第10回　 問題　（9月5日〜10月4日）

問題

１から20までの数のうちから異なる２つの数を選び、それを掛けあわせた数の和を求めてください。
たとえば1から３であればペアは（1,2)　(1,3)　(2,3)となり　その積の和は　1×2+1×3+2×3=11となります。


解

求める和をSとすると
(1+2+…+20)²=1^２+２^２+３^２+...+20^２+2Sより
S= {(1+2+…+20)²ー(1^２+２^２+３^２+...+20^２)}/2

　=｛(20×21/2)²-20×21×41/6｝=20615


浜田　明巳さんの解答から
　１からｎまでの自然数のうちから，異なる２つの数の積の和をＳ(ｎ)とする．このとき，
　　{Σ(1≦k≦n)ｋ}^2
　＝(１＋２＋…＋ｎ)(１＋２＋…＋ｎ)
　＝(１^2＋２^2＋…＋ｎ^2)＋２{１・２＋…＋(ｎ−１)ｎ}
　＝Σ(1≦k≦n)ｋ^2＋２Ｓ(ｎ)
　∴Ｓ(ｎ)
　＝[{Σ(1≦k≦n)ｋ}^2−Σ(1≦k≦n)ｋ^2]／２
　＝{ｎ^2(ｎ＋１)^2／４−ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)／６}／２
　＝ｎ(ｎ＋１){３ｎ(ｎ＋１)−２(２ｎ＋１)}／２４
　＝ｎ(ｎ＋１)(３ｎ^2−ｎ−２)／２４
　＝ｎ(ｎ＋１)(ｎ−１)(３ｎ＋２)／２４
　確かにこの式から，
　　Ｓ(３)＝３・４・２・１１／２４＝１１
となる．
　故に答は，
　　Ｓ(２０)＝２０・２１・１９・６２／２４＝２０６１５

　miyaさんの解答から

ａ(n+1)＝ａ(ｎ)＋(n+1)(１＋２＋３＋・・・・＋ｎ）
という関係があるので
ａ(n+1)ーａ(n)＝１／２×ｎ(ｎ＋１)^2
階差数列の一般項が１／２×ｎ(ｎ＋１)^2であるから
ａ(n)＝ａ(1)＋Σ１／２×k・(k+1)^2　（ａ(1)＝０、ｋは１からn-1まで）
　　 ＝１／２４×n(n-1)(n+1)(3n+2)
n＝２０を代入して
１／２４×２０×１９×２１×６２＝２０６１５