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[5827] 任意の定数αに対し、α^n→整数（！？） 投稿者：BossF 投稿日：2006/08/30(Wed) 11:21

[5824] こんな感じでどうでしょうか 見て凄いな〜と思ったんですけど

次のようなことを考えてしまいました

[任意の定数αに対し、α^n→整数 である]（！？）

定数αの整数部分を z 小数部分を q とおくと

(i)z=2p なら　α=p+(p+q) に対し β=p-(p+q) とおけば

α^n + β^n ≡整数　で、 ｜β｜＜1 だから　α^n→整数

(ii)ｚ＝2ｐ+1 なら　α=(p+1)+(p+q) に対し β=(p+1)-(p+q) とおけば

（i)と同様にして　α^n→整数 ■


すると、例えば
α=sqrt(2)=1+(sqrt(2)-1) として β=1-(sqrt(2)-1) とおけば

上と同様にα^n + β^n ≡整数　で、 ｜β｜＜1 だから　α^n→整数


ぅーこれって矛盾ですよね(^^;;

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

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[5826] Re:[5824] こんな感じでどうでしょうか 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/28(Mon) 18:44

> （1+sqrt(2))^n　が整数に近づくと　この極限はsin2*(pi)に近づくので　0に収束する
> ということを示す
> そのため　
> 　(1+sqrt(2))^n+(1-sqrt(2))^n=a(n)　とすると　a(n)は整数である
> 　
> 　(1+sqrt(2))^n=a(n)-(1-sqrt(2))^n　より　nが大きくなると(1-sqrt(2))^nは0に収束　するから　(1+sqrt(2))^nの小数部分は0に収束する
>
> ということをかっこよく書くといいんだろうなあ　と思いつつ。。。
>

ほげさん、uchinyanさん、ありがとうございます。すごいですね。
(1+sqrt(2))^n　が整数に近づいてくれれば、求める極限は０ですね。うーん全然気づきませんでした。(1+sqrt(2))^n　が整数値に近づくことと、もうちょっと一般化したものの証明を少し考えてみます。
　『一般項の分からない極限の問題→はさみうちの原理』という固定観念にとらわれている私には、とても勉強になりました。ありがとうございます。

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[5825] Re:[5824] こんな感じでどうでしょうか 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/08/28(Mon) 17:35

>> lim[n→∞]sin[2*(pi)*{(1+sqrt(2))^n}] を求めよ。　
>> ( pi は円周率。　sqrt はルート。 を表すことにする。）

> （1+sqrt(2))^n　が整数に近づくと　この極限はsin2*(pi)に近づくので　0に収束する
> ということを示す
> そのため　
> 　(1+sqrt(2))^n+(1-sqrt(2))^n=a(n)　とすると　a(n)は整数である
> 　
> 　(1+sqrt(2))^n=a(n)-(1-sqrt(2))^n　より　nが大きくなると(1-sqrt(2))^nは0に収束　するから　(1+sqrt(2))^nの小数部分は0に収束する
>
ほげさん、なるほど。これは面白いですね。

ZELDAさん、ほげさんの方向でいけそうです。
一見、振動して収束しそうにないように思うものの、あにはからんや、といったところかなぁ。
結局、(1+sqrt(2))^n、もっと一般化できそうですが、の性質に帰着するわけですか。

そういえば、以前に、「算数にチャレンジ」の問題に関連して、
なかさん と 小学名探偵さん が似たようなことをおっしゃっていた記憶があります。
要するに、整数にどんどん近づく数列の話です。
えーと、過去問の第424回の掲示板の#23938以降をご覧ください。

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[5824] こんな感じでどうでしょうか 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/28(Mon) 16:07

（1+sqrt(2))^n　が整数に近づくと　この極限はsin2*(pi)に近づくので　0に収束する
ということを示す
そのため　
　(1+sqrt(2))^n+(1-sqrt(2))^n=a(n)　とすると　a(n)は整数である
　
　(1+sqrt(2))^n=a(n)-(1-sqrt(2))^n　より　nが大きくなると(1-sqrt(2))^nは0に収束　するから　(1+sqrt(2))^nの小数部分は0に収束する

ということをかっこよく書くといいんだろうなあ　と思いつつ。。。

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[5823] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/28(Mon) 14:51

こんにちは。この間質問してからまだ何日も経たないのに、また質問させていただいてもよろしいでしょうか？次の問題なんですが、うーん何をすればいいのか、さっぱり分かりません。
極限の問題なのに、はさみうちの原理も役に立ちそうにないような気がするのですが・・・。
もし、よろしければ、お願いします。

lim[n→∞]sin[2*(pi)*{(1+sqrt(2))^n}] を求めよ。　
( pi は円周率。　sqrt はルート。 を表すことにする。）

お願いします。

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[5822] Re:[5821] [5819] お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/25(Fri) 19:51

ほげさん、uchinyanさん、ありがとうございました。うーん、なるほど、ユークリッドの互除法を整式に利用するのですか。全然、自分ではわかりませんでした。
　また、f(x)=0,g(x)=0 ならば k(x)f(x)+L(x)g(x)=0を使うのですね。どちらの考え方も知っているには、知っているのですが、まだまだ修行が足りないみたいです。
ご回答ありがとうございました。短い返事ですいません。

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[5821] Re:[5819] お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/08/25(Fri) 18:30

> こんにちは。また、質問させていただいてもよろしいでしょうか？もしよろしければ、よろしくお願いします。次の問題なのですが、方針が全くたちません。
>
> x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5=0
> x^6+4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5=0
> を同時にみたす実数xをすべて求めよ。
>
ほげさんの[5820]の丁寧な解説のとおりです。
要するに、
x^6 + 4 * x^5 + 3 * x^4 - 6 * x^3 - 20 * x^2 - 15 * x + 5
= (x + 2)(x^5 + 2 * x^4 - x^3 - 5 * x^2 - 10 * x + 5) + (x^3 - 5)
なので、
x^6 + 4 * x^5 + 3 * x^4 - 6 * x^3 - 20 * x^2 - 15 * x + 5 = 0
and
x^5 + 2 * x^4 - x^3 - 5 * x^2 - 10 * x + 5 = 0
--->
x^3 - 5 = 0
ということです。

少し追加。
x^6 + 4 * x^5 + 3 * x^4 - 6 * x^3 - 20 * x^2 - 15 * x + 5 = (x^3 - 5)(x^3 + 4 * x^2 + 3 * x - 1)
x^5 + 2 * x^4 - x^3 - 5 * x^2 - 10 * x + 5 = (x^3 - 5)(x^2 + 2 * x - 1)
で、
x^3 + 4 * x^2 + 3 * x - 1 = (x + 2)(x^2 + 2 * x - 1) + 1
より、
x^3 + 4 * x^2 + 3 * x - 1 = 0
and
x^2 + 2 * x - 1 = 0
はありえないから、共通解は、確かに、x^3 - 5 = 0 の解だけですね。

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[5820] 無題 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/25(Fri) 15:10

久しぶりに　カキコします。
f(x)=0　と　g(x)=0の共通解をαとすると
k×f(x)+g(x)=0の解もαである　ということを使います。
kは数字でも式でもいいのです。
そこで　f(x)=x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5
g(x)=x^6+4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5
と考えて　k=xとするとx×f(x)+g(x)=0の解も共通解になるのです
その式は　2x^5+4x^4-x^3-10x^2-20x+5です。
次に　改めて　f(x)=x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5
　　　　　　　g(x)=2x^5+4x^4-x^3-10x^2-20x+5
　　　　　　　k=2と考えると
　2×f(x)+g(x)=0　から　x^3-5=0の解も共通解（の候補）です。
実はこの解３つが共通解になります。
ユークリッドの互助法の数式版と考えてみてください
以上　略解でした

　

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[5819] お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/25(Fri) 14:28

こんにちは。また、質問させていただいてもよろしいでしょうか？もしよろしければ、よろしくお願いします。次の問題なのですが、方針が全くたちません。

x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5=0
x^6+4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5=0
を同時にみたす実数xをすべて求めよ。

いつも質問ばかりすいません。よろしくお願いします。

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[5818] 算チャレ3 Q227 投稿者：tomh 投稿日：2006/08/23(Wed) 17:04

先程算チャレ3 Q227が出題されました。
今回は「立体の切断」の問題です。
雷なんかには負けないで解きましょう!? (^^;

また、今夜は算チャレQ514が出題されます。
今夜は図形でしょうか、規則性でしょうか、それとも…? (^^?

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5817] 本日の算チャレ3は… 投稿者：tomh 投稿日：2006/08/16(Wed) 16:47

本日の算チャレ3はお休みです。
詳しくは算チャレ3のページでお確かめ下さい。

でも、今夜は算チャレQ513が出題されます。
2週間ぶりの算チャレ、お盆の締めくくりにどうぞ。(^.^)

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5816] ありがとうございます。 投稿者：teki 投稿日：2006/08/16(Wed) 16:43

覚えていてくれたのね(^o^)
帰ってから、カード楽しみにしてます。

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[5815] ｔｅｋｉさん 投稿者：お誕生日おめでとう 投稿日：2006/08/16(Wed) 15:34

まいど！呑で酒。お元気で酒か？
お誕生日おめでとうございま酒。
カードは届いたかな？

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[5814] またも... 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/12(Sat) 14:27

問題集の問題をUPしましたが　正解者一覧表に入る数字の設定を間違えておりました。
現在は直しましたので　大丈夫です
またか　とあきれないでください
私自身があきれてます　　ごめんなさい

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[5813] 算チャレ3 Q226 投稿者：tomh 投稿日：2006/08/09(Wed) 17:14

先程算チャレ3 Q226が出題されました。
今回は「硬貨の組み合わせ」の問題です。
台風に気をつけながら解きましょう。 (^.^)


また、今夜の算チャレはお休みです。
詳しくは算チャレのページでお確かめ下さい。

http://www.geocities.jp/tomh/

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[5812] かさねがさね... 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/08(Tue) 22:12

大きい順でも小さい順でも入れるように直しました
tekiさん　ありがとうございます

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[5811] すんません 投稿者：teki 投稿日：2006/08/08(Tue) 21:56

言葉たらずでした。
大小を逆（つまり、比の値の大きいほうから先に）入力すれば、入れます。
ほげさんには、その旨お伝えしているので、もう一度変更があるかもしれませんが。

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[5810] Re:[5809] [5806] たいへんなことになっていました 投稿者：teki 投稿日：2006/08/08(Tue) 21:54

> > 算数問題に問題のミスと解答のミスがありました。ご迷惑をおかけしました。m(__)m
> > 算数問題を訂正し　解答も訂正いたします。
> > 正しくは　次郎君は　B地点からA地点に向かって同時に出発する
> > でした。
> > みなさん　ごめんなさい
> >
> お帰りなさい。いろいろと大変でした ^^;
>
> ただ、算数問題の掲示板に入れなくなったようです。
>
> 皆さんと掲示板で議論して得た答えでも、まだ正解ではない、ということなのでしょうか？

逆に入力してください。
それで入れます。

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[5809] Re:[5806] たいへんなことになっていました 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/08/08(Tue) 20:27

> 算数問題に問題のミスと解答のミスがありました。ご迷惑をおかけしました。m(__)m
> 算数問題を訂正し　解答も訂正いたします。
> 正しくは　次郎君は　B地点からA地点に向かって同時に出発する
> でした。
> みなさん　ごめんなさい
>
お帰りなさい。いろいろと大変でした ^^;

ただ、算数問題の掲示板に入れなくなったようです。

皆さんと掲示板で議論して得た答えでも、まだ正解ではない、ということなのでしょうか？

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[5808] 算数掲示板に… 投稿者：tomh 投稿日：2006/08/08(Tue) 20:18

算数掲示板に入れなくなったような…

http://www.geocities.jp/tomh/

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