第7２回　算数問題　（2月5日〜3月4日）
∠Aを直角とする直角三角形ABCがあり、AB=12cm　AC=6cmとなっています。
辺ABの３等分点をAに近いほうからD,E　辺ACの３等分点をAに近いほうからF,G　辺BCの中点をMとします。


線分DE上に点Pを　線分FG上に点Qをとるとき　三角形PQMの面積の最大値はいくらになるでしょうか。

解答

辺ABの中点をNとします。NMとACが平行であることに気をつけてください。

（その１）点Pが線分DN上にあるとき　
Pを固定して考えると　QがGに一致している時が面積最大であることがわかります。
このような三角形のなかで面積が最大になるようなPの位置を考えると　PがDに一致している時となります。

このとき　三角形APQ=三角形ABC×1/3×2/3=三角形ABC×2/9
　　　　　　三角形PBM=三角形ABC×2/3×1/2=三角形ABC×1/3
　　　　　　三角形CQM=三角形ABC×1/3×1/2=三角形ABC×1/6
　よって　三角形PQM=三角形ABC×（1-2/9-1/3-1/6)=三角形ABC×5/18
　　　　　　　　　　　　　　=1/2×12×6×5/18＝10

（その2）点Pが線分EN上にあるとき
　　　

Pを固定して考えると　QがFに一致している時が面積最大であることがわかります。
このような三角形のなかで面積が最大になるようなPの位置を考えると　PがEに一致している時となります。

このとき　三角形APQ=三角形ABC×1/3×2/3=三角形ABC×2/9
　　　　　　三角形PBM=三角形ABC×1/3×1/2=三角形ABC×1/6
　　　　　　三角形CQM=三角形ABC×2/3×1/2=三角形ABC×1/3
　よって　三角形PQM=三角形ABC×（1-2/9-1/6-1/3)=三角形ABC×5/18
　　　　　　　　　　　　　　=1/2×12×6×5/18＝10

その１　その２　より答えは10cm^2となります。