第61回　算数問題　（3月5日〜4月4日）

辺AB　CD　DAが鏡になっている正方形ABCDがあります。
点Bから発射した光が図のように反射して辺BC上の点Sに達しました。
このとき　光が交差した点をTとすると　BT:TP=2:3であったそうです。
このとき正方形ABCDと四角形PQRTの面積比はいくらになっていますか。
　　　

信三さんの解答

Ｔを通ってＡＤに平行線を引き辺ＡＢ、ＣＤとの交点をそれぞれＥ、Ｆとすれば、
三角形ＴＥＢ，ＴＦＰは相似で相似の比は２：３。
線分ＥＢの長さを２ａ、ＴＥの長さを２ｂとすると、ＦＰ＝３ａ、ＴＦ＝３ｂ。
三角形ＴＥＢ、ＴＥＲ、ＱＤＰは合同。三角形ＴＦＰ、ＱＡＲは合同。
正方形の一辺の長さは、ａを単位にすると７ａ、ｂを単位にすると５b。
正方形から線分ＥＦより下の長方形と４個の三角形の面積を引くと
（ａxｃを単位として）３５−１０−９−４＝１２。従って、答えは　３５：１２。

ほげ　の解答



同じ角度にしるしをつけました。
BT=�Aとすると　三角形BTSは二等辺三角形ですから　TA=�A
三角形BTRは二等辺三角形ですから　RT=�A
よって　RS=�C

また　四角形PQRTは平行四辺形ですから　PQ=�A　QR=�Bであることがわかります。

PC=5とすると三角形BCPと三角形QDPが相似であるから　PD=2
DQ=2とすると　三角形QDPと三角形QARが相似であるから　QA=3　AR=3

三角形AQRの面積を９とすると　三角形PDQの面積は４　台形　ARPQの面積は　２５
よって　三角形PQRの面積は　２５−９−４＝１２
平行四辺形PQRTの面積は　12×２=24
正方形の面積は　70となるので　　24:70=12：35　となります