第35回　 問題　（12月5日〜1月4日）
Ａ市の人口は9870650人　B町の人口は4300210人です。　あるときA市が開発され
その次の年から毎年　A市へ　B町の人口の98％が　都会をあこがれて引越し
　　　　　　　　　　　B町へ　A市の人口の1％が　田舎をあこがれて引越すようなりました。
この２つの街には他の街からの引越しはないものとして　20年後のB町の人口を整数で求めてください。

なお計算上小数が付くときがありますが　途中計算は四捨五入して計算しても　そのまま計算してもよいことにします。
最後の答は四捨五入して下さい

解答
四捨五入で計算すると
１年目　A市　13986149人　B町　184711人
２年目　A市　14027304人　B町　143556人
３年目　A市　14027304人　B町　143556人
４年目　A市　14027716人　B町　143144人
５年目　A市　14027770人　B町　143140人
６年目　A市　14027770人　B町　143140人

ですから　５年目以降は　人口はかわらないことがわかります。
20年目は　143140人

解答２

両方の人口をあわせると　14170860人ですから
ｎ年目のB町の人口をa(n)人とすると　A市の人口は　14170860-a(n)
よって翌年の人口は　
　　　　　　a(n+1)=0.01(14170860-a(n))+0.02×a(n)

　　　　　　a(n+1)=141708.6+0.01×a(n)
　　　　これから　
　　　　　　a(n+1)-143140=0.01(a(n)-143140)

たとえば　　a(5)-143140=0.01(a(4)-143140)
　　　　　　　　　　　　　　　=0.01×0.01(a(3)-143140)
　　　　　　　　　　　　　　　=0.01×0.01×0.01(a(2)-143140)
　　　　　　　　　　　　　　　=0.01×0.01×0.01×0.01(a(1)-143140)　　
　　　　　　　　　　　　　　　≒0ですから
　a(5)=143140になることがわかります
これから　５年目以降は　すべて　143140人になります

20年にすると　１年づつ計算する気がなくなるかなと思ったからです（意地悪ほげ　でした）　

ひとりごと
この収束が結構はやいので驚きました。計算してみるとあたりまえなのですが
全体の人口をaとすると収束値をXとして
　　a(n+1)=0.01(a-a(n))+0.02×a(n)から　
　　X=0.01(a-X)+0.02Xから　
　　0.99X=0.01a
　　　　　X=a/99となります

解答のようにやると　算数問題になりますが　あえて　数学問題として出題しました。
そうすると　隣接２項間の問題として考える方が多いのではないかと思ったからです。
むしろ　　隣接２項間の問題としてとらえ　　=0.01×0.01×0.01×0.01…のあたりでニヤリと
して欲しかったのです。

設定が極端で　現実とは合わないことは重々知っていますが
お許し下さい