第34回　 問題　（11月5日〜12月4日）

　3角形ABCの重心をGとします　図のように　AG=６cm　BG=８cmであり
また　AB×AB+BC×BC＋CA×CA=492cm^2　となっています。
このとき　CGの長さを求めてください。　

解答　

AG,BG,CGを延長しBC.CA.ABと交わる点をL,M,Nとします。
Gは重心ですから　AL=９　BM=１２となります。

またGは重心ですから　L,M,NはBC,CA,ABの中点になっています。
中線定理から
　　AB^2+AC^2=2(AL^2+BL^2)　よって　AB^2+AC^2=2 (81+BC^2/4) ……�@
　　BC^2+AB^2=2(BM^2+CM^2)　よって　BC^2+AB^2=2 (144+AC^2/4) ……�A
　　AC^2+BC^2=2(CN^2+AN^2)　よって　AC^2+BC^2=2 (CN^2+AB^2/4) ……�B

�@�A�Bを足すと　　　２(AB^2+BC^2+CA^2)=２(CN^2+225+(AB^2+BC^2+CA^2)/4)
　両辺を２で割りAB^2+BC^2+CA^2=492を代入して　　
　　　　　　　　　　　　492=CN^2+225+123より
　　　　　　　　　　　　CN^2=144
　　　　　　　　　　　　CN=12
　　　　　　　　　　　　CG=12×2/3=８


このような三角形が存在することは　�@に
AB^2+CA^2=492-BC^2を代入して　BCを求め　三角形の成立条件を満たすことを
調べることになります。
もちろん　存在することが確認できます。（省略）