第13回　 問題　（12月5日〜2月4日）

三角形ABCを鋭角三角形とします。内角の大きさがA=<B=<Cであり　tanA　tanB　tanCがすべて整数であるとき、
tanA　tanB　tanC　を求めてください
正解掲示板へは　小さい順に数をいれてください。



解答

A+B+C>=A+A+Aより　１80°>=3A　　　60°>=A>0　　　　√3>=tanA>0
よってtanA=1 A=45°
B+C=135°となり
加法定理から　tan（B+C)=(tanB＋tanC)/（1-tanB・tanC)
(tanB＋tanC)/（1-tanB・tanC)=-1
tanB＋tanC=-1＋tanB・tanC
tanB・tanC-tanB-tanC=1
(tanB-1)(tanC-1)=2　　0<tanB=<tanCに気をつけて
tanB-1=1　tanC-1=２　よって　tanB= 2　tanC=3
順に　1,2,3

３つのtangentが整数になる三角形があるという美しさ　と
整数問題1/a+1/b+1/c=1に帰着するというのがうれしくて
みんなに教えたいなあ（自慢したい？）というのが問題作成の動機でした(*^_^*)
でも算数問題に加工できないどころか　数学問題としてもいまいち...(^。^)

別解　浜田　明巳さん
　０＜Ａ≦Ｂ≦Ｃ＜π／２，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝πであるから，
　　０＜Ａ＝Ａ………(1)
　　０＜Ａ≦Ｂ………(2)
　　０＜Ａ≦Ｃ………(3)
　(1)，(2)，(3)の辺々を加えると，
　　０＜３Ａ≦Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π
　　∴０＜Ａ≦π／３
　　∴０＜tanＡ≦√３＝１.７………
　tanＡは整数なので，tanＡ＝１
　　∴Ａ＝π／４
　また，
　　tanＣ＝tan(π−Ａ−Ｂ)
　　　　 ＝−tan(Ａ＋Ｂ)
　　　　 ＝(tanＡ＋tanＢ)／(tanＡtanＢ−１)
　　　　 ＝(１＋tanＢ)／(tanＢ−１)
　　　　 ＝{(tanＢ−１)＋２}／(tanＢ−１)
　　　　 ＝１＋２／(tanＢ−１)
　tanＢ，tanＣは自然数なので，
　　(tanＢ−１，tanＣ)＝(１，３)，(２，２)
　　∴(tanＢ，tanＣ)＝(２，３)，(３，２)
　Ａ＝π／４≦Ｂ≦Ｃ＜π／２なので，１≦tanＢ≦tanＣ
　　∴(tanＢ，tanＣ)＝(２，３)
　　∴(tanＡ，tanＢ，tanＣ)＝(１，２，３)

根本的にはわたしと同じときかたですが　UPしました(~o~)

tanA=2　tanB=3のとき　tan(A+B)を求めよ　という問題がありますね。
直角二等辺三角形を作って解くやつです。
その問題からの発展問題でした