上の図のようにAB=13cm BC=5cm CA=12cmの直角三角形と Oを中心とするこの直角三角形の内接円がある。
円とAB,ACとの接点をP,Qとするとき 三角形OPQの面積はいくらになるでしょうか
解答
前半 円の半径を求める
解１
円OとBCの接点をRとする
図の○の長さは同じであるから 赤○＋青○＝１３
AC+BC=赤○＋青○＋黒○＋黒○＝5＋12＝17
１３＋黒○＋黒○＝17
よって 黒○＝2
これより 内接円の半径は2cmであることがわかる。
解２
三角形の面積を考えると 内接円の半径をｒとして
三角形ABO＋三角形BCO＋三角形CAO＝三角形ABCから
1/2×（13ｒ＋5ｒ+12ｒ）=1/2×５×１２より
30ｒ＝5×１２
r=2
後半 面積を求める
解１
OQの延長線上に点Pからおろした垂線をHとする
三角形ABCと三角形OPHは相似であるから
PH=２×5/13=10/13
よって三角形OPQ=1/2×２×10/13=10/13
解2
三角形ABC=1/2×５×12＝30
AP=AQ=12-2＝10より
三角形APQ=30×10/13×10/12=250/13
三角形OBC=１/2×５×２＝5
5角形OPBCQ=2×三角形OBC=2×5=10
よって 三角形OPQ=三角形ABC-三角形APQ-5角形OPBCQ
=30-250/13-10
=20-250/13=10/13