第53回　算数問題　（6月5日〜7月4日）

下の図のように直角二等辺三角形ABCの辺ABをAのほうに延長しその延長線上に点Dを、また　辺BC上に点Eを
AD=BC=3cmとなるようにとります。ACとDEの交点をPとします。
三角形ADPと三角形CEPの面積比が2:3となりました。
このとき四角形ABEPの面積を求めてください。。

解答

上の図のようにDCを結び　またPからAB　BCへ垂線を下ろし　その足をQ,Rとします。

最初に　三角形ADCと　三角形CEDの面積を比較します。
　ともに3cmの辺　AD　CEを底辺と考えると　
　三角形ADCの高さは　二等辺三角形ABCと同じ高さ
　三角形CEDの高さは　二等辺三角形ABCの高さより3cmだけ高い
よって三角形CEDの面積は　三角形ADCの面積より　1/2×3×3=9/2cm^2だけ多いことがわかります。
この三角形CED　三角形ADCから共通の三角形CDPを除いた三角形ADPと三角形CEPの面積の差も9/2で
この差が　�B-�A=�@ですから　�A=9/2×2=9cm^2であることがわかります。

三角形ADPの面積から　PQは9÷3×2=6cm
PRは　6×3/2=9cmとなり　三角形APQ　は二等辺三角形ですから
AQ=6cm　であり　AB=15cmであることがわかります。
よって四角形ABEP=三角形APC-三角形PEC=1/2×(15×15-3×9)=99cm^2　　となります。