井　戸　端　掲示板

井　戸　端　掲示板

[5773] 教えていただけないでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/21(Fri) 21:17: また、質問よろしいでしょうか？

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
が２次曲線を表すとき、これが(a,0)を焦点とする放物線になる条件を求めよ。

軸が斜めでもよい問題なので、どう扱っていいのか分かりません。分かる方いらっしゃいましたら、御教授ください。よろしくお願いします。
[5772] 算チャレ3 Q223 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/19(Wed) 17:07: 先程算チャレ3 Q223が出題されました。
今回は「りんごとなしの売り上げ」の問題です。
夏を待ち焦がれながら解きましょう?! (^^;

また、今夜は算チャレQ510が出題されます。
算チャレは今晩も歴史を刻みます。 (^.^)
http://www.geocities.jp/tomh/
[5771] 無題投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/15(Sat) 13:12: ほげさん、ありがとうございます。書き込めました。
[5770] 修正いたしました 投稿者：ほげ投稿日：2006/07/15(Sat) 12:48: ごめんなさい　修正しました　
[5769] Re:[5768]同じく 投稿者：なにわ 投稿日：2006/07/15(Sat) 10:13: １番かと思いましたが……　そんなことなかった。
[5768] 無題投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/15(Sat) 09:56: ほげさんへ、問題集の正解者一覧に名前を書き込めないのですが・・・。
[5767] 算チャレ3 Q222 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/12(Wed) 17:03: 先程算チャレ3 Q222が出題されました。
今回は「222…2の割り算」の問題です。
Q222の記念問題(?)、心して解きましょう。 (^^;

また、今夜は算チャレQ509が出題されます。
「雨ニモ負ケズ算チャレニモ負ケズ」で解きましょう?! (^^;;
http://www.geocities.jp/tomh/
[5766] 算チャレ3 Q221 投稿者：tomh 投稿日：2006/07/05(Wed) 17:08: 先程算チャレ3 Q221が出題されました。
今回は「方陣」の問題です。
防空体勢万全で解きましょう… (^^;

また、今夜は算チャレQ508が出題されます。
短冊に「算チャレで好成績」と書いてから解きましょう?! (^^;;
http://www.geocities.jp/tomh/
[5765] 問題UP終了 投稿者：ほげ投稿日：2006/07/05(Wed) 08:04: 問題をUPしました。私はもう少し　自宅にいるので　おかしいところがあれば教えてください。直します。それ以降は明日訂正します。

uchinyanさん　ありがとうございます。問題集は不定期の予定でしたが
皆さん解答をしてくださるので　それが楽しくて　今のところ毎週土曜に出題しています。
ZELDAさんの問題も面白い問題でした。私にはとけませんでしたが(^_^)

このHPの中の　数学や算数の話題が　私の活力になっています
[5764] あまりご無理をなさらないように　Re:[5763] 明日の問題UPについて 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/04(Tue) 17:35: > 申し訳ありませんが　今月も　夜は　多忙のため不在です。
> 明日の　朝８時にUPする予定です。
> 本年度は　夜の時間のUPをお約束できません。（UPできる時もあると思います）
> ご迷惑をおかけしますが　この掲示板にカキコしますので　よろしくお願いします。m(__)m
>
問題集の方も、不定期、とあるのに、律儀に毎週UPなさっているし、
最近はZELDAさんも難問を投げてくるし？ (^^;
のんびりやりましょうよぉ～

というわけで、私も明日の問題は、いろいろあって、ゆっくり参加しようかな、
と思っています。
[5763] 明日の問題UPについて 投稿者：ほげ投稿日：2006/07/04(Tue) 07:50: 申し訳ありませんが　今月も　夜は　多忙のため不在です。
明日の　朝８時にUPする予定です。
本年度は　夜の時間のUPをお約束できません。（UPできる時もあると思います）
ご迷惑をおかけしますが　この掲示板にカキコしますので　よろしくお願いします。m(__)m
[5762] 掲示板について 投稿者：ほげ投稿日：2006/07/04(Tue) 06:41: 現在14問なので　14で始まります。
数字の合計は11問目から14問目までの答えの合計を入力します。
私も入れました（あたりまえ？(~_~)
もう一度試していただけませんか
出来なかった時は　入力した数値をメールで送ってください
対処します
[5761] Re:[5760] 問題集掲示板11-20 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/03(Mon) 20:23: 私は、入れましたが・・・
[5760] 問題集掲示板11-20 投稿者：BossF 投稿日：2006/07/03(Mon) 17:26: 入れないんですが？私だけかな？
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
[5759] 少しコメント Re:[5758] 無題 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/07/01(Sat) 11:59: > uchinyanさんすいませんでした。ワイエルシュトラスの定理を用いて極限値の存在証明をして、
> さらに　S(n)=S(n-1)=Sとして、Ｓに関する方程式を解けば確かに極限値もきちんと求まりますね。
>
ワイエルシュトラスの定理は、ＢｏｓｓＦさんが、その使い方をご教示くださっているので、
多分、使ってもいいのだろうと思いますが、
その証明自体は、直感的説明はともかく、厳密には、大学レベルの知識、
実数の連続性に関する何らかの事実を公理として認めないとできないと思うので、
個人的には、受験答案では、あまりお勧めできないと思います。
白紙よりまし、という窮余の一策とお考えください。

> (1+1/n)^n　が増加することの証明に、相加相乗を使うとは思いもしませんでした。すごすぎる証明ですね。とくに最後につけた「１」は、面白いですね。
>
面白い方法なので、紹介しました。もちろん、私のオリジナルではありません (^^;
ただ、この証明にはひとつ落とし穴があります。それは、相加相乗平均の一般形をどう証明するかです。
log の凸性を使うのが簡単なのですが、これだと、ZELDAさんがご指摘のように、循環論法に陥る危険があります。
他にも、幾つか方法があるので、log に関係しない方法で証明しておく、ことが、前提になります。
その点、二項定理による方法は、単なる式の展開なので、あいまい性がなく、
実は、非常に優れた証明だと思っています。
[5758] 無題投稿者：ZELDA 投稿日：2006/07/01(Sat) 11:08: uchinyanさんすいませんでした。ワイエルシュトラスの定理を用いて極限値の存在証明をして、さらに　S(n)=S(n-1)=Sとして、Ｓに関する方程式を解けば確かに極限値もきちんと求まりますね。
(1+1/n)^n　が増加することの証明に、相加相乗を使うとは思いもしませんでした。すごすぎる証明ですね。とくに最後につけた「１」は、面白いですね。

lim[n→∞]∑[k=1,n]{k^k/(n+1)^n}　この問題ひとつにも、とても深い内容が詰まっているんですね。いろいろと教えていただきありがとうございました。単調で有界ならば、収束するという定理を最後の手段として使わせていただこうと思います。それでは、失礼します。
[5757] 問題集に問題14をUPしました 投稿者：ほげ投稿日：2006/07/01(Sat) 08:31: 久しぶりに算数問題です
しかし　ちょっと　手ごわい問題ではないでしょうか
ぜひチャレンジしてくださいね
[5756] 解答をありがとうございます 投稿者：ほげ投稿日：2006/07/01(Sat) 08:22: 私が解答を作れないうちに　解かれてしまいました(^.^)
勉強になりました"^_^"
[5755] Re:[5753] 無題 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/30(Fri) 22:35: > 　２つ目の質問に関してですが、ワイエルシュトラスの定理を用いた場合には収束することは分かりますが、極限値は分からないような気がするのですが、分かるのでしょうか？
ワイエルシュトラスの定理は、存在を示すだけなので、値は分かりません。
しかし、今回の問題では、存在が分かれば、S(n)の漸化式から、S の値は分かります。

> 　それと、(1+1/n)^n < {1+1/(n+1)}^(n+1) （ｎ:自然数）は、２項定理を用いて何とか証明できました。正直いってかなり苦労しました。
>
はい、多分、正解だと思います。二項定理を使うのが一番素直な方法です。

ただ、実は、こんな方法もあります。何を仮定して議論するかがちょっと微妙なんですが．．．
n > 0 としてよいので、1 + 1/n > 0 です。
そこで、n 個の 1 + 1/n と 1 個の 1 に相加相乗平均を使って、
((1 + 1/n) * n + 1) * 1/(n+1) >= ((1 + 1/n)^n * 1)^(1/(n+1))
1 + 1/n は 1 に等しくないので、等号は成立しません。そこで、
((1 + 1/n) * n + 1) * 1/(n+1) > ((1 + 1/n)^n * 1)^(1/(n+1))
簡単にして、
(1 + 1/(n+1)) > ((1 + 1/n)^n)^(1/(n+1))
両辺を n+1 乗して
(1 + 1/(n+1))^(n+1) > (1 + 1/n)^n
[5754] Re:[5751] [5750] 無題 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/06/30(Fri) 22:05: > > ２つ目は、次の極限が計算できません。
> > 　　　　　lim[n→∞]∑[k=1,n]{k^k/(n+1)^n}
> ．．．
> さて、この後、まだ考えていませんが、
> S(n) = 1/(1 + 1/n)^n + 1/(1 + 1/n)^n * 1/n * S(n-1)
> などをうまく使って、
> lim[n→∞]|S(n) - 1/e| = 0
> がいえればベストですね。高校の範囲で解けるならば、この手かなぁ。
>
思ったよりも簡単でした。

S(n) = ∑[k=1,n]{k^k/(n+1)^n}
|S(n) - 1/e| = |S(n) - 1/(1 + 1/n)^n + 1/(1 + 1/n)^n - 1/e|
<= |S(n) - 1/(1 + 1/n)^n| + |1/(1 + 1/n)^n - 1/e|
ここで、
n -> ∞ で |1/(1 + 1/n)^n - 1/e| -> 0
また、
|S(n) - 1/(1 + 1/n)^n| = |1/(1 + 1/n)^n * 1/n * S(n-1)|
n >= 1 で 1/(1 + 1/n)^n < 1 なので、
|S(n) - 1/(1 + 1/n)^n| < 1/n * S(n-1)
さらに、
S(n) - 2 = 1/(1 + 1/n)^n * (1 + 1/n * S(n-1)) - 2
n >= 2 ならば、1/(1 + 1/n)^n < 1 なので、
S(n) - 2 < 1/n * S(n-1) - 1 = 1/n * (S(n-1) - n) <= 1/n * (S(n-1) - 2)
< ... < 2/n! * (S(2) - 2) = 2/n! * (5/9 - 2) < 0
つまり、n >= 2 で S(2) < 2 です。そこで、
|S(n) - 1/(1 + 1/n)^n| < 1/n * S(n-1) < 2/n
そこで、
n -> ∞ で |S(n) - 1/(1 + 1/n)^n| -> 0
になります。結局、
n -> ∞ で |S(n) - 1/e| -> 0
が証明されました。つまり、
lim[n->∞]∑[k=1,n]{k^k/(n+1)^n} = 1/e
になります。

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]

- LightBoard -

おなまえ
Ｅメール
タイトル
コメント
パスワード	（記事メンテ用）