第39回　 数学問題　（4月5日〜5月4日）
AB=10cm　BC=12cm　CA=8cm　の三角形ABCがあります。
この三角形の内心（内接円の中心）をIとします。
三角形ABI　三角形BCI　三角形CAIの重心をそれぞれP.Q.Rとするとき
三角形PQRの辺の長さの和　PQ+QR+RP　はいくらになるでしょうか。
（この問題は　中学の知識で解けます）

解答　実は三角形の内部の点は　内心I　でなくても　長さは一定になります。

辺AB,BCの中点をM,Nとします。
三角形ABCで中点連結定理から　MN=1/2ACとなります。
一方　三角形ＩＭＮにおいて　IP:PM=2:1　IQ:QN=2:1ですから
三角形IMN∽三角形IPQであり　相似比は3：2ですから
PQ=2/3MN=2/3×1/2AC=1/3ACとなります。
同様にQR=1/3AB　RP=1/3CBとなり
三角形PQRの周囲の長さは　三角形ABCの周囲の長さの1/3となります。
よって　(10+12+8)/3=10cmであることがわかります。