第54回　 問題　（7月5日〜8月4日）　解答
各辺の長さが自然数で、その総和がN（N≧5)である二等辺三角形があります。各辺上にそれぞれの辺の長さを一辺とする正方形
を作り　それらの正方形の面積の総和をSとします。Nを5の倍数とするとき　S/N²を最小とするNの最小値を求めてください。
また　そのとき　S/N²は　いくらになりますか

二等辺三角形の等辺をxとします。
S=x^2+x^2+(N-2x)^2=6x~2-4Nx+N^2=6(x-N/3)^2+N^2/3　となるので　
xをN/3に出来るだけ近い整数にしたときに　Sが最小値になることがわかります。
(直感的にも　正三角形に近いときSは最小になりそうです）

Nが3の倍数のとき　　　　　N=3kとすると　　　　x=k　のとき最小値　　N^2/3
Nが3の倍数でないとき　　N=3k±1とすると　　x=k　のとき最小値　　2/3+N^2/3となります。

このことから　Nが3の倍数のとき　S/N^2は最小値　1/3となることがわかりますから
Nが5の倍数であることを考えあわせると　　Nの最小値は　15となります。
　
以上から　15　　1/3が最終的な解答となります。