第12回　 問題　（11月5日〜12月4日）解答

２から９までの数から異なる数を２個以上選んだ数の組み合わせを全種類作ります。次に各組み合わせの数をすべて掛け
合わせた数をつくります。最後にそれをすべて足します。答えはいくらになりますか。

　たとえば　２から４であれば　組み合わせは全部で（２,３)　(３,４)　(２,４)　(２,３,４)となり　
　その積は2×3=6　3×4=12　2×4＝8　2×3×4=24　
　和は6+12+8+24=50となります。

解答

展開による解法

(2+1)(3+1)... (9+1)=(1以外の数8つの積の和)+(１以外の数7つの積の和)+(１以外の数6つの積の和)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…(１以外の数2つの積の和)+(１以外の数)+１
ですから求める数をSとして
3×4×5×6×7×8×9×10=1814400=S+1+2+...+9　
S=1814400-45=1814355

漸化式による解法　有無相生　さん　ほか
　2〜nまでの和を　Ｓ(ｎ）　とすると、
　　S(n+1)=(n+1を含む3個以上の積の和)+(n+1を含む2個の積の和)+(n+1を含まない２個以上の積の和)
　　　　=(n+1)×S(n)+(n+1)×(2+3+…+n)+S(n)
　　　　=(ｎ+2)*Ｓ(ｎ）+(ｎ-1)(ｎ+1)(ｎ+2)/2　が成立する。
　　Ｓ(3)＝6　から順に計算して、Ｓ(9)＝1814355
　　となります。

次のようにするのも同じ考えかたです(ponta55555さんによる）
　S(3)=2*3=6
　S(4)=S(3)+4*(2+3+S(3))=50
　S(5)=S(4)+5*(2+3+4+S(4))=345
　S(6)=S(5)+6*(2+3+4+5+S(5))=2499
　S(7)=S(6)+7*(2+3+4+5+6+S(6))=20132
　S(8)=S(7)+8*(2+3+4+5+6+7+S(7))=181404
　S(9)=S(8)+9*(2+3+4+5+6+7+8+S(8))=1814355

２　一般項による解法　なか　さん　ほか
　　２個以上といわず、０個でも１個でもいいことにします。
　　ただし０個の場合は「掛け合わせた数」は１と考えます。
　　ａ１＝１
　　ａ２＝ａ１＋２ａ１＝３ａ１＝３
　　ａ３＝ａ２＋３ａ２＝４ａ２＝１２
　　　；
　　　；
　　ａｎ＝（ｎ＋１）！／２
　　ａ９＝１０！／２
　　今回の出題は「２個以上選べ」なので、これに反する、
　　１＋２＋３＋・・・９＝４５を引いて、
　　１０！／２−４５＝１８１４３５５
　　
　　一般項は、Ｓ(ｎ)＝(ｎ+1)！/2-�狽氏@となるので、
　　Ｓ(9)＝1814355　となる。