第78回 問題 （8月5日〜9月4日）
ある数を二乗すると、その数にはもとの数と同じ桁の場所に同じ数字が出てくるとします。
このような数の最大値を求めてください。
ただし もとの数の各位の数は0以外であるとします。
たとえば 25は二乗すると625 となるので この条件をみたします
解答
２桁の場合
ある数をAとします。題意から A^2-Aが100で割り切れるということになります。
A^2=A(A-1) 100=2×２×５×５であり A とA-1が同時に５の倍数ということはありませんから
AまたはA-1が25でわりきれることになります。
Aが２５で割り切れる時
A=25 A-1=24は４で割り切れるから 答えとなる
A=50 A-1=49は２で割り切れないから 答えではない
A=75 A-1=74は４で割り切れないから答えではない
A-1が25で割り切れる時
A-1=25 A=26は４で割り切れないから答えではない
A-1=50 A=51は２で割り切れないから答えではない
A-1=７５ A=76は４で割り切れるから答えである よって ２５ と ７6
３桁の場合
題意から A^2-Aが1000で割り切れるということになります。
A^2=A(A-1)
A=100b+cとします 0<b<9かつ cは２桁の数です。
A^2-A=A(A-1)=(100b+c)(100b+c-1)=100(100b^2+2bc-b)+ｃ（ｃ-１） となるので
c(c-1)は100の倍数でなければいけません。
c=25のとき
A=100b+25とすると A^2-A=(100b+25)(100ｂ+24)=25×4(4b+1)(25b+6)
(4b+1)(25b+6)が10で割り切れることになるが
4b+1は奇数なので 25b+6=(24b+6)+ｂが2の倍数
25b+6は5の倍数にはならないから4b+1=5b+(1-b)が５の倍数
よってbが2の倍数 かつ 1-b が 5の倍数
を考えると b=6
c=76のとき
A=100b+76とすると A^2-A=(100b+76)(100b+75)=4×25×3(25b+19)(4b+3)
(25b+19)(4b+3)が10で割り切れることになるが
4b+3は奇数なので 25b+19=(24b+20)+(ｂ-1)がｂの倍数
25b+19は5の倍数にはならないから4b+3=5ｂ+(3-b)が５の倍数
よって ６２５ と ３７６
4桁の場合
題意から A^2-Aが10000で割り切れるということになります。
A^2=A(A-1)
A=1000b+cとします 0<b<9かつ cは3桁の数です。
A^2-A=A(A-1)=(1000b+c)(1000b+c-1)=1000(1000b^2+2bc-b)+ｃ（ｃ-１） となるので
c(c-1)は1000の倍数でなければいけません。
よってc＝625 または c=376となります
c=625のとき
A=1000b+625とすると A^2-A=(1000b+625)(1000ｂ+624)=125×8(8b+1)(125b+78)
(8b+1)(125b+39)が10で割り切れることになるが
8b+5は奇数なので 125b+78が2の倍数
125b+39は5の倍数にはならないから8b+5が5の倍数
よってbが偶数 かつ b が 5の倍数 このような数は1<b<9にない
を考えると 解はない
c=376のとき
A=1000b+376とすると A^2-A=(1000b+376)(1000b+375)=8×125(125b+47)(8b+3)
(125b+47)(8b+3)が10で割り切れることになるが
8b+3は奇数なので 125b+47が２の倍数 よってbは奇数
125b+47は5の倍数にはならないから8b+3=10b+5-2(b+1)が５の倍数
を考えると b=9
よって ９３７６
5桁以上の場合
A^2-A=A(A-1)が100000=5＾5×2^5で割り切れる
題意から A^2-Aが100000で割り切れるということになります。
A^2=A(A-1)
A=10000b+cとします 0<b かつ cは4桁の数です。
A^2-A=A(A-1)=(100000b+c)(10000b+c-1)=10000(10000b^2+2bc-b)+ｃ（ｃ-１） となるので
c(c-1)は10000の倍数でなければいけません。
よってc＝9376となります
このとき A=10000b+9376とすると A^2-A=(10000b+9376)(10000ｂ+9375)=2^4×5^4×(625b+586)(16b+15)
(625b+293)(16b+3)が10で割り切れることになるが
16b+15は2の倍数にはならないから625ｂ+586が２の倍数
625b+586は5の倍数にはならないから16b+15=(15b+15)+bが5の倍数
よってbが偶数 かつ b+3 が 5の倍数 ｂは10の倍数となるから 各位に0が入らないことに矛盾する
よって５桁以上の数はない