図のように 円に内接する四角形ABCDがありAB=２ CD=５ となっています。直線BAと直線CDの交点を
Eとすると DE=3となっています。
Eを通り 辺BCに平行な直線と 対角線BDおよび 対角線CAの延長との交点をそれぞれF,Gとします。
このとき AGはDFの何倍になるでしょうか。
解答
方べきの定理から AE×(AE+2)=3×８ AE2+AE-24=0 より AE=４
△EBC∽△EDAより BC:DA=6:3=2:1 ．．．①
対角線ACと対角線BDの交点をHとする
△ADH∽△BCH および①より AH:BH=AD:BC=1:2 ．．．②
△ABH∽DCHより AH:DH=AB:DC=2:5 ．．．③
また HB:HC=AB:DC=2:5
④より (2×BH):HD=2:5 であるから AH:HC=1:5 ．．．④
すると
△ABC∽△AEGより AG:AC=AE:AB=2:4=1:2 より
AG=2AC=2(AH+HC)=2(AH+5AH)=12AH （④より）
△BCD∽△FEDより BD:FD=CD:ED=5:3 より
DF=3BD/5=3/5×(BH+HD)=3/5×(2AH+5/2AH) (② ③より）
=27/10AH
よって AG:DF=12AH:２７/10AH=40:9
AGは DFの40/9倍となります。