第46回　 問題　（11月5日〜12月4日）　

上の図のように　円に内接する四角形ABCDがあります。
AB=3cm　BC=4cm　CD=6cm　AC：BD=7：8　のとき　ADの長さはいくらになりますか。

解答

対角線の交点をPとします。三角形ABPと三角形DCPは相似で相似比がAB:DC=1:2より
BP=ｘとすると　CP=2xとなります。
三角形BPCと三角形APDは相似で相似比を1:kとすると　AP=kx　DP=2kxとなります。
AC:BD=(AP+PC):(BP+PD)=(kx+2x):(x+2kx)=(k+2):(1+2k)=7:8
よって7(2k+1)=8(k+2)から　k=3/2

BCAD=4:AD=1:3/2より　AD=6

注：
実際にこのような四角形は存在します。
三角形ACDがほとんど正三角形に近くなります。