第103回　算数問題　（10月5日〜11月4日）

ある町では　うわさが広まるのがとても早く　うわさを知ったある１人から１時間毎に
　　　そのうわさを知らない１人に話す確率が１/2
　　　そのうわさを知らない２人に話す確率が1/6
です。
今　この町の１人が　あるうわさを知ったとします。2時間後までに　この１人から伝わったうわさを
本人を含んで全部で５人が知っている確率はいくらになるでしょうか。

注　最初の人は　次の１時間ごとに同じ確率で話をします。

解答　

１時間後２人が知っている場合
　１時間で２人になる確率は1/2
　２時間後までに　このうち一方が２人に　もう一方が１人に話しをする
　よって　1/2×1/6×２

１時間後に３人が知っている場合
　１時間で３人になる確率は1/6
　次の１時間で
　３人のうち2人が話しをして残り1人が話をしない
　　1/6 * 1/3 * 1/3 * 3
　または
　３人のうち1人が話しをして残り2人が話をしない
　　1/2 * 1/2 * 1/3 * 3
以上より

1/2 * 1/2 * 1/6 * 2 + 1/6 * (1/6 * 1/3 * 1/3 * 3 + 1/2 * 1/2 * 1/3 * 3)
= 1/12 + 1/6 * (1/18 + 1/4)
= 1/12 + 1/6 * 11/36
= 29/216