| [5831] 無題 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/30(Wed) 17:36 | |
- こんにちは。私も自分なりに考えてみました。私はとりあえず次のことまでは証明することができました。
(A,B は整数で、Cは平方数でない実数）
|A-B*sqrt(C)|< 1
ならば
[A+B*sqrt(C)]^n は整数値に近づきます。
| [5830] 算チャレ3 Q228 投稿者：tomh 投稿日：2006/08/30(Wed) 17:06 | |
- 先程算チャレ3 Q228が出題されました。
今回は「(ジュースの)割合」の問題です。
夏の疲れを吹き飛ばすように解きましょう!? (^^;
また、今夜は算チャレQ515が出題されます。
夏の終わりの算数も乙なもので…? (^^?
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5829] Re:[5828] 成り立たないと思います 投稿者：BossF 投稿日：2006/08/30(Wed) 16:29 | |
- > α^n + β^n ≡整数というのが あやしいような気がします。
ですね p+qが「偶数乗で整数になる」ことが必要でしたね、(^^;;http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5828] 成り立たないと思います 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/30(Wed) 14:40 | |
- p+(p+q) に対し β=p-(p+q) とおけば
α^n + β^n ≡整数というのが あやしいような気がします。
n=2の時にっすでに破綻しています
1+sqrt(2)のときは (1+sqrt(2))^n=a(n)+b(n)*sqrt(2) a(n) b(n)は有理数
とおくと
(1-sqrt(2))^n=a(n)-b(n)*sqrt(2) となるので 和が整数になることが証明できます。
(証明は数学的帰納法でやります）
| [5827] 任意の定数αに対し、α^n→整数（！？） 投稿者：BossF 投稿日：2006/08/30(Wed) 11:21 | |
- [5824] こんな感じでどうでしょうか 見て凄いな〜と思ったんですけど
次のようなことを考えてしまいました
[任意の定数αに対し、α^n→整数 である]（！？）
定数αの整数部分を z 小数部分を q とおくと
(i)z=2p なら α=p+(p+q) に対し β=p-(p+q) とおけば
α^n + β^n ≡整数 で、 ｜β｜＜1 だから α^n→整数
(ii)ｚ＝2ｐ+1 なら α=(p+1)+(p+q) に対し β=(p+1)-(p+q) とおけば
（i)と同様にして α^n→整数 ■
すると、例えば
α=sqrt(2)=1+(sqrt(2)-1) として β=1-(sqrt(2)-1) とおけば
上と同様にα^n + β^n ≡整数 で、 ｜β｜＜1 だから α^n→整数
ぅーこれって矛盾ですよね(^^;;http://www.ne.jp/asahi/boss/f-futaki/
| [5826] Re:[5824] こんな感じでどうでしょうか 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/28(Mon) 18:44 | |
- > （1+sqrt(2))^n が整数に近づくと この極限はsin2*(pi)に近づくので 0に収束する
> ということを示す
> そのため
> (1+sqrt(2))^n+(1-sqrt(2))^n=a(n) とすると a(n)は整数である
>
> (1+sqrt(2))^n=a(n)-(1-sqrt(2))^n より nが大きくなると(1-sqrt(2))^nは0に収束 するから (1+sqrt(2))^nの小数部分は0に収束する
>
> ということをかっこよく書くといいんだろうなあ と思いつつ。。。
>
ほげさん、uchinyanさん、ありがとうございます。すごいですね。
(1+sqrt(2))^n が整数に近づいてくれれば、求める極限は０ですね。うーん全然気づきませんでした。(1+sqrt(2))^n が整数値に近づくことと、もうちょっと一般化したものの証明を少し考えてみます。
『一般項の分からない極限の問題→はさみうちの原理』という固定観念にとらわれている私には、とても勉強になりました。ありがとうございます。
| [5825] Re:[5824] こんな感じでどうでしょうか 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/08/28(Mon) 17:35 | |
- >> lim[n→∞]sin[2*(pi)*{(1+sqrt(2))^n}] を求めよ。
>> ( pi は円周率。 sqrt はルート。 を表すことにする。）
> （1+sqrt(2))^n が整数に近づくと この極限はsin2*(pi)に近づくので 0に収束する
> ということを示す
> そのため
> (1+sqrt(2))^n+(1-sqrt(2))^n=a(n) とすると a(n)は整数である
>
> (1+sqrt(2))^n=a(n)-(1-sqrt(2))^n より nが大きくなると(1-sqrt(2))^nは0に収束 するから (1+sqrt(2))^nの小数部分は0に収束する
>
ほげさん、なるほど。これは面白いですね。
ZELDAさん、ほげさんの方向でいけそうです。
一見、振動して収束しそうにないように思うものの、あにはからんや、といったところかなぁ。
結局、(1+sqrt(2))^n、もっと一般化できそうですが、の性質に帰着するわけですか。
そういえば、以前に、「算数にチャレンジ」の問題に関連して、
なかさん と 小学名探偵さん が似たようなことをおっしゃっていた記憶があります。
要するに、整数にどんどん近づく数列の話です。
えーと、過去問の第424回の掲示板の#23938以降をご覧ください。
| [5824] こんな感じでどうでしょうか 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/28(Mon) 16:07 | |
- （1+sqrt(2))^n が整数に近づくと この極限はsin2*(pi)に近づくので 0に収束する
ということを示す
そのため
(1+sqrt(2))^n+(1-sqrt(2))^n=a(n) とすると a(n)は整数である
(1+sqrt(2))^n=a(n)-(1-sqrt(2))^n より nが大きくなると(1-sqrt(2))^nは0に収束 するから (1+sqrt(2))^nの小数部分は0に収束する
ということをかっこよく書くといいんだろうなあ と思いつつ。。。
| [5823] また、よろしいでしょうか？ 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/28(Mon) 14:51 | |
- こんにちは。この間質問してからまだ何日も経たないのに、また質問させていただいてもよろしいでしょうか？次の問題なんですが、うーん何をすればいいのか、さっぱり分かりません。
極限の問題なのに、はさみうちの原理も役に立ちそうにないような気がするのですが・・・。
もし、よろしければ、お願いします。
lim[n→∞]sin[2*(pi)*{(1+sqrt(2))^n}] を求めよ。
( pi は円周率。 sqrt はルート。 を表すことにする。）
お願いします。
| [5822] Re:[5821] [5819] お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/25(Fri) 19:51 | |
- ほげさん、uchinyanさん、ありがとうございました。うーん、なるほど、ユークリッドの互除法を整式に利用するのですか。全然、自分ではわかりませんでした。
また、f(x)=0,g(x)=0 ならば k(x)f(x)+L(x)g(x)=0を使うのですね。どちらの考え方も知っているには、知っているのですが、まだまだ修行が足りないみたいです。
ご回答ありがとうございました。短い返事ですいません。
| [5821] Re:[5819] お願いします。 投稿者：uchinyan 投稿日：2006/08/25(Fri) 18:30 | |
- > こんにちは。また、質問させていただいてもよろしいでしょうか？もしよろしければ、よろしくお願いします。次の問題なのですが、方針が全くたちません。
>
> x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5=0
> x^6+4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5=0
> を同時にみたす実数xをすべて求めよ。
>
ほげさんの[5820]の丁寧な解説のとおりです。
要するに、
x^6 + 4 * x^5 + 3 * x^4 - 6 * x^3 - 20 * x^2 - 15 * x + 5
= (x + 2)(x^5 + 2 * x^4 - x^3 - 5 * x^2 - 10 * x + 5) + (x^3 - 5)
なので、
x^6 + 4 * x^5 + 3 * x^4 - 6 * x^3 - 20 * x^2 - 15 * x + 5 = 0
and
x^5 + 2 * x^4 - x^3 - 5 * x^2 - 10 * x + 5 = 0
--->
x^3 - 5 = 0
ということです。
少し追加。
x^6 + 4 * x^5 + 3 * x^4 - 6 * x^3 - 20 * x^2 - 15 * x + 5 = (x^3 - 5)(x^3 + 4 * x^2 + 3 * x - 1)
x^5 + 2 * x^4 - x^3 - 5 * x^2 - 10 * x + 5 = (x^3 - 5)(x^2 + 2 * x - 1)
で、
x^3 + 4 * x^2 + 3 * x - 1 = (x + 2)(x^2 + 2 * x - 1) + 1
より、
x^3 + 4 * x^2 + 3 * x - 1 = 0
and
x^2 + 2 * x - 1 = 0
はありえないから、共通解は、確かに、x^3 - 5 = 0 の解だけですね。
| [5820] 無題 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/25(Fri) 15:10 | |
- 久しぶりに カキコします。
f(x)=0 と g(x)=0の共通解をαとすると
k×f(x)+g(x)=0の解もαである ということを使います。
kは数字でも式でもいいのです。
そこで f(x)=x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5
g(x)=x^6+4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5
と考えて k=xとするとx×f(x)+g(x)=0の解も共通解になるのです
その式は 2x^5+4x^4-x^3-10x^2-20x+5です。
次に 改めて f(x)=x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5
g(x)=2x^5+4x^4-x^3-10x^2-20x+5
k=2と考えると
2×f(x)+g(x)=0 から x^3-5=0の解も共通解（の候補）です。
実はこの解３つが共通解になります。
ユークリッドの互助法の数式版と考えてみてください
以上 略解でした
| [5819] お願いします。 投稿者：ZELDA 投稿日：2006/08/25(Fri) 14:28 | |
- こんにちは。また、質問させていただいてもよろしいでしょうか？もしよろしければ、よろしくお願いします。次の問題なのですが、方針が全くたちません。
x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5=0
x^6+4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5=0
を同時にみたす実数xをすべて求めよ。
いつも質問ばかりすいません。よろしくお願いします。
| [5818] 算チャレ3 Q227 投稿者：tomh 投稿日：2006/08/23(Wed) 17:04 | |
- 先程算チャレ3 Q227が出題されました。
今回は「立体の切断」の問題です。
雷なんかには負けないで解きましょう!? (^^;
また、今夜は算チャレQ514が出題されます。
今夜は図形でしょうか、規則性でしょうか、それとも…? (^^?
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5817] 本日の算チャレ3は… 投稿者：tomh 投稿日：2006/08/16(Wed) 16:47 | |
- 本日の算チャレ3はお休みです。
詳しくは算チャレ3のページでお確かめ下さい。
でも、今夜は算チャレQ513が出題されます。
2週間ぶりの算チャレ、お盆の締めくくりにどうぞ。(^.^)
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5816] ありがとうございます。 投稿者：teki 投稿日：2006/08/16(Wed) 16:43 | |
- 覚えていてくれたのね(^o^)
帰ってから、カード楽しみにしてます。
| [5815] ｔｅｋｉさん 投稿者：お誕生日おめでとう 投稿日：2006/08/16(Wed) 15:34 | |
- まいど！呑で酒。お元気で酒か？
お誕生日おめでとうございま酒。
カードは届いたかな？
| [5814] またも... 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/12(Sat) 14:27 | |
- 問題集の問題をUPしましたが 正解者一覧表に入る数字の設定を間違えておりました。
現在は直しましたので 大丈夫です
またか とあきれないでください
私自身があきれてます ごめんなさい
| [5813] 算チャレ3 Q226 投稿者：tomh 投稿日：2006/08/09(Wed) 17:14 | |
- 先程算チャレ3 Q226が出題されました。
今回は「硬貨の組み合わせ」の問題です。
台風に気をつけながら解きましょう。 (^.^)
また、今夜の算チャレはお休みです。
詳しくは算チャレのページでお確かめ下さい。
http://www.geocities.jp/tomh/
| [5812] かさねがさね... 投稿者：ほげ 投稿日：2006/08/08(Tue) 22:12 | |
- 大きい順でも小さい順でも入れるように直しました
tekiさん ありがとうございます