第97回　算数問題　（4月5日〜5月4日）

袋の中に４つの玉がはいっておりそれぞれ２，３，４，５の数字が書かれています。この袋から玉を１つずつ取り出します。
１つ取り出すたびに　それまでに取り出した玉の個数よりも最後に取り出した玉に書いてある数の方が大きいときに勝ち
少ないときに負け　等しいときに引き分け　と判定をします。すべての玉を取り出したときに　１回だけ負ける確率は
いくらでしょうか。
取り出した玉はもとに戻さないものとします。

たとえば　７個目に取り出した玉の数が６であれば負け　ということです。

解答

2を出して負けるとき
　その１　２が　4番目に出る
　　　　　　３、４，５はどの順番でもよい　3!=６通り
　その２　２が３番目に出る
　　　　　　３は1番目または2番目の２通り
　　　　　　４、５は自由
　　　　　　よって　１×２×２=４通り

3を出して負けるとき
　３は1番目または２番目
　２は1,2番目のうち３が出なかったところ1通り
　４は1,2,3,4のうち2,3が出なかったところ２通り
　５はのこりの１つ
よって　２×1×２×1=4通り

以上から　14/4!=7/12

abc　さん　と　uchinyan　さんが　一般化してくれました。

n 個の玉，数字が 2 〜 n+1 の場合で，1 回だけ負ける確率 p(n) は，
p(n) = (2 * 3^(n-1) - (n+1) * 2^(n-1))/n!

k(3≦k≦n)回目で数字m(2≦m≦k-1)を出して１回だけ負ける場合の数は、3^(k-3)*2^(n+1-k)*(2/3)^(m-2)　となります。

２で勝つので　１番目か２番目　２通り
３で勝つので　１番目から３番目のうち２で使った以外　２通り
４で勝つので　１番目から４番目のうち　２，３で使った以外２通り
...
m-1で勝つので　２通り
mはk回目に出て負けるので　１通り
m+1で勝つので　１番目からm+1番目のうち　2からm-1で使った残り　３通り
m+2で勝つので　１番目からm+2番目のうち　2からm-1,m+1で使った残り　３通り
....
k-1で勝つので　１番目からk-1番目のうち　2からm-1,m+1からk-2で使った残り　３通り
kで勝つので　１番目からk番目のうち　2からk-1で使った残り　2通り
k+1で勝つので　１番目からk+1番目のうち　2からkで使った残り　2通り
...
nで勝つので　2通り
n+1で勝つので　1通り

これをa(k,m)と表すことにすると、
a(k,m)=2^(m-2)*3^(k-m-1)*2^(n-k+1)
　　　　=1/6*2^n*(2/3)^m*(3/2)^k

１回だけ負ける場合の数は、
�納k=3,n]�納m=2,k-1]a(k,m)
=　1/6*2^n*�納k=3,n](3/2)^k*4/9*(1-(2/3)^(k-2))/(1-2/3)　
=2/9*2^n*�納k=3,n](3/2)^k*(1-(2/3)^(k-2))
=2/9*2^n*�納k=3,n]((3/2)^k-9/4)
=2/9*2^n*(27/8((3/2)^(n-2)-1)/(3/2-1))-2/9*2^n*9/4*(n-2)
=3/2*2^n*((3/2)^(n-2)-1)-(n-2)*2^(n-1)
=2*2^(n-1)-3*2^(n-1)-(n-2)*2^(n-1)
=2*3^(n-1)-(n+1)*2^(n-1)