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[6166] 問題集に 投稿者：ほげ 投稿日：2007/03/10(Sat) 09:10

問題42をUPいたしました。
感想をいただけるとうれしいです。

北海道は　今年は雪解けも早く　暖かな毎日です。
今日も朝からいい天気ですので　今後　私は行方不明になる予定です。
問題に不備があるときはごめんなさい。

　んでは　　　　　　　てってけて〜〜

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[6165] 算チャレ3 Q253 投稿者：tomh 投稿日：2007/03/07(Wed) 17:05

先程算チャレ3 Q253が出題されました.
今回は「約数」の問題です.
雪に負けずに解きましょう. (^.^)

また、今夜は算チャレQ540が出題されます.
初登板の緊張に負けずに解きましょう. (^^;

http://www.geocities.jp/tomh/

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[6164] 投稿問題は 投稿者：ほげ 投稿日：2007/03/07(Wed) 08:27

どうやら大学のレベルの問題のようです。
せっかく投稿していただいたので掲載いたしました。
投稿問題のレベルは特に設定しておりませんでしたが
できれば　高校卒業程度の問題にしていただけるとうれしいです。

今回の算数　数学問題は少々難しくしました。
がんばってチャレンジしてくださいね。

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[6163] PCのまえで 投稿者：ほげ 投稿日：2007/03/05(Mon) 22:37

寝てました
風邪を引くといけないので今日のUPはここまでにしてシンデレラはとこにつきます
掲示板のカキコがなくって寂しいです
では　おやすみなさい

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[6162] Re:[6161] おわび 投稿者：呑 投稿日：2007/03/05(Mon) 22:33

> 呑さん　ありがとうございましたm(__)m

お役に立てて嬉しいのじゃ！
だからもう一杯呑むのじゃ！
あじゅ〜なのじゃ！

http://www21.ocn.ne.jp/~hopes/hon.htm

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[6161] おわび 投稿者：ほげ 投稿日：2007/03/05(Mon) 21:48

またしても失敗しました
算数掲示板の正解の設定がまちがっておりました
ただ今訂正いたしました
ごめんなさい
呑さん　ありがとうございましたm(__)m

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[6160] 問題UP 投稿者：ほげ 投稿日：2007/03/05(Mon) 21:06

算数問題　数学問題　投稿問題　をUPいたしました
解答等でおかしいところがあれば教えてくださいね
よろしくお願いいたします

昔の問題であるときは　ページを更新してください

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[6159] Re:[6154] 　おかげさまでちょっとした発見(=^・^=) 投稿者：BossF 投稿日：2007/03/05(Mon) 16:25

一般に外接円の半径をRとすれば、

a^2+b^2+c^2≦9R^2 なんですね

すると、a^2+b^2+c^2=4(R^2){(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2}
=8(R^2)(1+cosAcosBcosC) だから

A+B+C=π なら　(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2≦9/4
　　　　　　　cosAcosBcosC≦1/8　なんだ！　知らなんだ…(^^;;

http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/

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[6158] 連絡 投稿者：ほげ 投稿日：2007/03/05(Mon) 07:14

本日　夜9時に算数　数学　投稿問題をUPする予定です
おたのしみにしていてくださいね.

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[6157] cosα+cosβ+cosγ の最大値は？ 投稿者：スモークマン 投稿日：2007/03/03(Sat) 19:04

図形的には、(OA+OB+OC)^2 の最大は、限りなく 3^2 に近づきますよね？
だから、cosα+cosβ+cosγ　の最大値は、3 に限りなく近づきますね！？
3*cos0=3 に合致しますね〜 (^^)v
AB^2+BC^2+CA^2＝6-2*（cosα+cosβ+cosγ）　からしても、とうぜんですね。
限りなく1点に収束するので、AB^2+BC^2+CA^2＝0 に近づくのって当たり前ですものね (^^;

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[6156] 勉強になります。Orz〜 投稿者：スモークマン 投稿日：2007/03/03(Sat) 18:38

はたからしか見れない力量不足のわたしですが、、、
きれいな問題にはきれいな解法があるんですね。
ベクトル計算を考えた最初の人は偉いですよねえ (^^)v
お二人のを併せると、
-2（cosα+cosβ+cosγ）= -2(OA・OB + OB・OC + OC・OA) = 3 - (OA + OB + OC)^2
から、cosα+cosβ+cosγ の最小値は、3cos2π/3=-3/2 （正三角形の時）なんですね！

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[6155] ありがとうございます。 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/03/03(Sat) 15:19

　uchinyanさん、ベクトルでの解法ありがとうございます。きれいな解答ですね。なるほど、ベクトルを使う方法もあったのですね、全然思いつきませんでした。問題をみた瞬間、三角比か座標を使おうと思ってしまいました。図形問題を解くにはベクトルという便利な道具もあるんですよね。肝に銘じておきます。それと『予選決勝法』とは『偏微分』のことです。大学受験業界（高校も含めて）では、このように呼ばれています。

ダンディ海野さん、uchinyanさん、御解答ありがとうございました。これからもよろしくお願いします。

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[6154] こんにちは　 投稿者：ほげ 投稿日：2007/03/03(Sat) 14:29

ベクトルの方法はきれいですね。私はcosで解きました。

以前連絡いたしましたが本日は問題のUPはいたしません。
５日には算数　数学　投稿の問題をUPする予定です。
夜9時にUP予定です。

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[6153] Re:[6152] [6151] [6149] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：uchinyan 投稿日：2007/03/03(Sat) 13:28

ZELDAさんへ
> ダンディ海野さん、ご返信ありがとうございます。返信が遅くなってしまいすいませんでした。
>
ダンディ海野さんの解法で完璧ですが，こんな解法もあります。ベクトルを使います。
掲示板ではベクトルはうまく書けないので，以下では特に断らない限り，
AB などはベクトル，・は内積，とします。

> 問題：半径１の円に内接する三角形ABCに対して、AB^2+BC^2+CA^2≦9を示しなさい。

円の中心を O とします。
AB^2 = AB・AB = (OB - OA)・(OB - OA) = OA・OA + OB・OB - 2 * OA・OB = 2 - 2 * OA・OB
BC^2 = 2 - 2 * OB・OC
CA^2 = 2 - 2 * OC・OA
なので，
AB^2 + BC^2 + CA^2 = 6 - 2 * (OA・OB + OB・OC + OC・OA)
ここで，
(OA + OB + OC)^2 = (OA + OB + OC)・(OA + OB + OC) = 3 + 2 * (OA・OB + OB・OC + OC・OA)
- 2 * (OA・OB + OB・OC + OC・OA) = 3 - (OA + OB + OC)^2
なので，
AB^2 + BC^2 + CA^2 = 9 - (OA + OB + OC)^2 <= 9
ただし等号は OA + OB + OC = 0ベクトル ですが，これは，△ABC が正三角形のときに可能です。

確か，2006年の京大後期理系の４に類題があります。あちらの方が難しいかな。

なお，
> 『予選決勝法』という奥の手を使ってしまったので、納得できません。
『予選決勝法』って何ですか？

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[6152] Re:[6151] [6149] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/03/03(Sat) 09:28

ダンディ海野さん、ご返信ありがとうございます。返信が遅くなってしまいすいませんでした。

cosα+cosβ+cosγ＝2*cos((α+β)/2)*cos((α-β)/2)+2*(cos((α+β)/2))^2-1
　　　　　　　　　　　　　　　　cos((α+β)/2)＝ｔ　とおくと
　　＝2*t^2-2*t*cos((α-β)/2)-1

この部分、みごとですね。cos((α+β)/2)を２次関数の変数と見なし、cos((α-β)/2)を定数のように考えたんですね。私の解法よりもはるかに短いですし、simpleです。私もこんなすばらしい解答が書けるようになりたいです。ありがとうございました。それと今日以前のレンズの問題を見返していたら、ダンディ海野さんも解答を下さっていたんですね。返信もせずに、本当に申し訳有りませんでした。これからもよろしくお願いします。

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[6151] Re:[6149] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：ダンディ海野 投稿日：2007/03/02(Fri) 23:16

他によい方法はないものでしょうか？
> 問題：半径１の円に内接する三角形ABCに対して、AB^2+BC^2+CA^2≦9を示しなさい。
> よろしくお願いします。

円の中心をO、角AOB=α　、角BOC=β、角COA＝γ　とおくと余弦定理より
AB^2＝AO^2+BO＾2-2*AO*BO*cosα＝2-2*cosα　　　おなじく
BC^2＝2-2*cosβ CA^2=2-2*cosγ
よって　AB^2+BC^2+CA^2＝6-2*（cosα+cosβ+cosγ）・・・（1）
cosγ=cos（2π-(α+β))=cos(α+β)=2*(cos((α+β)/2))^2-1 公式より
cosα+cosβ+cosγ＝2*cos((α+β)/2)*cos((α-β)/2)+2*(cos((α+β)/2))^2-1
　　　　　　　　　　　　　　　　cos((α+β)/2)＝ｔ　とおくと
　　＝2*t^2-2*t*cos((α-β)/2)-1
=2*(t-cos((α-β)/2)/2)^2ー（1/2）*(cos((α-β)/2))^2-1
>=-（1/2）*(cos((α-β)/2))^2-1 ...cos((α-β)/2))^2 ＜=1 より
>=-1/2-1=-3/2
これを（1）式にほうりこむと
　　AB^2+BC^2+CA^2＜＝6-2*（-3/2）＝9
これでどうでしょうか？

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[6150] Re:[6148] [6147] 分かったような・・・。 投稿者：小６の堤真人 投稿日：2007/03/02(Fri) 22:30

> 　すいませんでした。私、答えしか書いていませんでしたね。私は次のように答えを出しました。まずは、正方形ABCDと名前を付ける。そして、線分AB,CDの中点をそれぞれM,Nとする。
> ４分円の交点のうち線分MN上にあり、Mに近い方をPとする。
> すると、PC=PD=CD=10より,三角形PCDは正三角形である。すると、扇形ADPの中心角は30°になる。すると、
> (求めるべき面積の1/8の面積) = (長方形ADNM) - (三角形PDN) - (扇形ADP)
> であることから、後は計算すれば、求めるべき面積が与えられる。



ZELDAさん素晴らしい解説有り難う御座いました整理しますと・・・。
｛５０‐(12.5√3+25/3π)｝×８＝４００-(100√3+200/3π)≒17.5
スモークマンさんとほぼ同じですね　有り難う御座います。

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[6149] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/03/02(Fri) 17:19

　こんにちは、ZELDAです。前期試験が終わり後期試験に向けて勉強しているところです。合格発表があるまでは、不安が募るばかりですが、今は数学と英語と物理を勉強しています。数学で上手く解けない問題がありましたので、もしよろしければご指導下さい。自分なり解くことはできたのですが、『予選決勝法』という奥の手を使ってしまったので、納得できません。他によい方法はないものでしょうか？

問題：半径１の円に内接する三角形ABCに対して、AB^2+BC^2+CA^2≦9を示しなさい。

よろしくお願いします。

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[6148] Re:[6147] 分かったような・・・。 投稿者：ZELDA 投稿日：2007/03/02(Fri) 17:10

　すいませんでした。私、答えしか書いていませんでしたね。私は次のように答えを出しました。まずは、正方形ABCDと名前を付ける。そして、線分AB,CDの中点をそれぞれM,Nとする。
４分円の交点のうち線分MN上にあり、Mに近い方をPとする。
すると、PC=PD=CD=10より,三角形PCDは正三角形である。すると、扇形ADPの中心角は30°になる。すると、
(求めるべき面積の1/8の面積) = (長方形ADNM) - (三角形PDN) - (扇形ADP)
であることから、後は計算すれば、求めるべき面積が与えられる。

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[6147] 分かったような・・・。 投稿者：小６の堤真人 投稿日：2007/03/02(Fri) 16:38

　つまり、皆さんの有難い解法を整理して解くと・・・・。予想ですが、
正三角形の面積は２５√３cm2で、扇形の面積は５０／３π　cm2　でそれを１００cm2から引く・・・。100-(２５√3＋50/3π)＝解答不能・・・。誰か教えて・・。;^^)
　その問題は我が６年２組総出(？)で問題を解いています先生も解いています・・・
;^^)

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