第36回　 問題　（1月5日〜2月4日）
Nさん　と　Yさんが　お互い400円づつ出して　ゲームを始めました。勝ったほうがすべての　お金をもらえるというわけです。
ところが　Nさんが　１勝したところでゲームを中断するはめになりましたので　お互いが出したお金を　その場で分けることになりました。
お互いが不服のないように分ける時　Nさんが受け取った金額を次の２つのようなゲームをした場合について答えてください。
(1)　先に3勝したほうが　勝ちとして　お金をすべてもらえるようなゲームの場合　　　たとえば　３勝２敗になったらもらえる
(2)　勝敗で５つの差がついたときに　お金をすべてもらえるようなゲームの場合　　　たとえば100勝95敗になったらもらえる

ただし　このゲームを1回するとき　Nさんと　Yさんの勝つ確率は　同じものとします。

　
(１)の解答

勝ちを○負けを×であらわします

このあと試合をつづけたとすると
　　�@の状態では　当然800円がNさんのものになります。
　　�Aの状態でもそうです　
　　�Bになると２勝２負なので　元金を400円づつ分けて終了になります。
　　そうすると　�Cのときには　�Aと�Bの平均の(800+400)/2をNさんが受け取ることになります。……なぜ平均にするとよいかは後ろの解説を見てください
　　同様に�Dでは　�@と�Cの平均で　(800+600)/2=700円をNさんが受け取ります。
　　�Eでは１勝１敗なので　400円づつ分けますね
　ですから　現在は　�Dと�Eの平均の　(400+700)/2=550円をNさんが受け取るとよいわけです。



平均を考えるとよいわけ
　�Cの状態になったとします。Nさんについて考えましょう。
　もし　Nさんが勝つと800円もらい　負けると400円もらうことになります。すると　Nさんは　どちらにしても400円はもらうことになるので
　先に400円を払っておきましょう。
　すると�Cの状態で　Nさんは　勝つと400円もらい　負けると0円になり、Yさんは勝つと400円もらい　負けると0円になることになります。
　ということは　�Cの状態でお互い200円を出し合い　400円をかけて１回勝負をしてることと同じです。
　ですから　�Cの状態でやめる時は　Nさんは　400円+200円=600円　もらい　Yさんは　200円もらって勝負をしない　というのが　解決案です。

　

より一般的に　a円を勝つとNさんが　勝つとx円もらい負けるとｙ円もらうとします（x>y)
　Nさんは　どうせy円は貰うので先にもらっちゃいます。
Yさんは　勝つと(a-y)円もらい　負けると(a-x)円もらいます。　
　Yさんはどうせ　(a-x)円はもらうので　さきにもらっちゃいます。

するとこのゲームは　Nさんにとっては勝つと　(x-y)円もらい　まけると0円もらうゲームになります
　　　　　　　　　　　　　Yさんんいとっては　勝つと　(a-y)-(a-x)=(x-y)円もらい　負けると0円もらうゲームになります。
ということは　（ｘ−y)円のゲームを始める寸前でゲームをやめることと同じですから　これを等分してわけて　ゲームをしない
というのが一番の解決策です。
ということで　Nさんのもらう金額は　y+(x-y)/2=(x+y)/2　Yさんのもらう金額は　(a-x)+(x-y)/2=a-(x+y)/2となります
つまり　上の図の�Dと�Eの平均となるわけです。

(2)の解答
このゲームは　400/5=80円を１回の勝負がきまるつどお互いにやり取りするというゲームと同じです。
５つの差ができた時に　400円の持ち金がなくなっておわるというだけの話です。
ですから　Nさんが１回勝ったということなので　Nさんが80円儲けてるといいわけですから　Nさんの受け取る金額は480円です。


より詳しい解説
お互いお金を出すのではなく相手から
�@の状況でa円受け取るとします
�Aの状況では１勝１敗ですから０円受け取ります。
�Bでは　　上で解説したように　�@=(�A+�B)/２より　　�B=2×�@-�Aですから　�B=2×a-0=2a円受け取ります
�Cでは　２勝１敗なので　1勝0敗と同じ状況です。よって�C=�@=a
�Dでは　�B=(�C+�D)/2より　�D=2×�B-�C=2×2a-a=3a
�Eでは　3勝１敗なので　2勝0敗と同じ状況です。よって　�E=�B=2a
�Fでは　�D=(�E+�F)/2より　�F=2×�D-�E=2×3a-2a=4a
�Gでは　4勝１敗なので　3勝0敗と同じ状況です。よって　�G=�D=3a
�Hでは　�F=(�G+�H)/2より　�H=2×�F-�G=2×4a-3a=5a

�Hの状況で５勝したので400円受け取る
つまり　5a=400から　a=80円ということがわかります。
問題文のルールだろ400円だしたので　480円受け取るということです


たとえば�Dの状況を考えるとよくわかるが�Eと�Fの平均が�Dそして�Eになることと　その前の�Bになることが同じ
つまり�Bと�Fの平均が�Dということになります。　つまり　�B�D�Fは等差数列になっていることがわかります。
ですから　この勝負の数字が5勝の差でも10勝の差でも同じように計算できることがわかります。

この(2)のような問題を入試では見かけないので　どうしてだろうと思ったら　上のような結果になりました。
だから入試では出ないんだ　ということを知りました（勉強不足…）
(1)は期待値の問題になるので　確率を出してもできるのですが　それは皆さんにお任せしようかなあ　と…。