問題23　（tomh　さん）　　

問：円Aと円Bが点Tで外接しています(図を参照)。
円Aの半径をR、円Bの半径をrとします（R>r）。
2円の共通接線のうち（Tを通らない）1本をとり、
円Aとの接点をU、円Bとの接点をVと呼びましょう。
このとき、弧UTと弧VTでは、どちらが長いでしょうか？

解答(tomhさん）


円Aの点Tを通る直径の、点Tの反対側の点をSとします。
点S,Tから、それぞれ直線STの垂線を引き、直線UVとの交点を、それぞれ
M,Nとします。このとき、
　UN = TN = VN,
　SM = UM,
　TN < SM
が成り立ちます。よって、VN<UMです。

すると、線分UMを内分して、UL=VNであるような点Lをとることができます。
そして、線分ALと円Aとの交点をC、線分AMと円Aとの交点をDとします。
線分MCが円Aの外側にあることに注意すると、
　UM/UL = 1 +LM/UL
　　　　= 1 +△ALM/△ALU
　　　　= 1 +△ACM/△ACU
　　　　> 1 +扇形ACD/扇形ACU
となります。（"△…"や"扇形…"は、それぞれの図形の面積を表します。）
更に変形を続けると、
　UM/UL > 1 +扇形ACD/扇形ACU
　　　 　 = 1 +弧CD/弧CU = 弧UD/弧UC
　　　　　= (弧US/2)/(弧UT/2) = 弧US/弧UT　…(1)　　　　　です。

次に四角形MSAUとNTBVは相似なので、
　弧US/弧VT = UM/VN = UM/UL　…(2)　　　となります。
(1)と(2)を比べると、
　弧US/弧VT > 弧US/弧UT
　弧UT > 弧VT　　　　　　　　　　　　　　　　　　となります。
　∴ （円の半径に関わらず）弧UTの方が弧VTより長い。

解答２（tomhさん）


円Bの中心から直線AUへ垂線を引き、その足をHとします。
また、角HBA=φとおきます。
φの動ける範囲は
このとき、

　弧UT = R(π/2-φ),
　弧VT = r(π/2+φ)

となるので、差をとって、

　π(R-r)/2 -φ(R+r)

の正負を調べることになります。
ここで、注意しなければならないのは、パラメータφはRとrによって
決まってしまう量なので、独立変数ではないことです。ですから、
この式を単純にφで微分しちゃいけないんですねぇ。
で、どうするかというと、

　sinφ = AH/AB = (R-r)/(R+r)

という式を使って、

　π(R-r)/2 -φ(R+r) = [(R+r)/2] (πsinφ-2φ)　…　(A)

と変形して、（2(R+r)は必ず正なので）πsinφ-2φの正負を調べることに
します。これなら、φで微分しても大丈夫です。
実際、正負を調べてみると、（0<φ<π/2の範囲で）πsinφ-2φ>0が
分かります。よって、「弧UTの方が弧VTより長い」ことになります。

ところで、この"πsinφ-2φ>0"という不等式は、"Jordanの不等式"と
呼ばれている有名な不等式なんだそうです。証明方法も色々あるそう
なので、興味を持たれた方は研究してみて下さい。

注意点は、「微分を気楽にしちゃ駄目!」ということです。


補足（ほげ）

グラフから　直線OQの傾き　と　直線OPの傾きを考えて　sinφ/φ>１/(π/2)　から
sinφ/φ>2/π　
πsinφ>2φ
πsinφ-2φ>0　となります




解答（UnderBirdさん）　　
Tを通る共通接線と線分UVの交点をWとする。
このとき、UW=WV=WTで四角形AUWTと四角形WVBTは相似であることが容易にわかるから、
UW=ｘとおくと　　　　　　　　　　AU:WV=UW:VBより　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　R:x=x:rをといて、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　x=√(Rr)
∠UAT=θ(rad)　[題意より0<θ<π/2としてよい]とおくと、
∠UWT=π−θで　三角形UATと三角形UWTに余弦定理を用いると
　　　R^2＋R^2−2・R・R・cosθ={√(rR)}^2+{√(rR)}^2-2・√(rR)・√(rR)・cos(π-θ)　から
　　　R=r(1+cosθ)/(1-cosθ)
また、弧UT=Rθ、弧VT=r(π−θ)　だから、
　　　Rθ−r(π−θ)
　　=rθ(1+cosθ)/(1-cosθ)−r(π−θ)　　　　
　　 =r{2θ/(1-cosθ)−π}

f(θ)=2θ/(1-cosθ)−πとして
　　f ' (θ)=2(1-cosθ-θsinθ)/(1-cosθ)^2　　　
ここで、0<θ<π/2で常に(1-cosθ)^2>0だから　
　　　　　g(θ)=1-cosθ-θsinθとおくと　
　　　　　　　　g ' (θ)=-θcosθ<0(0<θ<π/2)　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　g(θ)は0<θ<π/2で減少であり　ｇ(0)=0であるから　
　　　　　　　　0<θ<π/2において　g(θ)<0　となり　　f ' (θ)<0であることになる　　
よって、f(θ)は0<θ<π/2で減少であり、
f(π/2)=0だから、
0<θ<π/2では、Rθ＞r(π−θ)よって、弧UT＞弧VT

解答（nobuさん）　　

共通接線の交点をOとします。
∠ＵＯＴ＋∠ＶＯＴ＝π　　　∠ＵＯＴ＞∠ＶＯＴであることより
∠ＵＯＴ＝π／２＋α、∠ＶＯＴ＝π／２−α　（０＜α＜π／２）とおけます。
また、∠ＡＵＯ＝∠ＡＴＯ＝∠ＢＴＯ＝∠BVO＝９０°であることから
∠ＵＡＴ＝∠ＶＯＴ、∠ＶＢＴ＝∠ＵＯＴ　

ｃｏｓ∠ＵＡＴ＝（Ｒ−ｒ）／（Ｒ＋ｒ）ｃｏｓ（π／２−α）＝（Ｒ−ｒ）／（Ｒ＋ｒ）
Ｒ−ｒ＝（Ｒ＋ｒ）×ｃｏｓ（π／２−α）

　弧UT−弧VT ＝Ｒ×（π／２−α）−ｒ×（π／２＋α）
＝（Ｒ−ｒ）× π／２ − （Ｒ＋ｒ）×α
＝（Ｒ＋ｒ）×ｃｏｓ（π／２−α）×π／２ − （Ｒ＋ｒ）×α
＝ （Ｒ＋ｒ）×（ｓｉｎα×π／２ − α）

ここでｆ（α）＝ ｓｉｎα×π／２ − α （０＜α＜π／２） とする
ｆ’（α）＝ ｃｏｓα×π／２ − １
ｆ’’（α）＝− ｓｉｎα×π／２ ＜０
ｆ’（α）は単調減少、ｆ’（０）＝ π／２ − １＞０， ｆ’（π／２）＝ − １＜０
これより　ｆ’（ｔ）＝０　となる　ｔ（０＜ｔ＜π／２）　が存在し、
ｆ（α）は ０＜α≦ｔ で増加、 ｔ≦α＜π／２ で減少。
ｆ（０）＝０， ｆ（π／２）＝1×π／２ −π／２＝0　　　　

以上より、０＜α＜π／２　の範囲で　ｆ（α）＞０　がいえた。
ゆえに　弧UT−弧VT ＞０すなわち　弧UTの方が弧VTより長い。


解答（kasamaさん）　
下図のように点Bから線分AUに垂線をひき線分ABとのなす角をθとします。


すると、
　弧TU=R(π/2-θ)、弧TV=r(π/2+θ)
ですから、弧TUと弧TVの差を調べればどちらが長いかわかりますね(*^_^*)。
　弧TU-弧TV=R(π/2-θ)-r(π/2+θ)=π(R-r)/2-(R+r)θ=π(R-r)/2-(R+r)sin^-1{(R -r)/(R+r)}･･･(※)
です。ここで、sin(θ)=(R-r)/(R+r)⇒θ=sin^-1{(R -r)/(R+r)}です。
え〜と、それで、サインカーブの下をかすめる直線をイメージしまして、
　0<x<π/2なら2x/π<sin(x)⇒x<sin(πx/2)⇒πx/2<sin^-1(x)　　...�@
です。これを(※)に適用しますと、
　弧TU-弧TV>π(R-r)/2-(R+r)π(R-r)/(R+r)/2=0
つまり、弧TUが弧TVより長い訳です。


解答（ろろさん）　
直線ＵＶと直線ＡＢの交点の作る角をθとすると
０＜θ＜９０°
この時
０＜sinθ＜１
Ｒ/sinθ　−　ｒ/sinθ　＝　Ｒ＋r
r　＝　Ｒ（１−sinθ）/（１＋sinθ）
孤ＵＴと孤ＶＴとの差を式にすると
２Ｒπ（９０−θ）/３６０−２Ｒπ（９０＋θ）/３６０*（１−sinθ）/（１＋sinθ）

＝２Ｒπ/３６０｛（９０−θ）−（１−sinθ）/（１＋sinθ）　×　（９０＋θ）｝
＝２Ｒπ/３６０（１＋sinθ）　×　｛（９０−θ）（１＋sinθ）−（１−sinθ）（９０＋θ）｝
＝４Ｒπ/３６０（１＋sinθ）　×　（９０*sinθ−θ）
この時
４Ｒπ/３６０（１＋sinθ）は常に正となる。
９０*sinθ−θ＝９０（sinθ−θ/９０）
Ｙ＝sinθのグラフは０＜θ＜９０の範囲で
Ｙ＝θ/９０のグラフの上にあるので
sinθ−θ/９０も常に正になる。
よって孤ＵＴ−孤ＶＴ＞０
となるので、孤ＵＴの方が長い。

解答（uchinyanさん）
以下では、角度は弧度法を使います。
∠UAT = θ とします。
T は共通内接線の接点なので、A、 T、 B は一直線上にあります。
そこで、□UABV を考えると、∠VUA = ∠UVB = π/2 なので、∠VBT = π-θ となり、
弧UT = Rθ、　弧VT = r(π-θ)、　cosθ = (R-r)/(R+r)　　であることがわかります。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（なお、R > r より、0 < θ < π/2 です。）

今、t = R/r > 1 とおいて、次の式　F　を考えます。
F = 弧UT - 弧VT = Rθ - r(π-θ) = (R+r)θ - rπ = r{(t+1)θ-π}
また　　cosθ = (t-1)/(t+1) = 1 - 2/(t+1)となっています
F の正負が弧の長さの大小を決定します。

ここで　準備として　α = π/(t+1) とおき　cosαとcosθ を比較します。
x = 1/(t+1) とおくと、　0 < x < 1/2 で、cosα = cos(πx) と cosθ = 1 - 2x とを
比較すればよいことになります。
0 < x < 1/2 では、cos は、正で、単調減少関数になっています。
さて、この二つの cosの大小 は、二つの関数y = cos(πx)　　および　y = 1 - 2xの
グラフを書いてみるとわかりますが、cos は、0 < x < 1/2で上に凸なので、
cosα = cos(πx) > 1 - 2x = cosθと分かります。
よって　cos の単調減少性より、α < θとなります。

これを使うと
F = r{(t+1)θ-π}>r{(t+1)α-π}=0
したがって、弧UT > 弧VT であることが分かります。