問題
「三辺の長さが整数で３：４となる二辺があり、その面積が１６８cm^2となるとき、三辺の合計は何cmとなるか？」

解答
３つの辺の長さを3k,4k,nとする（k、nは整数）
s=(3k+4ｋ+n)/2とすると　面積　S=√s(s-4k)(s-3k)(s-n)=168
　（１）k=2a+1　n=2b+1のとき　s=7a+b＋4　S=√(7a+b+4)(b-a)(a+b+1)(7a-b+3)=168=2＾3×3×7
　　　�@a+bが偶数のとき　　a+b+1　7a-b+3が奇数であるから
　　　　　a+b+1=1,3,7,9,21,21＾2　
　　　　　a+b=0のとき　a=b=0　　k=1　n=1　　3辺　３，４，１となり　だめ
　　　　　a+b=2のとき　7a-b+3=8a+1=1,3,7,9,21,441　から　1,9,441　a=0,1,55
　　　　　　　a=0,b=2のとき　k=1,n=5となり　3辺は3,4,5　面積は6となりだめ
　　　　　　　a=1　b=1のとき　k=3　n=3　　3辺は9,12,3となりだめ
　　　　　a+b=6のとき　7a-b+3=8a-3=1,3,7,9,21,441　から21　a=3
　　　　　　　a=3　b=3のとき　k=7　n=7　3辺は21　28　7となり　解なし
　　　　　a+b=8のとき　　7a-b+3=8a-5=1,3,7,9,21,441　から3　a=1　b=7
　　　　　　　k=3　n=15　３辺は　9　12　15　面積は54となりだめ
　　　　　a+b=20のとき　7a-b+3=8a-17=1,3,7,9,21,441となり7　a=3　b=17
　　　　　　　k=7　n=35　3辺は　21　28　35　となり面積は294である
　　　　　a+b=440のとき　7a-b+3=8a-437=1,3,7,9,21,441となり3　a=55　b=385
　　　　　　k=111　n=771　３辺は333　444　771となり　面積は√がつく
　　�Aa+bが奇数のとき　7a+b+4　b-aが奇数であるから
　　　　　b-a=1,3,7,9,21,21＾2
　　　　　b-a=１のとき　　7a+b+4=8a+5=21　a=2　b=3　k=5　n=7
　　　　　　　　3辺は15　20　7となり　面積は42となる
　　　　　b-a=3のとき　　7a+b+4=8a+7=7　a=0　b=3　k=1　n=7
　　　　　　　　3辺は9　12　7となり　面積は√がつく
　　　　　b-a=7のとき　7a+b+4=8a+11=3　解なし
　　　　　b-a=9のとき　　7a+b+4=8a+13=21　a=1　b=10　k=3　n=21
　　　　　　　　3辺は9　12　21となり　三角形にならない
　　　　　b-a=21のとき　　7a+b+4=8a+25=1,9,441　a=52　b=73　k=105　n=147
　　　　　　　　3辺は315　420　147となり　面積は√がつく
　　　　　b-a=441のとき　7a+b+4=8a+445=21は　解なし
(2)k=2a+1　n=2b　またはk=2a　n=2b+1　のとき　s=7a+ｂ+7/2となり　　S=√｛(奇数)/2×(奇数)/2×(奇数)/2×(奇数)/2｝
となるから　この数が整数値となることはない
(3)k=2a　n=2bのとき　各辺の長さは偶数になるので　1/2に縮小した図形の面積は168×1/4=42
この図形を考えるとよい　この図形で同様に考えたとき　各辺の長さが偶数になることはない
もし　そうであれば更に半分の長さの三角形の面積を考えたときヘロンの公式から分数がつかないことになるが
面積は21/2となるからである。

以上から（３) で述べた42のときを探すと15,20,7のときでこれを２倍した　30　40　14が求めるものとなる。