第29回　 問題　（5月5日〜6月4日）

x,y,zを互いに異なる２以上の整数とします。

(xy-1)(yz-1)(zx-1)　がxyzで割り切れる時　100x+10y+zの最小値を求めてください。



解答

x,y,zを入れ替えても条件を満たすので　最小値を出す時には　x<y<zの条件の下で　この問題を解いてもよいことになります。

式を展開して(xy-1)(xyzz-yz-zx+1)=ｘｘｙｙｚｚ−ｘｙｙｚ−xxyz+xy-xyzz+yz+zx-1=(xyz(xyz-x-y-z)+(xy+yz+zx-1)
となるので　xy+yz+zx-1はxyzで割り切れることになります。　またこの式は明らかに正であるから
　xyz≦xy+yz+zx-1という式を得ます。　　よって　xyz<xy+yz+zxがわかります。

この式から　x<y<zをうまく使って　xyz<yz+yz+yzと変形すると　xyz<3yz　よって　x<3　
条件から　x=2となります。

このとき　2yz<yz+2y+2z　となるので　yz-2y-2z<0　　(y-2)(z-2)<4　を得ます。

(y-2)(z-2)=1のとき　y<zより　解なし

(y-2)(z-2)=2のとき　y<zより　(y-2,z-2)=(1,2)　　y=3　z=4
このとき　xy+yz+zx-1=2*3+3*4+4*2-1は奇数ですから　2*3*4で割り切れません。

(y-2)(z-2)=3のとき　y<zより　(y-2,z-2)=(1,3)　　y=3　z=5
このとき　xy+yz+zx-1=2*3+3*5+5*2-1=30は　2*3*5=30で割り切れます。

よって　x=2　y=3　z=5　が答えになります。