第24回　 問題　（12月5日〜2月4日）　




直径24cmの半円と　その半円に内接する一番大きな円を考えます。
半円の弧　と内接円の接点をBとします。
Pをこの内接する円の円周上にとるとき
AP＾2+BＰ＾2の最小値をもとめてください。

記号:AP^2は　APの長さを２乗することをあらわしています。
解答

　円の中心をOとして　円全体を描きます。

OP　OBを結ぶと　OBは小さい円の直径ですから角OPB=90°であることがわかります。
BPを延長して大きい円との交点をCとすると角OBP=90°から　PはBCの中点であることがわかります。
三角形ABCに対して中線定理を使うと、　AP^2+BP^2=1/2(AB^2+AC^2)となります。
よって　ACが最大のとき最大となり　その値は　　　AP^2+BP^2=1/2(AB^2+AC^2)=　1/2(24^2+12^2+12^2)=432　となります

解答２


実は当初考えていた解答は　次のようなものです
AP^2+BP^2=AD^2+PD^2+(OB^2-OP^2)
　　　　　　　=AD^2+12^2-(OP^2-PD^2)
　　　　　　　=AD^2+144-0D^2
　　　　　　　=(AD+0D)(AD-OD)+144
　　　　　　　=(AO+OD+OD)×OA+144
　　　　　　　=(12+2×OD)×12+144

このことから　ODが最大値のとき　最大に成ることがわかりODの最大は明らかに6でこのとき
AP^2+BP^2=(12+2×6)×12+144=432