第75回　 問題　（5月6日〜6月4日）　（中学生の範囲で解ける問題です）


0、1、1、2、2、3、3　の７つの数字を並べて７桁の自然数を作ります。すべての数の平均値はいくらになるでしょうか。　

解答１

0が先頭でもよいものとしてすべての並べ方は　7!/2!2!2!=630通り
0が先頭の並べ方は6!/2!2!2!=90通り

先頭の数の平均は　（１＋２＋３）/3=２

１の位は　0であるときが6!/2!2!2!=90通り　そのほかの数は　(630-90)/3＝150通り
１の位の平均は　(1+2+3)*150/540＝5/3

他の位も同じ

よって　2000000+5/3*111111=2185185

解答2

0が先頭でもよいものとして　各位に0でない数字が630/7*2=180回ずつ出現するので　合計は　(1+2+3)*180*1111111＝1199999880
0が先頭であるときは　　各位に0でない数字が90/3=30回ずつ出現するので　　合計は　(1+2+3)*30*111111＝19999980
よって平均は　(1199999880-19999980)/540＝1179999900/540＝2185185