第28回　 問題　（4月5日〜5月4日）

10個の正の整数があります。その数をすべて足しても　すべてかけても同じ数になります。
このときすべて足した数はいくらになりますか。（もちろんすべてかけた数でもあります）

解答

１０個の数をa,b,c,d,e,f,g,x,y,zとします。また　a≦b≦c≦d≦e≦f≦ｇ≦x≦y≦zとします。
a+b+c+d+e+f+g=abcdefgxyzとなりますが　a+b+c+d+e+f+g+h+x+y+z≦10zより
abcdefgxyz≦10z　abcdefgxy≦10　　…�@　　となります。

ここで2≦fとすると　2≦g　2≦x　2≦y　2≦zとなり　16≦fgxyとなりますから　f=1
このことから　a=b=c=d=e=f=1となります。

すると�@の式は　gxy≦10　…�A　となります。
ここで3≦gとすると　同様に　27≦ｇｘｙとなり　�Aに矛盾しますから　g=1,2であることがわかります。

（その１）　ｇ＝２のとき
　xy≦5かつ　2≦x≦ｙより　x=y=2　このとき　1+1+1+1+1+1+2+2+2+z=1*1*1*1*1*1*2*2*2*ｚ　から　
12+z=8z　7z=12　これにzの整数解はありません

（その２）　g=1のとき
　xy≦10　　…�B　ですから　　4≦xのとき　4≦y、このとき　16≦ｘｙとなり�Bに矛盾します。
よって　x=1,2,3

（その2の１）　x=1のとき
８+y+z=ｙｚから　（ｙ−１）（ｚ−１)=9　　　　(y-1,z-1)=(1,9)、(3,3)　より　(y,z)=(2,10)　(4,4)

（その２の２）　x=2のとき
9+y+z=2yzから　4yz-2y-2z=18　　　(2y-1)(2z-1)=19　　(2y-1,2z-1)=(1,19)　より　(y、z)=(1,10)
これはx≦yをみたさない

（その２の３）　x=3のとき
10+y+z=3yzから　9yz-3y-3z=30　　(3y-1)(3z-1)=31= 1*31 これを満たす整数解はない

以上から(a,b,c,d,e,f,g,x,y,z)=(1,1,1,1,1,1,1,1,2,10)　(1,1,1,1,1,1,1,1,4,4)　
　
積または和は　16と20になります。