p cosθ
kd +2pka = -4p cosθ
(kd +2pka)^2 = 16p^2 (cosθ)^2
(kd +2pka)^2 = 16p^2 (kc)
となります。keも同じような変形です。
kfは
kf = p^2 (sinθ)^2 +4p^2 cosθ -4p^2
= p^2 [1-(cosθ)^2] +4p^2 cosθ -4p^2
= -p^2 [(cosθ)^2 -4cosθ +3p^2]
= -p^2 (1-cosθ)(3-cosθ)
としてから、先程のkdの計算で出てきたkd +2pka = -4p cosθを
代入です。
後は先の置き換えで、A,B,…,Fの式にしました。
いかがでしょ? (^.^)
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| [5791] Re:[5789] 私の計算では… 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/26(Wed) 07:50 | |
- どうやって、出したのですか？
> k=1/(a+c)
>
> と決まっているので、
>
> A=ka, B=kb, C=kc,
> D=kdp, E=kep, F=kfp^2
>
> とおいたとき(適当にpがかけてあるのは、きれいにするため)、
>
> A+C = 1,
> B^2 = 4AC,
> 16C = (D+2A)^2,
> 16A = (E+B)^2,
> 16F = -(4+D+2A)(12+D+2A)
>
> ぐらいでどうですか?
> #ちゃんとチェックをしてないので、
> #どこまであっていることやら… (^^;
>
| [5790] 遅くなりました。すいません。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/25(Tue) 23:33 | |
- 予備校の予習に追われて、返事が遅くなりすいません。実はまだ、明日の予習が済んでいません。明日の授業は数学なのですが、かなりの難問ぞろいでなかなか思うようには進みません。
解答のほうですが、２次曲線になる条件が必要なのですか。せっかく早く解答を下さったのに、今は切羽詰っているので、明日帰ってきたらゆっくり読まさせていただきます。
支離滅裂な文章ですいません。それでは、明日読まさせて頂きます。ありがとうございました。
| [5789] 私の計算では… 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/25(Tue) 23:24 | |
- k=1/(a+c)
と決まっているので、
A=ka, B=kb, C=kc,
D=kdp, E=kep, F=kfp^2
とおいたとき(適当にpがかけてあるのは、きれいにするため)、
A+C = 1,
B^2 = 4AC,
16C = (D+2A)^2,
16A = (E+B)^2,
16F = -(4+D+2A)(12+D+2A)
ぐらいでどうですか?
#ちゃんとチェックをしてないので、
#どこまであっていることやら… (^^;
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| [5788] ちょっとした別解 Re:[5786] まだ条件不足．．．Re:[5784] 再考しました Re:[5783] ごめんなさい 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/25(Tue) 22:16 | |
- 二次曲線になる条件
> ・a = 0 の場合は、d not= 0 が必要。
> ・c = 0 の場合は、e not= 0 が必要。
> ・a not= 0 and c not= 0 の場合は、d not= 0 or e not= 0 が必要。
以外の条件
> > ・p の二次方程式にならない場合
> > [5780]の最初と同じで、a = b = e = 0, c not= 0, d not= 0 になります。
> > このとき、
> > p = - d/4c - f/d
> > になります。
> > これは、軸が x 軸となる放物線です。
> >
> > ・p の二次方程式の場合
> > [5780]の二番目の最初と同じで、a not= 0 and b = 0 and c = 0
> > or
> > a not= 0 and b not= 0 and c not= 0
> > になります。
> > 判別式 = 0 の条件から、
> > (2ad + be)^2 - (4 * a^2 + b^2) * (4af + e^2) = 0
> > 簡単にすると、
> > a * (a * d^2 + bde - 4 * a^2 * f - b^2 * f - a * e^2) = 0
> > a * (4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de)) = 0
> > a not= 0 より
> > 4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de) = 0
> > これと、b^2 = 4ac とを合わせたものを条件、としてもよさそうです。
に関して、少し計算が大変になりますが、ナイーブな方法で再計算してみました。
この方が、論理的には自然だと思います。
[5778]の
(sinθ)^2 = ka
- 2 * sinθ * cosθ = kb
(cosθ)^2 = kc
- 2p * (sinθ)^2 + 2s * cosθ = kd
2p * sinθ * cosθ + 2s * sinθ = ke
p^2 * (sinθ)^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
及び
k = 1/(a + c)
b^2 = 4ac
さらに
- 2kap + 2s * cosθ = kd
- kbp + 2s * sinθ = ke
ka * p^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
までは同じです。
ここで、最後の三つの式の上二つを p, s の連立方程式とみなします。すると、
(- 2 * sinθ * a + cosθ * b) * p = sinθ * d - cosθ * e
(- 2 * sinθ * a + cosθ * b) * s = (- 2ae + bd) * k/2
そこで、さっきの最後の式の両辺に (- 2 * sinθ * a + cosθ * b)^2 をかけると、
ka * ((- 2 * sinθ * a + cosθ * b) * p)^2
- 2 * ((- 2 * sinθ * a + cosθ * b) * p) * ((- 2 * sinθ * a + cosθ * b) * s) * cosθ
- ((- 2 * sinθ * a + cosθ * b) * s)^2
= (- 2 * sinθ * a + cosθ * b)^2 * kf
ka * (sinθ * d - cosθ * e)^2
- 2 * (sinθ * d - cosθ * e) * cosθ * ((- 2ae + bd) * k/2)
- ((- 2ae + bd) * k/2)^2
= (- 2 * sinθ * a + cosθ * b)^2 * kf
この式を展開して、
(sinθ)^2 = ka
- 2 * sinθ * cosθ = kb
(cosθ)^2 = kc
を使ってθを消去し、さらに k^2 で割って、頑張って整理すると、
4 * a^2 * d^2 - 4ac * e^2 + b^2 * d^2 + 4bcde - 4 * a^2 * e^2 + 4abde
- 16 * a^3 * f - 8a * b^2 * f - 4 * b^2 * cf = 0
ここで、b^2 = 4ac を使って c を消去し、頑張ってまとめると、
(4 * a^2 + b^2) * (4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de)) = 0
になります。そこで、
4 * a^2 + b^2 = 0 からは、a = b = 0 で、p の式などから e = 0 になり、
p の二次方程式にならない場合の条件が導けます。
一方、4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de) = 0 は、p の二次方程式になる場合の条件です。
したがって、p の二次式経由で導いた条件が再現できました。
| [5787] 無題 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/25(Tue) 17:32 | |
- トップページに
> 7/22 問題集に問題16をUPいたしました
ってありますよ。 (^^;
「問題17」が正しいですね。 (^.^)
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| [5786] まだ条件不足．．．Re:[5784] 再考しました Re:[5783] ごめんなさい 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/25(Tue) 11:26 | |
- ごめんなさい、まだ条件不足のようです。
そもそも、大前提として、
a * x^2 + b * xy + c * y^2 + d * x + e * y + f = 0
が二次曲線になる条件、が追加される、とした方が安全なようです。
> ・p の二次方程式にならない場合
> [5780]の最初と同じで、a = b = e = 0, c not= 0, d not= 0 になります。
> このとき、
> p = - d/4c - f/d
> になります。
> これは、軸が x 軸となる放物線です。
>
> ・p の二次方程式の場合の場合
> [5780]の二番目の最初と同じで、a not= 0 and b = 0 and c = 0
> or
> a not= 0 and b not= 0 and c not= 0
> になります。
> 判別式 = 0 の条件から、
> (2ad + be)^2 - (4 * a^2 + b^2) * (4af + e^2) = 0
> 簡単にすると、
> a * (a * d^2 + bde - 4 * a^2 * f - b^2 * f - a * e^2) = 0
> a * (4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de)) = 0
> a not= 0 より
> 4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de) = 0
> これと、b^2 = 4ac とを合わせたものを条件、としてもよさそうです。
> ただ、これも a の二次方程式と見ることができるので、a が 0 でない解をもつ条件を考えると、
> b not= 0 and bf - de not= 0
> (d^2 - e^2)^2 - 16 * bf * (bf - de) >= 0
> としてもよさそうです。もっと計算できるかもしれませんが、まぁ、取り敢えずここまで。
> あ、ただし、
> a not= 0 and b^2 = 4ac
> も、これに追加ですね。
> なお、このとき、
> p = - (2ad + be)/(4 * a^2 + b^2)
> です。
>
これに加えて、今の場合は、b^2 = 4ac なので、(a >= 0 and c >= 0) or (a < 0 and c < 0) です。
後者は、二次曲線の式の全体に -1 をかけて全体の符号を変更すれば前者に帰着します。
a >= 0 and c >= 0 の場合は、b = ±2 * sqrt(a) * sqrt(c) なので、
a * x^2 + b * xy + c * y^2 + d * x + e * y + f = 0
a * x^2 ±2 * sqrt(a) * sqrt(c) * xy + c * y^2 + d * x + e * y + f = 0
(sqrt(a) * x ± sqrt(c) * y)^2 = - d * x - e * y - f <----- (A)
ここで、(A)が x, y の二次曲線になるには、
・a = 0 の場合は、d not= 0 が必要。
・c = 0 の場合は、e not= 0 が必要。
・a not= 0 and c not= 0 の場合は、d not= 0 or e not= 0 が必要。
です。先ほどの条件に、これらを付加しておいた方が安全のようです。
先ほどの条件だけでは、a not= 0, d = e = f = 0 などを許可してしまっているようです。
これは、一番最初に、焦点を原点、準線を x = s としたときに、
s = 0 も許してしまっていることに原因がありそうです。
二次曲線になる条件は、放物線でないもっと一般の場合に調べることも
可能だと思いますが、面倒そうなので省略します。
なお、正直言って、論理の流れが非常に不自然だと感じています。
考え方はよさそうに思うのですが、同値変形になっていない可能性のある箇所、
二乗する辺りとか、などがあり、そこらが悪さしている可能性があります。
そこらを再検討するか、全く別のアプローチを試みて検証するか、をした方がいいかもしれません。
(A)の式から出発するのも一つの手です。
ただ、この場合には、軸の回転移動や平行移動をうまくやらないと、混乱する可能性もありそうです。
もう少しスッキリとできないのかな．．．
| [5785] なろほど納得しました。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/25(Tue) 09:42 | |
- ご丁寧な解答ありがとうございます。なるほど、pは定まっているのに、pに関する方程式とみなす意味が分かりました。ずいぶんときれいな式になるのですね。私からみると、なんか雲の上の話をされている気がします。難しいです。でも解答をみれば何とか分かりました。助かりました、この問題を誰に聞いても答えが返ってこなくて困っていましたが、教えて頂きありがとうございました。
| [5784] 再考しました Re:[5783] ごめんなさい 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/25(Tue) 09:03 | |
- > 具体例を考えてみたら、全く合わないようです。
> 根本的な勘違いをしている可能性大！
> 再考します。
>
うーん、再チェックしてみましたが、
b^2 = 4ac
(4 * a^2 + b^2) * p^2 + 2 * (2ad + be) * p + (4af + e^2) = 0
ここまでは正しそうです。やはり、この後でしょうか。
p の式は、a ～ f を与えたとき、一般には二次方程式とみなすことができます。
したがって、p の値は、一般に二つ存在することが可能です。
しかし、a ～ f を与えれば、元の二次曲線は確定し、これが放物線になるとすると、
焦点は一つなので、p は一つでなければなりません。
したがって、
・p の二次方程式にならない。
・p の二次方程式の場合は、判別式 = 0 になる。
のいずれかが必要十分です。
・p の二次方程式にならない場合
[5780]の最初と同じで、a = b = e = 0, c not= 0, d not= 0 になります。
このとき、
p = - d/4c - f/d
になります。
これは、軸が x 軸となる放物線です。
・p の二次方程式の場合の場合
[5780]の二番目の最初と同じで、a not= 0 and b = 0 and c = 0
or
a not= 0 and b not= 0 and c not= 0
になります。
判別式 = 0 の条件から、
(2ad + be)^2 - (4 * a^2 + b^2) * (4af + e^2) = 0
簡単にすると、
a * (a * d^2 + bde - 4 * a^2 * f - b^2 * f - a * e^2) = 0
a * (4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de)) = 0
a not= 0 より
4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de) = 0
これと、b^2 = 4ac とを合わせたものを条件、としてもよさそうです。
ただ、これも a の二次方程式と見ることができるので、a が 0 でない解をもつ条件を考えると、
b not= 0 and bf - de not= 0
(d^2 - e^2)^2 - 16 * bf * (bf - de) >= 0
としてもよさそうです。もっと計算できるかもしれませんが、まぁ、取り敢えずここまで。
あ、ただし、
a not= 0 and b^2 = 4ac
も、これに追加ですね。
なお、このとき、
p = - (2ad + be)/(4 * a^2 + b^2)
です。
これでどうでしょうか。
a ～ f を与えれば曲線は確定するので焦点も確定し、p も確定するはずです。
全く独立ということはないですよね。
| [5783] ごめんなさい Re:[5782] [5781] [5780] [5779] [5778] [5777] すいません。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/24(Mon) 23:58 | |
- 具体例を考えてみたら、全く合わないようです。
根本的な勘違いをしている可能性大！
再考します。
> > お返事ありがとうございます。私も考えてみたのですが、ぜんぜん進みません。
> >
> > b^2 = 4ac
> > (4 * a^2 + b^2) * p^2 + 2 * (2ad + be) * p + (4af + e^2) = 0
> > ただ、p は実数であれば何でもいいようにも思うので、p 自体ではあまり意味がなく、
> > 「実数として存在する」ということに意味があるのだろうと思います。
> > そう考えると
> >
> > というお答えなのですが、焦点が(p,0)で定まっている点なので、実数pが存在するという条件にはできない気がするのですが。
>
> うーむ、p が特に条件もなくしかも与えられたもの、ということになると、
> これ以上はどうしようもないのかな、という気もしますね。
> でも、スッキリしないなぁ．．．