第104回　算数問題　（11月5日〜12月4日）

AB=6 BC=7 CA=5　の三角形ABCがありその外接円の中心をOとします。
三角形OABの重心をP　三角形OBCの重心をQ　三角形OCAの重心をRとします。
三角形PQRの面積と　三角形ABCの面積の比はいくらになるでしょうか。

解答

Pは重心であるから　OPとABの交点をDとするとDはABの中点...　�@
Rは重心であるから　ORとACの交点をEとするとEはACの中点...�A
OP:OD=2:3　OR:OE=2:3となっており　三角形OPRと三角形ODEは相似であり　
相似比は2:3　かつ　PRとDEは平行である。

中点連結定理から　DEはBCと平行でDE=1/2BC

よって　PRもBCと平行でPR=2/3DE=1/3BC

同様にPQはACと平行で　PQ=1/3AC

よって　三角形QRP　と　三角形ABCは相似で相似比が３：１

面積比は　３：１