第93回　算数問題　（11月5日〜12月4日）

図のように周囲の長さが60cmの円があります。弧ABは弧ADより8cm長く　　弧BCは弧ABより12cm長くなっています。
このとき弧CDの長さを求めてください。


解答　17cm

解１

図のように　弦ACに対し左右対称に弦A'C'　弦BDに対し上下対称に弦B'D'を描きます。
条件から　弧AA'=弧CC'=8　　弧BB'=DD'=12となります。
弧AD=弧A'B=弧B'C'＝弧CD'　ですから　60-２×(8+12）=20
弧CD'=20÷４＝5
弧CD=5+12＝17であることがわかります。

解2

BDに平行に直径B'D'を描きます　すると　
AD+BC=（AD'-DD'）＋（BB'+B'C)＝AD'＋B'C　となります。
ACと平行に直径A’C'を描きます　すると
AD'+B'C=（A'D'-AA'）＋(B'C'+CC')=A'D'＋B'C'　となります。

よって　向かいあう２つの弧の長さの和は円周の半分であることがわかります。

このことから　BCは　ADよりも8+12＝20ｃｍ長く　BCとADの長さの和は　60÷2=30であるから
ADの長さは　(30-20）÷２=5であることがわかります。
よって　ABは　5＋8＝13cm
ABと　CDの長さの和も30cmですから　CD=30-13＝17cmであることになります。