第40回　 数学問題　（5月5日〜6月4日）



解答はメールか、フォームをクリックして送信してください。

円周率は3.14とします。
ぜひ正解者掲示板で解法等を教えてください。

解答
a(2005)、　絶対値(ｘ)　のように表記します。
絶対値が整数になるにはkも整数でなくてはいけません

絶対値(x-1)は数字x　と数字１の距離を表しています

a(1)=0となるには　１との距離が0　ですから　k=1　このとき
　a(0)=1　　 a(1)=0　a(2)=1　a(3)=0　a(4)=1　a(5)=0　a(6)=1　a(7)=0　a(8)=1　a(9)=0　a(10)=1...となっています
a(2)=1となるには　１との距離が1　ですから　k=0,2　このとき
　a(0)=0,2　 a(1)=1　a(2)=0　a(3)=1　a(4)=0　a(5)=1　a(6)=0　a(7)=1　a(8)=0　a(9)=1　a(10)=0...となっています
a(2)=2となるには　１との距離が2　ですから　k=-1,3 このとき
　a(0)=-1,3　a(1)=2　a(2)=1　a(3)=0　(4)=1　a(5)=0　a(6)=1　a(7)=0　a(8)=1　a(9)=0　a(10)=1...となっています
a(2)=3となるには　１との距離が3　ですから　k=-2,4　このとき
　a(0)=-2,4　 a(1)=3　a(2)=2　a(3)=1　a(4)=0　a(5)=1　a(6)=0　a(7)=1　a(8)=0　a(9)=1　a(10)=0...となっています
a(2)=4となるには　１との距離が4　ですから　k=-3,5 このとき
　a(0)=-3,5　a(1)=4　a(2)=3　a(3)=2　a(4)=1　a(5)=0　a(6)=1　a(7)=0　a(8)=1　a(9)=0　a(10)=1...となっています
a(2)=5となるには　１との距離が5　ですから　k=-4,6　このとき
　a(0)=-4,6　 a(1)=5　a(2)=4　a(3)=3　a(4)=2　a(5)=1　a(6)=0　a(7)=1　a(8)=0　a(9)=1　a(10)=0...となっています

このことから　わかるように　a(1)は　始めの数と1の距離であり　その距離が１づつ減って0になったあとは1,0,1,0をくりかえしています。

つまり　a(2005)=0となるには　2005番目または　それ以前の奇数番目に0となることが必要十分であることがわかります。
　　　　a(1)が0 , 2 , 4 , 6 , 8... 2004のとき　a(1) , a(3) , a(5) , a(7) , a(9) , ... a(2005) が0になりますから
k=1　-1と3　-3と5　-5と７　-7と９　　...-2003と2005　の2005個が答えになります。
小さい順に　並べると　-2003　-2001　　...　-7　-5　-3　-1　１（これが1003番目)　3　5　7　9　......　2003　2005

よって　小さいほうから1000番目の数は　-5　となります。　　


別解

y=｜ｘ−１｜のグラフ　　　　　　　　　　　　　　　y=||ｘ−１|−１|のグラフ|




　y=|||ｘ−１|−１|−１|のグラフ　　　　　　　　　　　y=||||ｘ−１|−１|−１|−１|のグラフ|


というイメージで絶対値が2005個くっついていると　山が2004個　谷が2005個できることがわかります。
またグラフは　x=1に関して左右対称ですから　これを利用するとよいでしょう。

（以下　省略）