第8２回　算数問題　（1２月０５日〜1月4日）

自然数を２つの自然数の積に表記したときに　その表記の仕方が２８通りあるような　２００８　以下の数をすべて加えるといくらになるでしょうか。

たとえば　４＝１×４=２×２=４×１　となるので　４は３通りの表記ができます。

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解答
n=A×Bと表記したとき　AもBもｎの約数となっているので　約数の個数が２８個ある数を見つける
とよいことになります。（平方数は奇数個の約数になるので　A≠Bであるから）

自然数をnとして　その素因数分解を　n=p^a×q^b×r^c×...と表記するとき
その約数の個数は　(a+1)(b+1)(c+1)...となっています。

14をいくつかの積に表すことにより　a,b,c...を求めます　(a≧b≧c≧...>0　とします）

�@２８のみ
a=２７で　n=p^２７のとき　　ｐ=２で最小で　n=2^２７　は　条件に合わない

�A２８=１４×2のとき
a=１３　b=1であるから　　　n=p^１３×q≧２＾１３×１=８１９２　となるので　条件に合わない

�B２８=７×４のとき

a=６　b=３　であるから　　　　p=2　q=3のとき　n=２＾６×３＾３＝１７２８
　　　　　　　　　　　　　　　　　　p≧2　q>3　のとき　n>2^6×5^3=１２５０００　となるから条件に合わない
　　　　　　　　　　　　　　　　　　p≧3　q=2のとき　n≧3^6×2^3=５８３２　となるから　条件似合わない

�C28=７×２×２のとき
a=6　b=1　c=1　　であるから　　q<rとしてよい
　　　p=2のとき　　　　q=3　r=5のとき　n=2^6×３×５＝９６０
　　　　　　　　　　　　　q=3　r=7のとき　n=2^6×３×７＝１３４４
　　　　　　　　　　　　　q=3　r≧１１のとき　n≧2^6×３×１１＝２１１２　となるから　条件に合わない
　　　　　　　　　　　　　q≧５　ｒ≧７のとき　n≧2^6×５×７＝２２４０となるから条件に合わない
　　　p=3のとき　　　　q≧2　r≧5より　n≧3^6×2×5＝７２９０　となるから条件に合わない


以上より　９６０＋１３４４＋１７２８=４０３２