第55回　算数問題　（8月4日〜9月4日）
太郎君はA地点からB地点へ向かって　次郎君は　B地点からA地点に向かって同時に出発し、
A地点とB地点の間を休まずに何度か同じ速さで往復しました。
　二人は最初に出会った地点から4kmはなれた地点で２回目に出会い,２回目に出会った地点から
2kmはなれた地点で３回目に　出会いました。途中で次郎くんは何回か太郎君に追い越されたかも
しれません。（追い越したのは出会ったことにはなりません）

太郎君と次郎君の速さの比を求めてください。
２つ以上の答えがあるときは比の値の小さい順にカンマで区切ってください。

解答

文章の内容から　太郎君の方が早いか同じ早さであると考えてください。
（問題の文章だけでは　次郎君の方が早いことも考えられますが）
１回目に出会ったのが　ABの間のP地点です。出発から　出会うまでの時間を�@とします。
２回目に会うまでに�Aの時間が経過します。次郎君は　Aを通過している場合と通過していない場合があります。

�T　次郎君がAを通過している場合

２回目に出会った場所QはAPの間です。QがPBの間とすると　�Aの時間で　次郎君がAPの２倍以上を移動することになり最初の条件にあわないからです。
すると　次郎君は　�Aの時間で　太郎君の進む距離より4km少ないので　太郎君と次郎君の�@時間あたりに進む距離の差は2kmであることがわかります。
つまり　

よってAQ=BQ2　QQ１=Q１P=PQ２=2km　として　上の図のように進んでいると考えられます。
このあと太郎君は　AQの２倍+8km進むことになるのですが　その点はQQ２=0　としても　せいぜい点Pであり　点Q１よりは
右側になりますから　３回目に出会う地点は　条件を満たさないことがわかります。

�U　次郎君がAを通過していいない場合

　このときは　�A単位時間あたり次郎君が進む距離は4kmであることがわかります。
このあと　さらに�A単位時間たった後に二人が出会う場所をRとすると、Rは
Aで折り返してAQの間の場合と　PQの間の場合があります。

�U-1　RがAQの間のとき

上のように　AR間の距離が1kmであることになりますから
�@単位時間当たりに進む距離は　太郎君7km　次郎君2km　速さの比は7:2となります。

�U-1　RがPQの間のとき


上のように　AQ間の距離が1kmであることになりますから
�@単位時間当たりに進む距離は　太郎君5km　次郎君2km　速さの比は5:2となります。