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[5813] 算チャレ3 Q226 投稿者：tomh 投稿日：2006/08/09(Wed) 17:14

先程算チャレ3 Q226が出題されました。
今回は「硬貨の組み合わせ」の問題です。
台風に気をつけながら解きましょう。 (^.^)


また、今夜の算チャレはお休みです。
詳しくは算チャレのページでお確かめ下さい。

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5812] かさねがさね... 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/08(Tue) 22:12

大きい順でも小さい順でも入れるように直しました
tekiさん　ありがとうございます

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[5811] すんません 投稿者：teki 投稿日：2006/08/08(Tue) 21:56

言葉たらずでした。
大小を逆（つまり、比の値の大きいほうから先に）入力すれば、入れます。
ほげさんには、その旨お伝えしているので、もう一度変更があるかもしれませんが。

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[5810] Re:[5809] [5806] たいへんなことになっていました 投稿者：teki 投稿日：2006/08/08(Tue) 21:54

> > 算数問題に問題のミスと解答のミスがありました。ご迷惑をおかけしました。m(__)m
> > 算数問題を訂正し　解答も訂正いたします。
> > 正しくは　次郎君は　B地点からA地点に向かって同時に出発する
> > でした。
> > みなさん　ごめんなさい
> >
> お帰りなさい。いろいろと大変でした ^^;
>
> ただ、算数問題の掲示板に入れなくなったようです。
>
> 皆さんと掲示板で議論して得た答えでも、まだ正解ではない、ということなのでしょうか？

逆に入力してください。
それで入れます。

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[5809] Re:[5806] たいへんなことになっていました 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/08/08(Tue) 20:27

> 算数問題に問題のミスと解答のミスがありました。ご迷惑をおかけしました。m(__)m
> 算数問題を訂正し　解答も訂正いたします。
> 正しくは　次郎君は　B地点からA地点に向かって同時に出発する
> でした。
> みなさん　ごめんなさい
>
お帰りなさい。いろいろと大変でした ^^;

ただ、算数問題の掲示板に入れなくなったようです。

皆さんと掲示板で議論して得た答えでも、まだ正解ではない、ということなのでしょうか？

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[5808] 算数掲示板に… 投稿者：tomh 投稿日：2006/08/08(Tue) 20:18

算数掲示板に入れなくなったような…

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5807] 数学問題の解答をUPしました 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/08(Tue) 17:39

この問題は算数問題としてよいように思います。
解答をご覧になって　掲示板へご意見をお願いします。

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[5806] たいへんなことになっていました 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/08(Tue) 17:38

算数問題に問題のミスと解答のミスがありました。ご迷惑をおかけしました。m(__)m
算数問題を訂正し　解答も訂正いたします。
正しくは　次郎君は　B地点からA地点に向かって同時に出発する
でした。
みなさん　ごめんなさい

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[5805] 業務連絡 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/04(Fri) 08:02

今年度は勤務その外の関係で出題時間が確定できずに
ご迷惑をおかけしております。
来年度はもとの体制にもどれる予定です。
本日　急ですが問題をUPしました。

その際誤って解答を削除してしまいました
今日は　時間がありませんので　後ほど作成いたします。

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[5804] ありがとうございます。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/03(Thu) 22:59

返信が遅くなりましてすいません。解答ありがとうございます。

∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx = ∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx
としてから、評価するというのに全然気がつきませんでした。ぱっとみると、式が複雑になったように見えるのですが、定符号になるんですね。

�納k=1,n] 1/π^2 * (1/k^2 + 1/(k+1)^2 - 2 * (1/k - 1/(k+1)))
> = 1/π^2 * (2 * �納k=1,n]{1/k^2} - 1 + 1/(n+1)^2 - 2 + 1/(n+1))

この部分がおもしろいですね。Σの複雑な式がこんなにきれいになってしまうのですね。

�納k=1,n]{1/k^2} = 1 + �納k=2,n]{1/k^2}
< 1 + �納k=2,n]{1/(k-1) - 1/k}
これもおもしろいですね。私は、棒グラフの面積とy=x^2のグラフの面積を比較しようと思ったのですが、まさかこんなにもきれいに評価できてしまうなんて。

とても勉強になるエレガントな解答をありがとうございました。うーん、私もいつかこんなすばらしい解答をかけるようになりたい。

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[5803] 連絡 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/03(Thu) 18:30

私は8月4日から6日まで不在です
このため　急ではありますが　明日の朝　たぶん８時ころまでに　
算数問題　数学問題をUPできると思います。
出題の時期が不定で申し訳ありませんが　今年は　勘弁してください。

明日の10時にはいなくなるので　それまでに　どなたか　解いていただけますか。
なんせ　ただいま解答を作成中ですがその解答が不安で不安で...
なお　正解者名簿は７日以降に作成いたします。

また　問題集は　今週は問題UPなしということにします。

積分の問題の解答をありがとうございました。

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[5802] あ、できました ^^/ Re:[5801] [5799] また、いいでしょうか？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/08/03(Thu) 09:18

> 取り敢えず、分かる範囲で．．．
>
> > 積分の評価の問題なのですが、なかなかうまくおさえることができません。
> >
> > �納k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2]≦π^(-2)
> >
> ∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx = ∫[kπ,(k+1)π]((sinx)'/x)dx
> = [sinx/x][kπ,(k+1)π] - ∫[kπ,(k+1)π](sinx * (1/x)')dx
> = ∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx
> |∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx| <= ∫[kπ,(k+1)π]|sinx/x^2|dx
> <= ∫[kπ,(k+1)π](1/x^2)dx = 1/π * (1/k - 1/(k+1))
> (∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx)^2 <= 1/π^2 * (1/k - 1/(k+1))^2
> なので、
> �納k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2]
> = �納k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx}^2]
> <= �納k=1,∞] 1/π^2 * (1/k - 1/(k+1))^2
> Sn = �納k=1,n] 1/π^2 * (1/k - 1/(k+1))^2 とおくと、
> Sn = �納k=1,n] 1/π^2 * (1/k^2 + 1/(k+1)^2 - 2/k(k+1))
> = �納k=1,n] 1/π^2 * (1/k^2 + 1/(k+1)^2 - 2 * (1/k - 1/(k+1)))
> = 1/π^2 * (2 * �納k=1,n]{1/k^2} - 1 + 1/(n+1)^2 - 2 + 1/(n+1))
ここまでは同じです。
ここで、
�納k=1,n]{1/k^2} = 1 + �納k=2,n]{1/k^2}
ですが、k >= 2 で、
1/k^2 < 1/k(k-1) = 1/(k-1) - 1/k
なので、
�納k=1,n]{1/k^2} = 1 + �納k=2,n]{1/k^2}
< 1 + �納k=2,n]{1/(k-1) - 1/k}
= 1 + 1 - 1/n
そこで、
Sn = 1/π^2 * (2 * �納k=1,n]{1/k^2} - 1 + 1/(n+1)^2 - 2 + 1/(n+1))
< 1/π^2 * (2 + 2 - 2/n - 1 + 1/(n+1)^2 - 2 + 1/(n+1))
よって、n -> ∞ で
Sn <= S∞ = 1/π^2 * (4 - 3) = 1/π^2
つまり、
�納k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2]
<= 1/π^2
になります。

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[5801] Re:[5799] また、いいでしょうか？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/08/02(Wed) 22:33

取り敢えず、分かる範囲で．．．

> 積分の評価の問題なのですが、なかなかうまくおさえることができません。
>
> �納k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2]≦π^(-2)
>
∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx = ∫[kπ,(k+1)π]((sinx)'/x)dx
= [sinx/x][kπ,(k+1)π] - ∫[kπ,(k+1)π](sinx * (1/x)')dx
= ∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx
|∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx| <= ∫[kπ,(k+1)π]|sinx/x^2|dx
<= ∫[kπ,(k+1)π](1/x^2)dx = 1/π * (1/k - 1/(k+1))
(∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx)^2 <= 1/π^2 * (1/k - 1/(k+1))^2
なので、
�納k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2]
= �納k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](sinx/x^2)dx}^2]
<= �納k=1,∞] 1/π^2 * (1/k - 1/(k+1))^2
Sn = �納k=1,n] 1/π^2 * (1/k - 1/(k+1))^2 とおくと、
Sn = �納k=1,n] 1/π^2 * (1/k^2 + 1/(k+1)^2 - 2/k(k+1))
= �納k=1,n] 1/π^2 * (1/k^2 + 1/(k+1)^2 - 2 * (1/k - 1/(k+1)))
= 1/π^2 * (2 * �納k=1,n]{1/k^2} - 1 + 1/(n+1)^2 - 2 + 1/(n+1))
n -> ∞ で
Sn -> 1/π^2 * (2 * �納k=1,∞]{1/k^2} - 3)
そこで、
�納k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2] <= 1/π^2 * (2 * �納k=1,∞]{1/k^2} - 3)
さて、ここからが問題なのですが、大学レベルの知識を使っていいならば、
�納k=1,∞]{1/k^2} は、ζ関数、
ζ(s) = �納k=1,∞]{1/k^s}
というもので書けて、
�納k=1,∞]{1/k^2} = ζ(2) = π^2/6
と知られています。これを認めてしまえば、
�納k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2] <= 1/π^2 * (2 * π^2/6 - 3) = 1/π^2 * (π^2/3 - 3)
π^2 < (3.2)^2 = 10.24 なので、π^2/3 - 3 = (π^2 - 9)/3 < 1 がいえて、
�納k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2] <= 1/π^2
がいえます。

しかし、ζ関数を使うのは禁じ手だろうから、さて、どうしたものか．．．

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[5800] 算チャレ3 Q225 投稿者：tomh 投稿日：2006/08/02(Wed) 17:03

先程算チャレ3 Q225が出題されました。
今回は「カードの入れ替え」の問題です。
8月は算チャレ三昧といきましょう?! (^^;


また、今夜は算チャレQ512が出題されます。
今夜は波乱はあるんでしょうか…? (^^?

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5799] また、いいでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/02(Wed) 13:53

この間は放物線の問題ありがとうございました。最近質問ばかりして申し訳ないのですが、また、質問させてください。よろしくお願いします。積分の評価の問題なのですが、なかなかうまくおさえることができません。

�納k=1,∞][{∫[kπ,(k+1)π](cosx/x)dx}^2]≦π^(-2)

よろしくお願いします。

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[5798] 無題 投稿者：BossF 投稿日：2006/07/29(Sat) 13:16

盛り上がってますね、忙しくて見てませんでした、今から読んで考えます(^^;;

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

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[5797] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/28(Fri) 19:47

uchinyanさん,tomhさんありがとうございます。今日はすこし時間ができましたので、解答をじっくり読ませて頂きました。うーん、こんなに難しかったのですね。解答をたどってみましたが、２次曲線になる条件がかなり難しかったです。長い解答をかいてくださったのに、短くてすいません。ありがとうございました。

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[5796] う〜ん、まだ条件不足のようです．．． 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/27(Thu) 17:21

二次曲線になる条件が不十分でした。
[5786]で書いたように、s = 0 を除く必要がありますが、これは、[5788]の
(- 2 * sinθ * a + cosθ * b) * s = (- 2ae + bd) * k/2
から
(4 * (sinθ)^2 * a - 2 * sinθ * cosθ * b) * s = (2ae - bd) * k * sinθ
(4 * a^2 + b^2) * s = (2ae - bd) * sinθ
なので、
a = b = 0 ならば、特に条件なし。
a not= 0 ならば、sinθ not= 0 なので、2ae not= bd ですね。

結局、私の解法による条件は、
・a = b = e = 0, c not= 0, d not= 0
　このとき、p = - d/4c - f/d です。
　これは、軸が x 軸となる放物線です。
又は
・a not= 0, 2ae not= bd, b^2 = 4ac, 4 * f * a^2 - (d^2 - e^2) * a + b * (bf - de) = 0
　このとき、p = - (2ad + be)/(4 * a^2 + b^2) です。
　これは、軸が x 軸と傾きをもつ放物線です。
となりそうです。
とはいったものの、自信なし．．．^^;

なお、c = 0 の場合は、二番目の場合に含まれるので、
以前にあげていた二次曲線になる条件内の c に関する記述は不要になるようです。

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[5795] おっと… 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/26(Wed) 22:39

あ、スタートの焦点とは関係ないのか…

というわけで、ちょっとやり直すと
回転・平行移動の前の焦点をp'(=-s/2)、ρ=p/p'とすると

　A+C = 1, … (1)
　B^2 = 4AC, … (2)
　16ρ^2 A = (B+E)^2, … (3)
　16ρ^2 C = (2A+D)^2, … (4)
　F = 3A-D-4ρ^2 … (5)

でどうでしょうか?
計算の仕方は、前のやり方とほぼ同じです。
kfは因数分解できなくなったので、素直に変形してます。
ここで
　A=ka, B=kb, C=kc,
　pD=kd, pE=ke, p^2F=kf
です。先の置き換えはuchinyanさんのおっしゃる通り間違いです。
但し、pの位置はこの方が良いでしょう。

ρは適当に消せますね。

(3)と(4)の比をとって変形すれば

　A(2A+D)^2 = C(B+E)^2, … (6)

また、(3)と(5)より

　4A(3A-D-F) = (B+E)^2 … (7)

なので、(6)と(7)から

　4AC(3A-D-F) = C(B+E)^2 = A(2A+D)^2
　B^2 (3A-D-F) = C(B+E)^2 = A(2A+D)^2

となります。最後の変形は(2)を代入しました。

さて、急いでやりましたが、もう間違いはないかな? (^.^)

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5794] Re:[5792] 私の計算 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/26(Wed) 21:44

ふむふむ．．．
二つほど、気になることがあります。

> > どうやって、出したのですか？
>
> uchinyanさんも出されている
>
> > (sinθ)^2 = ka
> > - 2 * sinθ * cosθ = kb
> > (cosθ)^2 = kc
> > - 2p * (sinθ)^2 + 2s * cosθ = kd
> > 2p * sinθ * cosθ + 2s * sinθ = ke
> > p^2 * (sinθ)^2 - 2ps * cosθ - s^2 = kf
>
> がすべてです。但し、準線と焦点の関係より、s=-2p とはしてますが。
>
問題の題意によるのですが、s = - 2p としていることが、少し引っかかります。
ZELDAさんのおっしゃっている感じからすると、今回の問題は、
1)ます、a 〜 f を与えて二次曲線を確定する。
　二次曲線が確定しそれが放物線ならば、その焦点は一つ決まり、それは a 〜 f で記述できるはずです。
　ここまでは、p とは全く関係ありません。
2)次に、二次曲線とは独立に、点(p,0)を与える。
3)そして、最後に、二次曲線の焦点を点(p,0)に一致させる。
ではないのかな、と思います。
s = -2p とするのは、私の設定では、焦点を原点、準線を x = -2p、とする放物線を元に、
回転移動及び平行移動した放物線に考える対象を限ってしまうような気がします。
言い換えると、準線は 1) の二次曲線を与えればその焦点から決まるので、
s は 1) における a 〜 f に直接に関係しています。
そこで、s = -2p とすると、1) において最初から a 〜 f を p と関係付けているような気がします。
これは題意と反し、一般の二次曲線を考えていることになるのでしょうか？

> 例えば、kdの式は
>
> 　kd = -2p (sinθ)^2 -4p cosθ
> 　　 = -2p (ka) -4p cosθ
> 　kd +2pka = -4p cosθ
> 　(kd +2pka)^2 = 16p^2 (cosθ)^2
> 　(kd +2pka)^2 = 16p^2 (kc)
>
> となります。keも同じような変形です。
>
> kfは
>
> 　kf = p^2 (sinθ)^2 +4p^2 cosθ -4p^2
> 　　 = p^2 [1-(cosθ)^2] +4p^2 cosθ -4p^2
> 　　 = -p^2 [(cosθ)^2 -4cosθ +3p^2]
> 　　 = -p^2 (1-cosθ)(3-cosθ)
>
> としてから、先程のkdの計算で出てきたkd +2pka = -4p cosθを
> 代入です。
>
> 後は先の置き換えで、A,B,…,Fの式にしました。
>
ここらの計算は、多分、単純ミスだと思いますが、
> 　A=ka, B=kb, C=kc,
> 　D=kdp, E=kep, F=kfp^2
ではなくて、
　A = ka * p^2, B = kb * p^2, C = kc * p^2,
　D = kd * p, E = ke * p, F = kf
ですね？

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