問題17　（始 受験勉強君　さん）

２つの正の整数A,Bが次の式を満たします。　A×A-B×B=9200
また　A:Bを最も簡単にした比C：Dを求めたところ　　CとDの和は2でも5でも割り切れない数になりました。
このとき、AとBをそれぞれ求めてください。

解答

A=KC　B=KDとします。　A×A-B×B=9200から　k×k(C×C-D×D)=9200
K×K×(C+D)(C-D)=2×2×2×2×5×5×23　であり　C+Dは２でも５でもわりきれない数であるから
C+D=２３となる　このとき　K×K×(C-D)=2×2×2×2×5×5となるが
この式からC-Dは平方数であることがわかり　C-D=(C+D)-2D=23-2Dから　C-Dは奇数であることがわかる。
またC-D<C+Dであるから　C-D=1となる。

よって　C=12　D=11　K=２×２×5=20　がわかるので　A=240　B=220 を得る