第74回　算数問題　（4月7日〜5月4日）

2０をいくつかの正の整数の和の形にします。
次にその数をすべてかけます。ことのとき　そのかけた数の最大値はいくらになるでしょうか。

20=a+b+c+d+...とするとき　abcd...の最大値を求めなさい　ということです。

解答

a,b,c,d...の中に１があるとすると
1×a×b×c...<(1+a)×b×c...であるから　1はない　　

a,b,c,d...の中に5以上の数があるとき
その数をxとすると　　3(x-3)-x=2x-9>0であるから　x<3(x-3)　となっている
　　　　つまり　　xをさらに３とx-3に分けたほうが積は大きくなるので５以上の数はない

以上のことから　a,b,c...は　２，３，４のどれかの数である。
4=2+2＝2*2であるから　a,b,c,...は　２または３のどれかの数であるとしてよい

この数のなかに　２が３つあるときは　2*2*2<3*3であるから　2は３つ以上はない。

よって　20=2+3+3+3+3+3+3　と分割した時に　それらの数の積が最大となりその値は
2*3^6=1458　であることになる