問題3　（tomhさん）

問：x^y = y^x (0<x<y)の有理数解(x,y)で、xを小さい順から並べたとき、
五番目の解はなんでしょう。

tomhさんの模範解答
x^y = y^x. (0<x<y)　…(☆)
まず、両辺の自然対数をとります。（両辺とも正の値なので、これは可。）
　y ln(x) = x ln(y)
　ln(x)/x = ln(y)/y.　…(1)

f(x) = ln(x)/xとすると、f'(x) = (1-ln(x))/x^2となります。
0<x<eのとき、ln(x)<1なので、f'(x)<0.
e<xのとき、ln(x)>1なので、f'(x)>0.
したがって、ln(x)/xは、0<x<eで増加、e<xで減少します。よって、(1)の
x、yは、（x<yなので、）eの両側にあります：0<x<e<y.

ここで、y/x = 1 +1/tとおきます。x<yですから、t>0なる実数です。
(☆)に代入すると、
　x^{x(1+1/t)} = {x(1+1/t)}^x
　x^x x^{x/t} = x^x (1+1/t)^x.
x^xは0ではないので、両辺をx^xで割ると、
　x^{x/t} = (1+1/t)^x
  x^{1/t} = 1 +1/t.

よって、xとyは、
　x = (1+1/t)^t,　…(2)
　y = (1+1/t)^{t+1} …(3)
と実数tによるパラメータ表示ができて、これがすべての実数解を表しています。

さて、今、xとyは、共に有理数ですから、y/x = 1 +1/tも実は有理数です。
よって、t自身も有理数になります。そこで、t=n/mとします。但し、
mとnは互いに素な自然数です。このm、nを使うとxは、
　x = (1+m/n)^{n/m} = ((m+n)/n)^{n/m}
と書けます。nとm+nも互いに素となるので、xが有理数であるためには、
nとm+nが、それぞれ、ある自然数のm乗でなければなりません：
　m+n = r^m,
　n = s^m,
　m = r^m -s^m.
r>sに注意しておきましょう。mの式を変形すると、
　m = (r-s) (r^{m-1} +r^{m-2} s + … +r s^{m-2} r +s{m-1})
　　= (r-s) ?(k=0,m-1) r^{m-1+k} s^k　…(4)
となります。ここで、m>1とすると、?(k=0,m-1) r^{m-1+k} s^kはm個の項から
なり、r>s（すなわち、r>1）ですから、この和は、mより大きくなります：
?(k=0,m-1) r^{m-1+k} s^k > m. すると、(4)より、m>mとなってしまい、
矛盾です。よって、m=1でなければなりません。したがって、t=nです。

故に(2)と(3)は、自然数nにより、
　x = (1+1/n)^n,　…(5)
　y = (1+1/n)^{n+1} …(6)
となります。これが、(☆)のすべての有理数解を表すパラメータ表示となります 。

次に、数列x_n = (1+1/n)^nが単調増加であることを示しましょう。そのために
次の式
　(1-a)^n > 1-na　(nは2 以上の自然数。0<a<1)　…(7)
を帰納法で証明しておきます。n=2のとき、(7)の左辺は、1-2a+a^2となり、
a^2の分だけ右辺より大きくなるので確かに成立します。
n=kのときに(7)が成り立つとすると（1-aが正になることに注意して）、
　(1-a)^{k+1} = (1-a) (1-a)^k > (1-a) (1-na) = 1 -(n+1)a +na^2 > 1 -(n+1)a
となり、n=k+1のときも成り立ちます。よって、(7)はn≧2なるすべての自然数で
成立します。■

いよいよ、数列x_n = (1+1/n)^nが単調増加であることを示します。n≧2として、
x_n/x_{n-1}の振る舞いを調べます。
　x_n/x_{n-1} = (1+1/n)^n / (1+1/(n-1))^{n-1}
　　　　　　　= (1+1/n)^n ((n-1)/n)^{n-1}
　　　　　　　= [(1+1/n)^n (1-1/n)^n] / (1-1/n)
　　　　　　　= (1-1/n^2)^n / (1-1/n)
　　　　　　　> (1-n/n^2) / (1-1/n)　(∵ 1/n^2<1なので(7)を適用)
　　　　　　　= 1.
よって、x_n>x_{n-1} (n≧2)、すなわち、x_1<x_2<x_3<…です。
これでx_nの大小関係がわかりました。
（y_n = (1+1/n)^{n+1}の方も同様なやり方で単調減少ということが示せます。
そして、x_n<y_nも示すことができて、2=x_1<x_2<x_3<…<y_3<y_2<y_1=4と
なりますから、x_nもy_nもある値に収束して、その値を"e"と書く、というのが
"e"の定義になるんでしょうね。この問題は、その逆を辿っているともいえます。
）

ということで、下から５番目のxの値は、x_5で具体的には、x_5=7776/3125です。
このとき、yは(y_5=)46656/15625です。

　∴ (7776/3125, 46656/15625).

問題にも書きましたように、この問題は割と有名で、例えば雑誌「数学セミナー 」
（日本評論社）の名物連載”エレガントな解答をもとむ”にも大昔に出題されて
いるようですし、手に入りやすい書籍でいえば、
[1] 遠山啓, "［新版］微分と積分　その思想と方法" （日本評論社 2001）
　　（旧版は1970年）
に載っています。（上記解答は[1]を参考にしました。）

tekiさん
ｘ~ｙ＝ｙ~ｘ　において、ｘ、ｙはともに有理数であるから、ｙ＝ａｘ（ａ＞1
の有理数）とおける。
これを与式に代入して変形すると、
(ｘ~(ａ-1))~x＝ａ~ x　・・・�@　となる。
指数関数は、底＞1で単調増加であるから、�@式は、
ｘ~(ａ-1)＝ａ　・・・�A　と等価である。
�Aより、ｘ＝ａ~1/(ａ-1)　・・・�B　が得られる。
ここで、ａ＝ｂ/ｃ　（ｂ，ｃは互いに素な正整数）とおくと、
ｘ＝（ｂ/ｃ）~（ｃ/（ｂ-ｃ））・・・�C　となる。
ここで、ｘは有理数であるから、（ｂ-ｃ）/ｃは正整数である。
よって、ｃ/（ｂ-ｃ）＝ｎ　（ｎは正整数）と置くと、
これを�C式に代入して、
ｘ＝（（ｎ+1）/ｎ）~ｎ・・・�D　（ｎ＝1、2，3........）　となる。
�D式はｎに関して単調増加であるから、ｘの小さい方から５番目の値は、ｎ＝5
の時
ｘ＝（6/5）~5　となる。

モルモット大臣さん
まずx^y=y^xはともに正であることからこの両辺の対数をとりylogx=xlogy
この式を変形してy/x=logy/logxここで(0＜x＜yで x,yともに有理数)より
y=tx (t＞1)とおくとxt/x=t=logtx/logx=(logx+logt)/logx=1+logt/logx
よってt=1+logt/logxさらに変形してt-1=logt/logxこれから(logt)/t-1=logx
logt^(1/t-1)=logx以上よりt^(1/t-1)=x、ここでt-1=a>0とおくとx=(a+1)^1/a
xが有理数であることからx=(a+1)^1/aが有理数となるためには1/aは整数である。(よ
ってa=1,1/2,1/3.....1/n, nは自然数)
そこで関数 x=(a+1)^1/aの増減を調べることにする。
まず 明らかに正であるx=(a+1)^1/aの両辺の対数をとり、logx=1/a×log(a+1)
ここで両辺の微分を考え1/xdx=[(-1/a^2)log(a+1)+1/a×1/(a+1)]da よって
dx/da=x[(-1/a^2)log(a+1)+1/a×1/(a+1)]=x/a[1/(a+1)-log(a+1)/a]
ここまでで[1/(a+1)-log(a+1)/a]=1/a(a+1)[a-(a+1)log(a+1)]に注目して
a-(a+1)log(a+1)=pの部分の2次微分を考えると
dp/da=1-log(a+1)-(a+1)/(a+1)=-log(a+1)＜0(a＞0より)であるよって一次微分の部
分は単調減少であり、[1/(a+1)-log(a+1)/a]=1/(a+1)-log(a+1)+logaは
a→+0の時には-∞となることからa＞0では常に負となる。
よって x=(a+1)^1/aも単調減少である。このことからaがa=1,1/2,1/3.....1/n の順
にxは大きくなることがわかる。よって小さい方から5番目の解xはa=1/5のときである
。
以上から求めるx=(1/5+1)^5=6^5/5^5=7776/3125この時、y=tx=(a+1)xであるからy=(
1/5+1)6^5/5^5 =6/5×7776/3125=46656/15625
答え   x, y= 7776/3125, 46656/15625

老眼鏡さん

QPerさん

巷の夢 さん
今ｘ／ｙ＝ｋと置くと、ｋは０より大きく、１より小さい。
この式を使いｘ＾ｙ＝ｙ＾ｘを変形すると、ｘ＝ｋ＾ｋ／（ｋ−１）となる。
そこでｋの値を１／２、１／３、２／３、１／４、３／４と分母を大きくしていくと規則性がみつかり、
５番目に小さいものはｋ＝５／６の時　（６／５）＾５＝７７７６／３１２５となる。