第51回　算数問題　（4月5日〜5月4日）

下にある式は１ケタの数と２ケタの数の掛け算の答えが等しいことをあらわしているとします。
アからケには　１から９までの数が１回づつ入るとします　アよりエが大きく　エよりキが大きいとき
アイウエオカキクケを並べた数はいくらでしょうか。


アエキの大小を考えずに答えをもとめよう。

偶数は2,4,6,8の４つあるから　　アエキウカケのどこかに入る。よってこの積は偶数となる。
また　この積が５の倍数であるとすると　5が何回も使われることになるから　5は　イオクのどこかに入る。
この積は５の倍数ではない

よってイに５が入るとして　イウの数字は　51から59のいずれかになるとしてよい
�@イウが51のとき　
51=3×17であるから　オカ　クケは１７の倍数である。
２桁の17の倍数は　17　34　51　68　85　　
51が使われるので１７,　85は使われない（１　5　が重複）　よって　２桁の３つの数は　34　51　68
このとき　アイウに7という数字は１回しか使われないから３つの数がすべて７の倍数になることはない
答えはない
�Aイウが52のとき　
52=4×13から　オカ　クケは１3の倍数である。
２桁の13の倍数は　13　26　39　52　65　78　91　　
52が使われるので26,　65は使われない（１　5　が重複）　よって　2桁の数は　13　39　78　91
91が使われるとすると　52　78　91　となり　91だけが7の倍数で　積は7の倍数となるが　アエキに７ははいらない　
91が使われないとすると
　　　　　　13　52　78　のときは　52=13×4　と　78=13×6の最小公倍数は　13×12であるから　13×1桁にはならない
　　　　　　39　52　78　のときは　52=13×4　と　78=13×6の最小公倍数は　13×12であるから　アイウのなかに1は入らない
答えはない
�Bイウが53のとき
53は素数であるから　53の倍数の２桁の数は３つない
答えはない
�Cイウが54のとき

5-1　数字の１が１桁の数として使われる時
　　　　ア×54　1×エオのように使われる時　アには２以上の数がはいるので　この積は2桁になる
　　　　よってエオに入る数はないことがわかる
　　　　1×54=ウ×エオ=カ×キク　となるとき　エオ　キクには　54の約数が入るので　27　18
　　　　このとき1が重複しているので答えはない

5-２　　数字の１が２桁の１の位の数として使われる時
　　　ア×27×2=ウ×エ1となるので　エ１は９の倍数になる
　　　　　（９の倍数でない時は　ウが９の倍数かつ２の倍数になり当てはまる数字はない）
　　　エ=8　であるから　アは３の倍数で　ア＝3,6,9　このとき　ウ＝2,4,6　4は使えないから２通り
　　　　　3×54=2×81のとき　残りの数は　6,7,9で最低でも6×7○または7×6○　で420を超える数になるから
　　　　答えはない

５−３　数字の１が２桁の数の１０の位の数として使われるとき
　　　　　ア×27×2=ウ×1オとなっている
　　　5-3-1　１オが9の倍数のとき　1オ=18　でア×54=ウ×18　ア：ウ=1:3
　　　　　　　　使われてない数字でこれをみたすのは　ア=2　ウ＝６　または　ア＝3　ウ＝９
　　　　　　　２×５４=６×１８のとき　残りの数は　3,7,9でこの数を使って偶数にはならない
　　　　　　　3×54=9×18のとき　残りの数は　2,6,7で2+6=8　6+7=13であるから　この2,6または6,7を使った２桁の数は9の倍数にならない
　　　　　　よって　6×27のみが条件を満たす答えとなる
　　　5-3-2　1オが9の倍数でないとき　ウ=9となるから　1オは6の倍数で１オ=12　18　18は9の倍数だからここでは該当しない
　　　　　　　2×5４=9×12のとき　2が重複　
�Dイウが56のとき
5-1　数字の１が１桁の数として使われる時
　　　　ア×56　1×エオのように使われる時　アには２以上の数がはいるので　この積は2桁になる
　　　　よってエオに入る数はないことがわかる
　　　　1×56=ウ×エオ=カ×キク　となるとき　エオキク　は56の約数となるので　28　14
　　　　しかし1が重複しているのでこのようにはならないことがわかる

5-２　　数字の１が２桁の１の位の数として使われる時
　　　ア×7×8=ウ×エ1となるので　ウは8であり　ア×7=エ１となっているので　ア＝3　エ＝2となり
　　　　３×５６=８×２１　のこりの数４,７,９で８の倍数はできない　
　　　　(４×○○は４の倍数　　○×○４は２の倍数となるから）

５−３　数字の１が２桁の数の１０の位の数として使われるとき
　　　　　ア×7×8=ウ×1オとなっている
　　　5-3-1　１オが7の倍数のとき　1オ=14　でウは４の倍数となるが　4はつかわれているので　ウ=8
　　　　　　　　ア=2となり　　2×56=8×14　のこりの数　3,7,9で8の倍数は作れない
　　　5-3-2　1オが7の倍数でないとき　ウ=7となるから　1オは8の倍数で１オ=１６　しかし６は使われている

よって答えはない

�Eイウが57のとき

57=3×19であるから　オカ　クケは１9の倍数である。
２桁の19の倍数は　19　38　57　76　95　
57が使われるので76　95は使われない（5　7　が重複）　よって　2桁の数は　19　38　57
57は3の倍数であるから　19　38に掛けられる1桁の数は3の倍数であるが　残っている3の倍数は6しかないから
条件を満たす答えはない

�Fイウが58のとき

　　58=2×29であるから　オカ　クケは29の倍数である。
２桁の29の倍数は　29　58　87
58　87は同時に使われない（8　が重複）　よって　条件を満たす2桁の数はない

�Gイウが59のとき
59は素数であるから59の倍数の２桁の数は３つない
答えはない

以上から　3×54=6×27=9×18　が答えとなる
354627918