井　戸　端　掲示板

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[5762] 掲示板について 投稿者：ほげ投稿日：2006/07/04(Tue) 06:41: 現在14問なので　14で始まります。
数字の合計は11問目から14問目までの答えの合計を入力します。
私も入れました（あたりまえ？(~_~)
もう一度試していただけませんか
出来なかった時は　入力した数値をメールで送ってください
対処します
[5761] Re:[5760] 問題集掲示板11-20 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/03(Mon) 20:23: 私は、入れましたが・・・
[5760] 問題集掲示板11-20 投稿者：BossF 投稿日：2006/07/03(Mon) 17:26: 入れないんですが？私だけかな？
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
[5759] 少しコメント Re:[5758] 無題 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/01(Sat) 11:59: > uchinyanさんすいませんでした。ワイエルシュトラスの定理を用いて極限値の存在証明をして、
> さらに　S(n)=S(n-1)=Sとして、Ｓに関する方程式を解けば確かに極限値もきちんと求まりますね。
>
ワイエルシュトラスの定理は、ＢｏｓｓＦさんが、その使い方をご教示くださっているので、
多分、使ってもいいのだろうと思いますが、
その証明自体は、直感的説明はともかく、厳密には、大学レベルの知識、
実数の連続性に関する何らかの事実を公理として認めないとできないと思うので、
個人的には、受験答案では、あまりお勧めできないと思います。
白紙よりまし、という窮余の一策とお考えください。

> (1+1/n)^n　が増加することの証明に、相加相乗を使うとは思いもしませんでした。すごすぎる証明ですね。とくに最後につけた「１」は、面白いですね。
>
面白い方法なので、紹介しました。もちろん、私のオリジナルではありません (^^;
ただ、この証明にはひとつ落とし穴があります。それは、相加相乗平均の一般形をどう証明するかです。
log の凸性を使うのが簡単なのですが、これだと、ZELDAさんがご指摘のように、循環論法に陥る危険があります。
他にも、幾つか方法があるので、log に関係しない方法で証明しておく、ことが、前提になります。
その点、二項定理による方法は、単なる式の展開なので、あいまい性がなく、
実は、非常に優れた証明だと思っています。
[5758] 無題投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/01(Sat) 11:08: uchinyanさんすいませんでした。ワイエルシュトラスの定理を用いて極限値の存在証明をして、さらに　S(n)=S(n-1)=Sとして、Ｓに関する方程式を解けば確かに極限値もきちんと求まりますね。
(1+1/n)^n　が増加することの証明に、相加相乗を使うとは思いもしませんでした。すごすぎる証明ですね。とくに最後につけた「１」は、面白いですね。

lim[n→∞]∑[k=1,n]{k^k/(n+1)^n}　この問題ひとつにも、とても深い内容が詰まっているんですね。いろいろと教えていただきありがとうございました。単調で有界ならば、収束するという定理を最後の手段として使わせていただこうと思います。それでは、失礼します。
[5757] 問題集に問題14をUPしました 投稿者：ほげ投稿日：2006/07/01(Sat) 08:31: 久しぶりに算数問題です
しかし　ちょっと　手ごわい問題ではないでしょうか
ぜひチャレンジしてくださいね
[5756] 解答をありがとうございます 投稿者：ほげ投稿日：2006/07/01(Sat) 08:22: 私が解答を作れないうちに　解かれてしまいました(^.^)
勉強になりました"^_^"
[5755] Re:[5753] 無題 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/30(Fri) 22:35: > 　２つ目の質問に関してですが、ワイエルシュトラスの定理を用いた場合には収束することは分かりますが、極限値は分からないような気がするのですが、分かるのでしょうか？
ワイエルシュトラスの定理は、存在を示すだけなので、値は分かりません。
しかし、今回の問題では、存在が分かれば、S(n)の漸化式から、S の値は分かります。

> 　それと、(1+1/n)^n < {1+1/(n+1)}^(n+1) （ｎ:自然数）は、２項定理を用いて何とか証明できました。正直いってかなり苦労しました。
>
はい、多分、正解だと思います。二項定理を使うのが一番素直な方法です。

ただ、実は、こんな方法もあります。何を仮定して議論するかがちょっと微妙なんですが．．．
n > 0 としてよいので、1 + 1/n > 0 です。
そこで、n 個の 1 + 1/n と 1 個の 1 に相加相乗平均を使って、
((1 + 1/n) * n + 1) * 1/(n+1) >= ((1 + 1/n)^n * 1)^(1/(n+1))
1 + 1/n は 1 に等しくないので、等号は成立しません。そこで、
((1 + 1/n) * n + 1) * 1/(n+1) > ((1 + 1/n)^n * 1)^(1/(n+1))
簡単にして、
(1 + 1/(n+1)) > ((1 + 1/n)^n)^(1/(n+1))
両辺を n+1 乗して
(1 + 1/(n+1))^(n+1) > (1 + 1/n)^n
[5754] Re:[5751] [5750] 無題 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/30(Fri) 22:05: > > ２つ目は、次の極限が計算できません。
> > 　　　　　lim[n→∞]∑[k=1,n]{k^k/(n+1)^n}
> ．．．
> さて、この後、まだ考えていませんが、
> S(n) = 1/(1 + 1/n)^n + 1/(1 + 1/n)^n * 1/n * S(n-1)
> などをうまく使って、
> lim[n→∞]|S(n) - 1/e| = 0
> がいえればベストですね。高校の範囲で解けるならば、この手かなぁ。
>
思ったよりも簡単でした。

S(n) = ∑[k=1,n]{k^k/(n+1)^n}
|S(n) - 1/e| = |S(n) - 1/(1 + 1/n)^n + 1/(1 + 1/n)^n - 1/e|
<= |S(n) - 1/(1 + 1/n)^n| + |1/(1 + 1/n)^n - 1/e|
ここで、
n -> ∞ で |1/(1 + 1/n)^n - 1/e| -> 0
また、
|S(n) - 1/(1 + 1/n)^n| = |1/(1 + 1/n)^n * 1/n * S(n-1)|
n >= 1 で 1/(1 + 1/n)^n < 1 なので、
|S(n) - 1/(1 + 1/n)^n| < 1/n * S(n-1)
さらに、
S(n) - 2 = 1/(1 + 1/n)^n * (1 + 1/n * S(n-1)) - 2
n >= 2 ならば、1/(1 + 1/n)^n < 1 なので、
S(n) - 2 < 1/n * S(n-1) - 1 = 1/n * (S(n-1) - n) <= 1/n * (S(n-1) - 2)
< ... < 2/n! * (S(2) - 2) = 2/n! * (5/9 - 2) < 0
つまり、n >= 2 で S(2) < 2 です。そこで、
|S(n) - 1/(1 + 1/n)^n| < 1/n * S(n-1) < 2/n
そこで、
n -> ∞ で |S(n) - 1/(1 + 1/n)^n| -> 0
になります。結局、
n -> ∞ で |S(n) - 1/e| -> 0
が証明されました。つまり、
lim[n->∞]∑[k=1,n]{k^k/(n+1)^n} = 1/e
になります。
[5753] 無題投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/30(Fri) 20:22: 　　いやー今日はさんざんな１日でした。電車で寝過ごし、お茶の水で降り損ねてしまいました。しかも、シャーペンが壊れて、もうイヤー。でも、たいへんうれしいことに家に帰ってみたらお二方からのお返事が来ていました。ありがとうございます。
　
　１つ目の質問にまで答えて頂きありがとうございます。教科書などで説明がないのに、問題集や予備校の授業で書かれてしまってとても困っていました。これで安心して使えます。
　
　２つ目の質問に関してですが、ワイエルシュトラスの定理を用いた場合には収束することは分かりますが、極限値は分からないような気がするのですが、分かるのでしょうか？
　それと、(1+1/n)^n < {1+1/(n+1)}^(n+1) （ｎ:自然数）は、２項定理を用いて何とか証明できました。正直いってかなり苦労しました。

最初に f(x)=log(1+1/x)^x　とおいて、f(x)の増減を調べようとしました。しかし、logを微分することができないことに気づきました。(もし、微分したら証明すべきことを仮定として使うことになってしまうから）

次に差分法を用いて　f(n+1)-f(n) や f(n+1)/f(n)を考えましたが、これまたダメでした。
その次に　数学的帰納法を試しましたが、これもダメー。まあ、そんなんで３時間ぐらいかかってしまいました。見かけ簡単そうに見えたのですが、意外と難しいのですね。
　
[5752] uchinyanにちょっと補足 投稿者：BossF 投稿日：2006/06/30(Fri) 17:58: >・複号異順というのはあまり聞きませんが

わたしは初見です。聞いたことも見たこともありません

>したがって、使わない方がいいと思います

賛成

あと、「複号任意」は「複号不同順」ともいいます

最後に二つ目について

だいぶ前のことですが某Yゼミで採点基準を話し合った時の記憶では、収束を示す時

×ワイエルシュトラスの定理より
○単調で有界だから
○単調で有界だからワイエルシュトラスの定理より

だったと思います。つまり、「単調」「有界」を断ればOKでした
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
[5751] Re:[5750] 無題 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/30(Fri) 12:32: > すいません。２つお聞きしたいことがあるのですが。教えていただけないでしょうか？
>
取り敢えず、分かる範囲で．．．

> １つ目は、「複合同順」「複合異順」「複合任意」をどう使うの分かりません。
用語使いのことなのであまり自信はないですが、多分、ということで (^^;
まず、「複合」－＞「複号」ですね、きっと。
複号とは、±とか、これの上下ひっくり返ったの、何故か、かな漢変換で出て来ない．．．、とかのことですよね。
以下では、仕方がないので、±を (+/-)、上下ひっくり返ったのを (-/+) と書くことにします。
例えば、(+/-)a(-/+)b、(+/-)x(-/+)y(+/-)z、を例として考えます。
・複号同順は、(+/-), (-/+)の上下の同じ符号を取ることを言います。
　この例では、+a-b 又は -a+b、+x-y+z 又は -x+y-z ですね。
・複号異順というのはあまり聞きませんが、(+/-), (-/+)の上下の異なる符号を取ることを言うのだろうと思います。
　この例では、+a+b 又は -a-b ですね。ただし、項が三つ以上になると、上下は二つしかないので三つでは異なりようがなく、あいまいです。
　したがって、使わない方がいいと思います。+a+b 又は -a-b ならば、(+/-)a(+/-)b で複号同順、で十分ですから。
　三項以上の場合は、一つずつ言うしかないのではないのかなぁ．．．？
・複号任意というのは、(+/-), (-/+)の上下の符号のすべての組合せをいいます。
　+a+b, +a-b, -a+b, -a-b とか、+x+y+z, +x+y-z, +x-y+z, +x-y-z, -x+y+z, -x+y-z, -x-y+z, -x-y-z ですね。

> ２つ目は、次の極限が計算できません。
> 　　　　　lim[n→∞]∑[k=1,n]{k^k/(n+1)^n}
うーん、これは難しそうだなぁ．．．取り敢えずの思いつきですが、
S(n) = ∑[k=1,n]{k^k/(n+1)^n} とおくと、
S(n) = n^n/(n+1)^n * ∑[k=1,n]{k^k/n^n}
= 1/(1 + 1/n)^n * (1/n * ∑[k=1,n-1]{k^k/n^(n-1)} + 1)
= 1/(1 + 1/n)^n * (1 + 1/n * S(n-1))
なので、ここで、
もし、lim[n→∞]S(n) = S と極限値が存在すれば、
lim[n→∞](1 + 1/n)^n = e にも注意すると、n→∞ で、
S = 1/e * (1 + 0 * S)
となって、1/e になると思います。
問題は、極限の存在ですね。

少なくとも、S(n) > 0 は明らかだから、S(n) > 1/(1 + 1/n)^n がいえます。
少し難しいですが、(1 + 1/n)^n は n について単調増加なのが証明できるので、トライしてみてください ^^、
(1 + 1/n)^n < e で、S(n) > 1/e はすぐに分かります。

さて、この後、まだ考えていませんが、
S(n) = 1/(1 + 1/n)^n + 1/(1 + 1/n)^n * 1/n * S(n-1)
などをうまく使って、
lim[n→∞]|S(n) - 1/e| = 0
がいえればベストですね。高校の範囲で解けるならば、この手かなぁ。

大学レベルでもいいならば、S(n) の単調減少性を証明して、実数の性質を表す次の定理
定理(ワイエルシュトラスの定理) 単調に増加(又は減少する)数列が上に(又は下に)有界であるとき、その数列は必ずある実数に収束する。
を使って、S の存在を示す手もありますが．．．

どちらにしても、手を動かして少し考えてみないと．．．暗算ではきつそう．．．
[5750] 無題投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/29(Thu) 21:35: すいません。２つお聞きしたいことがあるのですが。教えていただけないでしょうか？

１つ目は、「複合同順」「複合異順」「複合任意」をどう使うの分かりません。
２つ目は、次の極限が計算できません。
　　　　　lim[n→∞]∑[k=1,n]{k^k/(n+1)^n}

最近質問ばっかりしてすいません。よろしくお願いします。
[5749] 算チャレ3 Q220 投稿者：tomh 投稿日：2006/06/28(Wed) 17:04: 先程算チャレ3 Q220が出題されました。
今回は「正方形の中を動く線分」の問題です。
蒸し暑さでバテバテでも解きましょう… (^^;

また、今夜は算チャレQ507が出題されます。
今週は大変なことになりませんように… (^人^)

＃問題13が解けん… 皆さん、解けました? (^^?
http://www.geocities.jp/tomh/
[5748] 遅くなりました 投稿者：ほげ投稿日：2006/06/24(Sat) 21:29: 問題UPしました
算数サイトではおなじみの解き方ですね(~_~)
[5747] いってきまーすっ 投稿者：ほげ投稿日：2006/06/24(Sat) 06:00: 今日はようやく雨も上がりました。これからお出かけします。
今日の問題集のUPは　...夕方にできるとは思いますが...
んではっ
[5746] Re:[5745] あっという間に 投稿者：teki 投稿日：2006/06/23(Fri) 23:15: > さて　今週の土曜日は出張がはいっております。午後に戻ってきたら　問題集をUP
> 出来るかもしれません。とりあえず朝はUPできないという連絡をしておきます(^.^)

土曜日だというのに、お休みなしですか。
お疲れ様です。
[5745] あっという間に 投稿者：ほげ投稿日：2006/06/22(Thu) 23:00: 問題を解いてくれましたね。
ありがとうございます。
議論を興味深く読ませていただきました。

さて　今週の土曜日は出張がはいっております。午後に戻ってきたら　問題集をUP
出来るかもしれません。とりあえず朝はUPできないという連絡をしておきます(^.^)
[5744] Re:[5742] [5741] [5740] [5739] [5738] ．．． [5727] ぜんぜん解けません。お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/06/21(Wed) 23:49: > > 放物線の頂点 (a,b) が、b = 1/a に近いところ、少し上で接点が頂点のちょっと左上です。

なるほど、そういうことだったのですね。ずいぶんと長い時間をかけて教えていただきありがとうございました。たった１問でも、これだけいろいろ考えると,とても意味がありますね。非常に内容の深い勉強ができたように思います。これからも、受験勉強で分からないことがあったら、また質問させてください。よろしくお願いします。

そういえば、私もワールドカップを見たいのですが、ついつい見てしまったら、予備校の授業中黒板ではなく、夢ばかり見てしまいましたので、我慢しています。でも、日本戦は見ました。
川口がPKをとめたのは、すごかったですね。それでは、失礼します。
[5743] 算チャレ3 Q219 投稿者：tomh 投稿日：2006/06/21(Wed) 17:14: 先程算チャレ3 Q219が出題されました。
今回は「行列待ち」の問題です。
王者を倒すつもりで解きましょう! (^^;

また、今夜は算チャレQ506が出題されます。
夏至の余韻を楽しみながら解きましょう?! (^^;;
http://www.geocities.jp/tomh/

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