| [5862] (=^・^=) 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/17(Sun) 00:52 | |
- 何はともあれ、めでたい(=^・^=)
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5861] 再開ありがとうございます Re:[5860] こんにちは 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/16(Sat) 12:45 | |
- > 本日 問題集をUPいたしました。皆さん見捨てず 参加してくださいね
>
早速参加しました ^^;
| [5860] こんにちは 投稿者：ほげ 投稿日：2006/09/16(Sat) 10:52 | |
- 自分のHPもあまり見る余裕のない毎日でした。事情があって休みをいただきましたが
本日 問題集をUPいたしました。皆さん見捨てず 参加してくださいね
ZELDAさんのカキコについては 続けてくださって結構です。
参考にされる方もいらっしゃるでしょうし、
あのころを懐かしむ方もいらっしゃるでしょう。
多数のご意見をいただけるのも掲示板のよいところと思いますので
何かあったらまたカキコしてください。
| [5859] 算チャレ3 Q230 投稿者：tomh 投稿日：2006/09/13(Wed) 17:08 | |
- 先程算チャレ3 Q230が出題されました。
今回は「立方体」の問題です。
「悠」が流行るかどうか注目しながら解きましょう?? (^^?
また、今夜は算チャレQ517が出題されます。
虫の音でも聴きながら解きましょう?! (^^;
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5858] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/09/12(Tue) 17:28 | |
- 返事が遅くなりまして、申し訳ありませんでした。BossFさん、uchinyanさん、アドバイスありがとうございました。お二人の意見を参考にさせていただきます。（実は、現代文はとても苦手ですが、古典・漢文と日本史は得意です。←あまり意味の無いものも含まれていますが。）
それとやはりここではあまり良くないと思いますので、これからは気をつけます。ありがとうございました。
| [5857] Re:[5856] [5855] 無題 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/11(Mon) 11:36 | |
- ZELDAさん、BossFさん、
> ところで、このような話題は、この場ではなんですので、宜しかったら、メールを頂けると幸いです
まぁ、そうかもしれませんが、私も懐かしく読ませて頂きました。
参考になる方もいらっしゃるでしょうから、プライバシーに触れなければ、
ここでやってもいいのではないのでしょうか。
私が大学を受験したのは、センター試験どころか共通一次もまだない大昔なので、
参考にはならないだろうな、と思って控えておりましたが、ちょっとだけ (^^;
> >現代文…
> これは筆者の考えを踏まえたうえで、作問者の考えを読まねばいけないので、私は０点で計算してました(^^;;
同感です。
ただ、数学の好きな方ならば、文章を読んでじっくり考える力はあるのですから、
大らかに構えて、実際の試験では、焦らずよく考えて全力を尽くす、のがベストだと思います。
なお、今もあるかどうか分かりませんが、古文と漢文は少し違って、文法主体に勉強するのがいいように思います。
品詞分解などの力が付くと、それだけで解釈の力も上がり、逆に得点源になった記憶があります。
英語も、似たようなところがありますね。
ただ、単なる文法よりも、イディオム主体にやって、平均、30点ほど点が上がった記憶があります。
もっとも、最近は、リスニングもあるようなので、簡単ではないのだろうなぁ。
社会人になってもいえますが、英語は、とにかく量をこなし、基本文型は自然と口に出るぐらい覚えることが大切なようです。
毎日の地道な努力が実を結ぶ可能性の高い科目だと思います。
> > 数学の計算がどうも精度が低く、…
>
> 計算力とは暗算力であり、計算はスポーツと一緒だと思います。ある意味肉体訓練しかないといえるでしょう。ただ、計算間違いを減らす方法はあります。それはまめに、検算を、「暗算」で行うことです。「計算力（＝暗算力)の肉体訓練とケアレスミスの防止、一挙両得」などと、受験生のころ勝手に決めてました。
> そのために必要なことが一つあります。ZELDAさんもご存知かと思いますが、概算力です（これは理科の計算問題でも必要ですよね)。「大雑把に、考えて、まず見当をつけてから計算し、その結果を吟味する」当たり前ですけど、これを繰り返すのが大事だった見たいです、私の場合。中学受験で得た一番貴重なものは、概算力の大事さを実感したことです。
>
これは、私も賛成です。
物理や化学でもそうですが、概算力とか、単位とか、物理的直感とか、そういうものが計算ミスを少なくすることはあると思います。
符号のミスとかね。
まぁ、30年以上も前の話なので、笑って聞き流してください。
| [5856] Re:[5855] 無題 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/10(Sun) 22:56 | |
- >現代文…
これは筆者の考えを踏まえたうえで、作問者の考えを読まねばいけないので、私は０点で計算してました(^^;;
今でも、模試等の模範解答、或いはその採点結果に疑問を持つことがあります。実は某T大の出題者と話したきそのことを質問したら、「もう一つ、採点官というファクターがあるよ」って言われて絶句したことが忘れられません。ですから、気楽に考えればいいと思います。
> 数学の計算がどうも精度が低く、…
計算力とは暗算力であり、計算はスポーツと一緒だと思います。ある意味肉体訓練しかないといえるでしょう。ただ、計算間違いを減らす方法はあります。それはまめに、検算を、「暗算」で行うことです。「計算力（＝暗算力)の肉体訓練とケアレスミスの防止、一挙両得」などと、受験生のころ勝手に決めてました。
そのために必要なことが一つあります。ZELDAさんもご存知かと思いますが、概算力です（これは理科の計算問題でも必要ですよね)。「大雑把に、考えて、まず見当をつけてから計算し、その結果を吟味する」当たり前ですけど、これを繰り返すのが大事だった見たいです、私の場合。中学受験で得た一番貴重なものは、概算力の大事さを実感したことです。
以上簡単に
ところで、このような話題は、この場ではなんですので、宜しかったら、メールを頂けると幸いですhttp://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5855] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/09/10(Sun) 20:09 | |
- BossFさんありがとうございます。私は現代文と数学がなかなか点数がとれません。数学に関しては、時間をかけて難しい問題を解くことはそんなに不得意ではありませんが、短時間で解くことができず、いつも点数を落としています。私は物理が得意なのですが、最近の東大の物理はとても難しい？ようで、ほとんど点差がつかなくて困っています。←それって中途半端な学力なんだろうと言われてしまう気がするのですが。まあ、そんな状況です。アドバイスありがとうございました。これからもアドバイスなどよろしくお願いします。
もしよろしければ、一つお聞きしたいのですが、数学の計算がどうも精度が低く、しかも遅いので困っているのですが、なにか良い計算練習法があったら教えてください。
| [5854] ZELDAさんへ 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/10(Sun) 10:56 | |
- （皆様、本来は、メールなどにすべきことですが、分からないのでこの場をお借りすることをお許しください）
本番まであと少し、大変だと思います。
参考になるかどうかわかりませんが、受験の時私が採った戦略をお話して見ます。
当時T大理系二次は英数各120国80理科60ｘ2計４４０点満点で、合格ラインは（私の志望学科の場合）３００でした
私はといえば、とにかく、英語と古典が全くの苦手でで現国はまったく不安定、理数は、まあまあでした。特に英語と古文はやってもやっても上がらない。この２科目は夏休み中５h/dayはやったのですが、まったく効果ありませんでした。
そこで、私は理数２４０英国６０で合格しようと、得意科目の点数を伸ばすことを中心に、方針を変えたら何とかなったしだいです。
各科目で何点取りにいくか、決めてらっしゃる思いますが苦手科目の点数を伸ばすのは大変ですよね、そこで目標を低く設定することでやる気を出せたようです←後からの分析
少しでもお役に立てたら幸いです
ところで、ほげさん、大丈夫ですか？
早く良くなってください（小学生の作文みたい(^^;;
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5853] 算チャレ3 Q229 投稿者：tomh 投稿日：2006/09/06(Wed) 17:04 | |
- 先程算チャレ3 Q229が出題されました。
今回は「部屋の仕切り」の問題です。
「みっちの隠れ家」での出題がなかった悔しさは
算チャレで晴らしましょう?! (^^;
また、今夜は算チャレQ516が出題されます。
お月様でも眺めながら解きましょう?! (^^;;
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5852] ありがとうございます。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/09/04(Mon) 21:20 | |
- 返事が遅くなりまして、たいへん申し訳ありませんでした。（今日返却された模試の結果に打ちひしがれていました。）←『そんな暇があるなら勉強しろー！！』と言われる気がします。
BossFさん、uchinyanさん、解答をありがとうございます。「ビエタの解」ですか、なかなかおもしろい考え方ですね。３次方程式にもいろいろな解き方があるんですね。全然知りませんでした。詳しい解答を書いていただいたのに、短い返事ですいません。本当にありがとうございました。
私は、現代文と英語に問題があるようなので、とりあえずそちらの勉強をがんばりたいと思います。実は、あまり数学も点数がとれなくて困っているのですが。それでは、失礼します。
| [5851] １問目 Re:[5849] ２問目 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/04(Mon) 20:21 | |
- > あと１問目 三倍角に帰着するのは「ビエタの解」というそうです。
>
> wikipediaの三次方程式の項を参照してください
>
なるほど。
[5848]で
> 解は実数なので、x = r * cosθ, r > 0, 0 <= θ <= π とかけます。そこで、
> r^3 * (cosθ)^3 - 3 * r * cosθ + 1 = 0
r は 0 ではないので、
(cosθ)^3 - 3 * 1/r^2 * cosθ + 1/r^3 = 0
ここで、cos(3θ) = 4 * (cosθ)^3 - 3 * cosθ なので、
(cosθ)^3 - 3/4 * cosθ - 1/4 * cos(3θ) = 0
先ほどの式と比較すると、
3 * 1/r^2 = 3/4
1/r^3 = - 1/4 * cos(3θ)
これから、
r = 2
cos(3θ) = - 1/2
θ の範囲から、
3θ = 2π/3, 4π/3, 8π/3
θ = 2π/9, 4π/9, 8π/9
となり、したがって、
x = 2 * cos(2π/9), 2 * cos(4π/9), 2 * cos(8π/9)
という感じかな。
| [5850] やばい 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/04(Mon) 20:17 | |
- >[略解]
>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
>=(a+b){(a+b)^2-3ab}
>
>よって、題意を満たすためには
> a+b=p^m , a^2-ab+b^2=p^n (p;prime)
>
>n=m=1 でないとき n≧mだから 3ab/(a+b) は整数
は、穴が多すぎだ！何処がまずいか、考えてみてください(無責任)
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5849] ２問目 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/04(Mon) 17:47 | |
- uchinyan さんと解が違う、やばい！と思ったら
あ、そうですね
>[略解]
>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
>=(a+b){(a+b)^2-3ab}
>
>よって、題意を満たすためには
> a+b=p^m , a^2-ab+b^2=p^n (p;prime)
>
> n≧mだから 3ab/(a+b) は整数
最後の「n≧mだから」は嘘ですね。
「a=b=1でn＜m それ以外でn≧m」です
a=b=1の自明解を見逃すとは…
あと１問目 三倍角に帰着するのは「ビエタの解」というそうです。
wikipediaの三次方程式の項を参照してください
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5848] Re:[5847] 次に１問目 Re:[5843] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/04(Mon) 16:52 | |
- > > １問目は次の問題です。
> > x^3-3x+1=0 を解けという問題なのですが、３次方程式の解法を用いれば解けるのですが、
> > 普通の高校生がそれを知っているとは思えません。他の解法があるのでしょうか？
> f(x) = x^3 - 3x + 1 とおくと、
> f(-2) = -1 < 0, f(-1) = 3 > 0, f(0) = 1 > 0, f(1) = -1 < 0, f(2) = 3 > 0 なので、
> 三つの解はいずれも実数ですね。どうやるのかなぁ．．．
>
．．．
> > たぶん置換して３倍角の公式を用いるんですね、
> ふーむ、再考してみます。
うーん、今一つ．．．
解は実数なので、x = r * cosθ, r > 0, 0 <= θ <= π とかけます。そこで、
r^3 * (cosθ)^3 - 3 * r * cosθ + 1 = 0
ここで、cos(3θ) = 4 * (cosθ)^3 - 3 * cosθ なので、
(cosθ)^3 = 1/4 * (cos(3θ) + 3 * cosθ)
r^3 * 1/4 * (cos(3θ) + 3 * cosθ) - 3 * r * cosθ + 1 = 0
(r^3 * 1/4 * cos(3θ) + 1) + 3 * r * (1/4 * r^2 - 1) * cosθ = 0
一つの変数 x を二つの変数 r, θ で表しているので、自由度が一つ増えており、一つは自由に決められます。
そこで、
1/4 * r^2 - 1 = 0
r の範囲から
r = 2
としてもいいハズです。＜−−−−−（＊）
このとき、もとの方程式は、
2^3 * 1/4 * cos(3θ) + 1 = 0
cos(3θ) = - 1/2
θ の範囲から、
3θ = 2π/3, 4π/3, 8π/3
θ = 2π/9, 4π/9, 8π/9
となり、
x = 2 * cos(2π/9), 2 * cos(4π/9), 2 * cos(8π/9)
となります。
ただ、（＊）の辺りが怪しい．．．
| [5847] 次に１問目 Re:[5843] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/04(Mon) 16:05 | |
- > １問目は次の問題です。
> x^3-3x+1=0 を解けという問題なのですが、３次方程式の解法を用いれば解けるのですが、
> 普通の高校生がそれを知っているとは思えません。他の解法があるのでしょうか？
f(x) = x^3 - 3x + 1 とおくと、
f(-2) = -1 < 0, f(-1) = 3 > 0, f(0) = 1 > 0, f(1) = -1 < 0, f(2) = 3 > 0 なので、
三つの解はいずれも実数ですね。どうやるのかなぁ．．．
カルダノの方法まがいですが、こんな考え方はありますね。
因数分解の公式、
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
= (x + y + z)(x + ω * y + ω^2 * z)(x + ω^2 * y + ω * z)
を使います。
これと、x^3 - 3x + 1 = 0 を比較すると、
y^3 + z^3 = 1
yz = 1
となる y, z が見つかれば、
x = - y - z, - ω * y - ω^2 * z, - ω^2 * y - ω * z
とかけますね。
y^3 + z^3 = 1
yz = 1
ならば、
y^3 + z^3 = 1
y^3 * z^3 = 1
なので、y^^3, z^3 は、
t^2 - t + 1 = 0
の解になります。つまり、
t = 1/2 * (1 + i * sqrt(3)), 1/2 * (1 - i * sqrt(3))
が、y^3, z^3 です。
1/2 * (1 + i * sqrt(3)) = cos(π/3) + i * sin(π/3)
1/2 * (1 - i * sqrt(3)) = cos(π/3) - i * sin(π/3)
なので、
y = cos(π/9) + i * sin(π/9)
z = cos(π/9) - i * sin(π/9)
とおけます。これ以外も可能なのですが、実は、同じ結果を与えます。
一方で
ω = 1/2 * (- 1 + i * sqrt(3)) = cos(2π/3) + i * sin(2π/3)
ω^2 = 1/2 * (- 1 - i * sqrt(3)) = cos(2π/3) - i * sin(2π/3)
なので、これらを代入して計算すると、
x = - 2 * cos(π/9), - 2 * cos(7π/9), - 2 * cos(5π/9)
になります。
BossFさんの[5845]の
> 計算してみたら x=2cos(2π/9),2cos(4π/9),2cos(8π/9) になったから(怪しいけど)
は、cos(π-θ) = - cosθ の公式を使えば、
2 * cos(2π/9) = 2 * cos(π - 7π/9) = - 2 * cos(7π/9)
2 * cos(4π/9) = 2 * cos(π - 5π/9) = - 2 * cos(5π/9)
2 * cos(8π/9) = 2 * cos(π - π/9) = - 2 * cos(π/9)
で、一致しています。
> たぶん置換して３倍角の公式を用いるんですね、
ふーむ、再考してみます。
| [5846] 私もまずは2問目 Re:[5843] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/09/04(Mon) 14:58 | |
- > ２問目は次の問題です。
> a,bを自然数とするとき、a^3+b^3が素数の整数乗になる(a,b) を求めよ。
>
a, b は自然数なので a, b >= 1 です。
そこで、今、p を素数、n >= 1 の整数として、a^3 + b^3 = p^n とかけます。
まず、a と b が互いに素でない場合を考えます。
このときは、1 でない最大公約数 g があり、a = gc, b = gd, c, d は互いに素、なので、
a^3 + b^3 = g^3 * (c^3 + d^3) = p^n となり、n >= 3 で、g = p^m, n > m >= 1 であって、
c^3 + d^3 = p^(n-m) となり、c, d が互いに素な場合の解 c, d, p に対して、
a = p^m * c, b = p^m * d として、解を構成できます。
したがって、a, b が互いに素な場合を考えれば十分です。
そこで、a, b が互いに素な場合です。
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = p^n
なので、n >= k >= 1 として、
a + b = p^k
a^2 - ab + b^2 = p^(n-k)
とかけます。そこで、
a^2 + 2ab + b^2 = p^(2k)
3ab = p^(2k) - p^(n-k)
ここで、2k <= n-k, 3k <= n とすると、
3ab = p^(2k) * (1 - p^(n-3k)) <= 0
で、NGです。
そこで、2k > n-k, 3k > n >= k >= 1 で、
3ab = p^(n-k) * (p^(3k-n) - 1)
* n = k の場合
a^2 - ab + b^2 = p^(n-k) = 1
(a - b)^2 = 1 - ab >= 0
より
a = b = 1
p^n = a + b = 2
p = 2, n = 1
になります。
* n > k, n - k > 0 の場合
3ab = p^(n-k) * (p^(3k-n) - 1)
もし、a が p を約数にもつと、a + b = p^k より、b も p を約数にもつことになり、
a, b が互いに素、としていたことに矛盾します。b に関しても同様です。
そこで、p = 3 になり、n-k = 1, n = k + 1 でなければなりません。これから、
a + b = 3^k
ab = 3^(2k-1) - 1
これより、a, b は
t^2 - 3^k * t + (3^(2k-1) - 1) = 0
の解です。a, b は自然数なので、
判別式 = 3^(2k) - 4 * 1 * (3^(2k-1) - 1) = 4 - 3^(2k-1) >= 0
から、k = 1 になります。このとき、
a + b = 3
ab = 2
なので、a = 2, b = 1 or a = 1, b = 2 です。
結局、a, b が互いに素の場合は、
(a,b,p) = (1,1,2), (2,1,3), (1,2,3)
です。
結局、a, b が互いに素でない場合も考慮してまとめると、n >= 0 として、
(a,b,p) = (2^n, 2^n, 2), (2 * 3^n, 3^n, 3), (3^n, 2 * 3^n, 3)
になるようです。
要するに、
(2^n)^3 + (2^n)^3 = 2^(3n+1)
(2 * 3^n)^3 + (3^n)^3 = 3^(3n+2) = (3^n)^3 + (2 * 3^n)^3
ですね。
ホントかな (^^;
| [5845] １問目 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/04(Mon) 12:52 | |
- 計算してみたら x=2cos(2π/9),2cos(4π/9),2cos(8π/9) になったから(怪しいけど)
たぶん置換して３倍角の公式を用いるんですね、なんかあったけど忘れてるし、(^^;;
そうそう、同じの現役のころやった（公式で解いた)ことを思い出しましたhttp://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5844] ２問目はぱっと見てできそうなので 投稿者：BossF 投稿日：2006/09/04(Mon) 12:34 | |
- [略解]
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
=(a+b){(a+b)^2-3ab}
よって、題意を満たすためには
a+b=p^m , a^2-ab+b^2=p^n (p;prime)
n≧mだから 3ab/(a+b) は整数
すると、a,b＜a+b だから a+b=3 以下略
１問目は、解の公式を使えばいいと思うと考える気がしなくて…ちょっと待っててください
末尾ながら ホゲさんご自愛を！
http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5843] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/09/03(Sun) 18:41 | |
- こんばんは。また、解けない問題がありまして、困っています。もし、よろしければ今回もお願いします。自分ながら非常に図々しいと思うのですが、今回は２問ほどお願いしたいのです。どうかよろしくお願いします。
１問目は次の問題です。
x^3-3x+1=0 を解けという問題なのですが、３次方程式の解法を用いれば解けるのですが、普通の高校生がそれを知っているとは思えません。他の解法があるのでしょうか？
２問目は次の問題です。
a,bを自然数とするとき、a^3+b^3が素数の整数乗になる(a,b) を求めよ。
よろしくお願いします。
ほげさん、いつもここで質問をさせていただいてとても助かっています。ありがとうございます。あまり無理をなさらないでください。受験勉強をしながら、次回の問題を楽しみに待っております。