第14回 問題 （2月5日〜3月4日）
7の2003乗の下５桁を求めてください。
もし下５桁が 0０123なら 123と掲示板に入力します。
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解答
7×7=49=50-1より 7^2000=(50-1）＾1000
これを二項定理で展開すると 1000Cｒ×50^r×(-1)^(1000-r)という項の
和になります。(r=0,1,2,…1000)
おのおのの項について
r>5のときは 50^rが100000で割り切れますから 下5桁はすべて0です。
r=４ のときは
1000C4×50^4=1000×999×998×997/4!×5^4×10^4
=250×333×499×997×5^4×10^4ですから 100000の倍数です
r=3 のときは
1000C3×50^3=1000×999×998/3!×5^3×10^3
=1000×333×499×5^3×10^3ですから100000の倍数です
r=４ のときは
1000C4×50^4=1000×999×998×997/4!×5^4×10^4
=250×333×499×997×5^4×10^4ですから100000の倍数です
r=3 のときは
1000C3×50^3=1000×999×998/3!×5^3×10^3
=1000×333×499×5^3×10^3ですから100000の倍数です
r=2 r=1を一緒に計算すると
1000C2×50^2-1000C1×50^1=1000×999/2×50＾2-1000×50^1
=1000×999×50×25-1000×50^1=1000×50(999×25-1)
ここで999×25-1は2の倍数ですから 1000×50(999×25-1)は 100000の倍数です。
r=1のときは １
以上より49＾1000は下５桁が00001となります。
これに7^3=343をかけると下5桁は343となります。
みなさんのコメント集
７の４乗の下２桁は０１（２４０１）です。これを１０乗すると、下３桁は００１となります。
つまり、７の２０００乗の下５桁は００００１です。よって、７の２００３乗の下５桁は、
７の３乗（＝３４３）の上に０が２つ付くことが解ります。
なお、念のため、「桁数無制限電卓」で確認しました。
桁数無制限電卓のＵＲＬは下記のとおりです。
http://www.cybersyndrome.net/rsa/calculator.html
みなさんと同じく規則性から
こんばんは！！中学受験の時期だけに、実験することで、何かに気付き、仮説を立て、
公式を作ってみて、もう少し大きな数字代入してみて、、、いけるぞ！！という瞬間が
最高にうれしいです。いつも、楽しく、ためになり、解きがいのある良問に感謝しております。
→実験仮説検証 というのが科学者としての基本ですね(~o~)
うーん、感心致しました。うまく作っていらしゃいますね。
今回の数学問題、ほげさんの模範解答のように展開することを思いつきませんでした。
昨夜は、とりあえず予測と飛び道具（桁数無制限電卓）で解答しましたが、納得できない
ので、ふとんの中で何とか電卓に乗る方法を考えました。下５桁を求める場合、６桁以降は
下５桁に影響しないので、下５桁を効率的に計算する方法を考えました。７(2~n)の下５桁を
n=0から10まで計算（この計算は10回やればすみます。）し、2003を２の累乗の和で表す
ことを思いつきました。
各位ごとに周期を考えて出しました。
2乗、4乗、8乗、16乗…と倍々ゲームで、下５桁のみを取り出して計算しました。
＃2000乗で"00001"になるとは、びっくりです。
2乗、4乗、8乗，16乗、....素直に計算です。でも計算間違いしたかも
LET X=1FOR I=1 TO 2003 LET X=X*7 IF X>99999 THEN LET X1=INT(X/100000)
LET X=X-X1*100000 END IFNEXT IPRINT XEND
電卓で計算させてみました。２項定理は思いつかなかったです。3^2003とかだとどう
なるんだろう、と思ってみたり。
エクセルでやりました。
２の累乗でやっていく方法は、天秤の重りの種類を最小にする問題と同様の考え方です。
２の累乗の場合、これらを足すと全ての自然数が表現できることに基づくものです。
今回のような、べき乗の計算には、非常に有効な計算方法と思われます。
な〜んて、偉そうなことを書いてますけど、実際は、最初、７の２乗から始めて、掛け算を繰り
返している内に、「な〜んだ、２乗、４乗、８乗、１６乗・・・なら下５桁が計算できるじゃん。」
と気が付いたものです。
難しい問題でした。以前３＾ｎ（ｎという数字は何だったかわすれましたが、、（＾＾；）を１０で
割ったあまりを求めよという問題で３＾２＝９＝１０-１という変形を二項定理を用いて解くもの
があったのでそれと同じように７＝１０−３としてやりましたがうまくいかず悩んだ末想定解と
同じ５０ー１＝４９＝７＾２を用いて解きました、
Excelで、=MOD(上の項*7、100000)で、あっという間に出ました。100乗毎に1になるのは驚きですね。
Excelをつかいました(^^;
エクセルでずらーと並べて、７＾２０００が１でびっくりしました。
難しかった〜。疲れた〜。
考え方としては、100000で割った余りなので、とりあえず３４３×（５０−１）＾1000の形にして、
３４３の後ろの式を二項定理で展開し、明らかに100000以上の項を切っていくと、残ったのが
（1000C2）・50＾2-（1000C1）・50＋（1000C0）より、下5桁のみの計算で1になります。よって、
これに３４３をかけて００３４３が下5桁の数になりました。これ、2003が素数なので、フェルマー
の小定理など使えるのでしょうか？？