第3回　問題　（2月10日〜3月9日）　

つぎの問いに答えてください。ただし答えは！（階乗）を使用した簡単な答えにしてください。
　エクセル等で桁数が多い数字を計算するのを防ぐ（わたしには計算できない）ためです。

解
　k×k！=｛（k+1）-1｝×k！=(k+1)×k!-k!=(k+1)!-K!
k=100のとき　100×100!=101!-100!
k=　99のとき　　99×99!=100!-99!
k=　98のとき　　98×98!=　99!-98!
k=　97のとき　　97×97!=　98!-97!
　　　　….……
k=　　2のとき　　2×2!=　　　3!-2!
k=　　1のとき　　1×1!=　　　2!-1!
この両辺を加えると
左辺=101!-1　となる

解２
K=１の時　　１×１!=１=２!-１　　
K=２の時　　２×２!+１×１!=５=３!-１
K=３の時　　３×３!+２×２!+１×１!=２３=４!-１ 　から
一般に　k=nのとき　与式=(n+１)!-１と予想する
これを数学的帰納法で証明すると…
　K=１の時　　１×１!=１=２!-１　よって成立する
　k=nの時　　与式=(n+１)！-1が成立すると仮定すると
　k=n+1の時　与式=(n+１)！-1+(n+1)×(n+1)!=(n+1)!×｛1+(n+1)｝-1
　　　　　　　　　　　　=(n+2)×(n+1)!-1=(n+2)!-1
　よって証明された。
　K=100を代入して　　　101!-1


解3

2!=2×1!=(1+1)×1!=１×1!+1
3!=3×2!=(2+1)×2!=2×2!+2!=2×2!+１×1!+1
4!=(3+1)×3!=3×3!+3!=3×3!+2×2!+１×1!+1
…
このことから　
(n+1)!=(n+1)×n!=n×n!+n!=n×n!+(n-1)×(n-1)!+…3×3!+2×2!+１×1!+1
よって　1を移項して　n=100として、与式=101!-1


解４（虚数さん　ちーくんさん　YNagahiro さん）

手で計算する　

94259477598383594208516231244829367495623127947025437
68327889353416977599316221476503087861591808346911623
490003549599583369706302603263999999999999999999999999
　Ｍａｔｈｍａｔｉｃａでもできるそうです

解５（ふじさきたつみ さん）

求める解を　Aとすると、
A+１！＋２！＋３！＋・・・・・・＋１００！
＝２！＋３！＋４！＋・・・・・＋１００！＋１０１！
　したがって、A＋１＝１０１！
　　　　　　　∴　A＝１０１！−１