第1回問題解答

解３　
数式計算ソフト「Ｍａｐｌｅ」君に 1/(x-1) + 1/(x-2) + 1/(x-3) = 0  と
1/(x-1) + 1/(x-2) + 1/(x-3) + 1/(x-4) = 0 を解いてもらって解が
(x_j,x_j+1) ( j=1..19 ) に各１個あると予想。そして、k=16 を送信。

解４
区間 [xk,xk+1]間に１個ずつ実数解があります。

　eを限りなく小さな正の実数とすれば、
f(xk+e)>0,f(xk+1-e)<0 となりますから、この区間に
少なくとも１個の実数解が存在します。
　一方、問題の方程式は通分すれば１９次方程式と同義
なので、実数解はたかだか１９個しか存在しません。
以上により、実数解は、各区間ちょうど１個ずつあります。

解５
　これが私のお気に入りの解答です。
どうやら、私は、自分の能力の及ばない解答にであったときに
（頭をガツンとやられつような解答）お気に入りになるようです。

20次方程式　f(x)=(x-x1)(x-x2)...(x-xn)　を考えると、
19次方程式　f'(x)=0　が与えられた方程式になりますから、
f(x)の極値のxが与えられた方程式の解です。
f(x)=0　の解は、x1,x2,...,xn、ですから[xk,xk+1)には(k<n)必ず極値が１つ
あるはずでありf'(x)=0の解の位置が分かります。